Преобразование форм представления моделей

2.3.1 Преобразование уравнений состояния к каноническому виду

Уравнения состояния произвольного вида (2.76) - (2.83), как правило, получают в результате преобразований исходных уравнений баланса энергии. Поэтому переменные состояния являются физическими величинами. В этом случае пространство состояний прямо связано с физической реальностью. Однако в некоторых случаях полезно ввести переменные состояния X, которые формально определяются как линейная комбинация физических переменных состояния. Названное преобразова­ние выполняют для получения канонических форм уравнений состояния, что облегчает обнаружение некоторых свойств ОУ или САУ или позволяет создать ММ с меньшим количеством параметров.

Сущность рассматриваемого преобразования выражают равенством

, (2.98)

где T – неособая квадратная матрица [n ´ n].

Каждому неособому преобразованию соответствует обратное преобразование

.

Если уравнения состояния САУ в "произвольных" переменных имели вид (2.83):

то в новых переменных получают уравнения

(2.99)

Таким образом, задача перехода от исходных (произвольных) уравнений состояния (2.83) к уравнениям заданной канонической формы (2.99) сводится к определению невырожденной [n ´ n] матрицы T. Структура матрицы преобразования должна быть такова, чтобы при заданных матрицах A, B и C получить уравнения состояния требуемого канонического вида с матрицами

(2.100)

Не каждая матрица может быть приведена к заданной канонической форме (о возможности такого преобразования – см. /3/).

2.3.2 Алгоритм приведения уравнений состояния к первому

управляемому представлению

Для приведения исходных уравнений состояния САУ произвольного вида (2.83) к первому управляемому представлению (2.85) и (2.86) матрицу преобразования T принимают равной обратной матрице управляемости исходной системы, т.е.

, (2.101)

где – матрица управляемости исходной системы.

В этом случае система матричных уравнений (2.100) приобретает вид

(2.102)

Определение матрицы управляемости У и правила ее вычисления даны в п. 2.4.4.

2.3.3 Алгоритм приведения уравнений состояния ко второму

управляемому представлению

Для приведения исходных уравнений состояния произвольного вида (2.83) ко второму управляемому представлению (УКП) принимают матрицу преобразования T следующего вида /20/:

,

где M – матрица вида

.

2.3.4 Определение уравнений состояния по основной

передаточной функции

Задача определения уравнений состояния по основной ПФ системы управления в теории дифференциальных уравнений известна как задача приведения линейного уравнения n-го порядка к нормальной форме Коши. Последняя кратко рассмотрена совместно с численными методами в п. 2.1.7.4. Некоторое отличие задач усматривают в том, что в ТАУ решают неоднородные ОДУ, содержащие не только производные выходной, но и входной величин. Такое уравнение в случае одномерной САУ имеет вид

, (2.103)

причем m < n. Операторным представлением рассматриваемого уравнения является ПФ системы

. (2.104)

Данной ПФ соответствует множество различных уравнений состояния, и поставленная выше задача решается неоднозначно. Выбор канонического или иного представления уравнений состояния обусловлен спецификой исследования.

Один из возможных вариантов отличается необходимостью принять при моделировании некоторые физические величины в качестве переменных состояния. В этом случае структура матриц и оказывается заданной и задача сводится к нахождению некоторых их элементов. Эту задачу решают методом неопределенных коэффициентов.

Второй из возможных вариантов отличается от первого отсутствием каких-либо требований к физическому содержанию переменных состояния. Выбор канонического представления уравнений состояния осуществляют по другим соображениям. При этом сначала решают проблему минимальной реализации, заключающуюся в поиске такой формы уравнений состояния, которая обеспечивает минимально возможный порядок системы (2.99). В рассматриваемом случае одномерной САУ с ПФ вида (2.104) искомые уравнения состояния должны быть n-го порядка. В общем случае минимальная реализация соответствует невырожденным (полностью управляемым и полностью наблюдаемым) системам (см. п. 2.4.4). После решения проблемы минимальной реализации выбирают каноническое представление уравнений состояния. Причем выбор канонической формы облегчают известные рекомендации. Например, первое управляемое представление целесообразно использовать при решении задач линейного оптимального управления, а также при решении некоторых задач фильтрации и т.д. /20/.

После решения проблемы минимальной реализации уравнений состояния и выбора канонического представления определяют форму ММ. Последняя может иметь вид:

– системы дифференциальных уравнений (2.87), (2.90)-(2.94), (2.96);

– матричных уравнений (2.99);

– структурной алгоритмической схемы (рисунки 2.31-2.36).

Законченный вид ММ приобретает после подстановки в названные уравнения или схему числовых значений коэффициентов. Наиболее просто получают ММ во втором управляемом (УКП) и наблюдаемом представлении. В этом случае элементы матриц соответственно A, C и A, B формируют из коэффициентов числителя и знаменателя ПФ (2.104). Первое и управляемое, и наблюдаемое представления требуют незначительных предварительных вычислений элементов матриц C и B.

2.3.5 Определение передаточной функции по уравнениям состояния

Матричная форма уравнений сохраняет свое удобство при описании САУ в области изображений по Лапласу. При моделировании многомерной САУ (рисунок 2.31) изображения по Лапласу входных сигналов u1(t), u2(t), …, um(t) обозначают соответственно U1(s), U2(s), …, Um(s). Совокупность m переменных в области изображений представляют m‑мерным вектором U(s). Аналогично вводят вектор состояния X(s) и вектор выхода Y(s). Соотношения между названными векторами устанавливают посредством матричных уравнений

где W(s) и F(s) – передаточные матрицы (матричные ПФ).

Представляет практический интерес связь между матричными ПФ W(s) и F(s) и матрицами A, B и C из уравнений состояния

Преобразуя по Лапласу уравнение состояния при нулевых НУ, получают

sX(s) = AX(s) + BU(s)

или

[sI - A]X(s) = BU(s).

Из последнего выражения следует, что

X(s) = [sI - A]-1BU(s),

где I – единичная [m ´ n] матрица.

Преобразуя по Лапласу уравнение выхода при нулевых НУ, получают

Y(s) = CX(s)

или

Y(s) = C[sI - A]-1BU(s).

Из полученных уравнений следует искомая зависимость

W(s) = [sI - A]-1B; (2.105)

F(s) = C[sI - A]-1B, (2.106)

так как по определению .