Екі түзу арасындағы бұрыш. Параллельдік және перпендикулярлық шарттары. Нүктеден түзуге дейінгі қашықтығы.
d1 және d2 түзулері өздерінің сәйкес жалпы теңдеулері арқылы берілсін дейік:
А1х+В1у+С=0, А2х+В2у+С=0
Бұрыштық коэффициенттері к1= , к2=
Егер d1 ÷÷ d2, онда к1 = к2.
Егер d1 d2, онда к1 = .
Екі түзу арасындағы бұрыш tg .
M(x0,y0) нүктеден түзуге дейінгі қашықтығы d=
Қайталау сұратары:
Жазықтықтағы түзүдің теңдеулері.
Екі түзу арасындағы бұрыш.
Параллельдік және перпендикулярлық шарттары.
Нүктеден түзуге дейінгі қашықтығы.
Әдебиеті: [1], [3], [4].
Дәріс 16-17.
Тақырып:Екінші ретті сызықтар және олардың канондық теңдеулері. Эллипс. Гипербола. Парабола.
Мақсаты:Екінші ретті сызықтар, олардың конондық теңдеулерін қарастыру.
Қарастыратын сұрақтар:
1 Жазықтықтағы екінші ретті сызықтар.
2 Шеңбер.
3 Эллипс, оның қасиеттері.
4 Гипербола, оның қасиеттері.
5 Парабола, оның қасиеттері
Екінші ретті сызық төмендегі теңдеу арқылы беріледі:
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.
Бұл теңдеу төменде келтірілген теңдеулердің біріне келтірілетіндей координаталар жүйесі (тік бұрышты болуы міндетті емес) болуы мүмкін.
1) - эллипстің теңдеуі.
2) - “жорамал” эллипстің теңдеуі.
3) - гиперболаның теңдеуі.
4) a2x2 – c2y2 = 0 – екі қиылысушы түзудің теңдеуі.
5) y2 = 2px –параболаның теңдеуі.
6) y2 – a2 = 0 –екі параллель түзудің теңдеуі.
7) y2 + a2 = 0 –“жорамал” екі параллель түзулердің теңдеуі.
8) y2 = 0 – беттесуші түзулер.
9) (x – a)2 + (y – b)2 = R2 –шеңбердің теңдеуі.
Шеңбер.
(x – a)2 + (y – b)2 = R2 (1) шеңбердің центрінің координаталары (a; b) болады.
Мысал. 2x2 + 2y2 – 8x + 5y – 4 = 0 теңдеуі арқылы берілген шеңбердің центрінің координаталары мен радиусын тап. .
Шешу. Шеңбердің центрі мен радиусын табу үшін теңдеуді (1) теңдеу түріне келтіріп аламыз. Ол үшін теңдеудің сол жағындағы көпмүшенің толық квадратын бөлеміз.
x2 + y2 – 4x + 2,5y – 2 = 0
x2 – 4x + 4 –4 + y2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0
(x – 2)2 + (y + 5/4)2 – 25/16 – 6 = 0
(x – 2)2 + (y + 5/4)2 = 121/16
Бұл теңдеуден мынаны табамыз: О(2; -5/4); R = 11/4.
Эллипс және оның қасиеттері
Анықтама. Эллипсдеп фокустары деп аталатын нүктелерден қашықтықтарының қосындысы сол фокустары арақашықтығынан (F1F2 = 2c) артық болатын тұрақты 2а санына тең болатын жазықтықтағы нүктелердің геометриялық орнын айтады, оны былайша белгілейді:
F1М + F2М = 2а (2) .
у
М
r1
r2
F1 O F2
F1, F2 – эллипстің фокустары. F1 = (-c; 0); F2(c; 0), F1F2 = 2c.
с – фокустары ар қашықтығының жартысы; 2а - тұрақты шама. F1М және F2М қашықтықтарын r1= F1М, r2= F2М деп белгілесек, онда (2) теңдік мына түрде жазылады:
r1 + r2 = 2а (21)
Екі нүктені ара қашықтығының формуласы бойынша:
.
Бұл теңдеуді түрлендіріп, эллипстің жабайы (канондық) теңдеуін табайық:
х 2+2сх+с2+ у2 = 4а2 – 4а
а теңдіктің екі жағын а - ға бөліп, квадраттайық:
х2 -2сх+с2+у2 = (а -
х2 -2сх+с2+у2 =
а2х2+а2у2+а2с2= а4 + с2х2,
(а2- с2) х2+а2у2+ = а2 ( а2 - с2),
а> с болғандықтан, а2 - с2> 0 болады, сондықтан а2 - с2= в2 (3) деп белгілейміз.
Сонда в2 х2+а2у2+ = а2 в2 шығады, осыдан (4), мұндағы х пен у -
эллипстің бойындағы кез келген нүктелердің координаталары, а – эллипстің үлкен жарты өсі, в – оның кіші жарты өсі. (4) теңдеу эллипстің жабайы (канондық) теңдеуі деп аталады.
Теорема. Эллипстің фокустық ара қашықтығы мен жарты өстері мынадай қатынас бойынша байланысады:
a2 = b2 + c2.
Дэлелдеу: Егер М нүкте эллипстің вертикаль осьпен қиылысу нүктесінде болса, онда r1 + r2 = 2 ( Пифагор теоремасы бойынша). Егер М нүкте эллипстің горизонталь осьпен қиылысу нүктесінде болса, онда r1 + r2 = a – c + a + c. Эллипстің анықтамасы бойынша r1 + r2 – қосынды тұрақты шама, ендеше жоғарыдағы екі теңдікті теңестіріп, мынадай теңдік аламыз:
a2 = b2 + c2 .
Анықтама. = с/a қатынас эллипстің эксцентриситеті деп аталады. с < a
болғандықтан, < 1 болады.