Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях

Пример П4.1

Найдите реакцию u2(t)на выходе цепи, схема которой представлена на рис. П4.1, если на ее вход подано периодическое колебание, заданное в виде усеченного ряда Фурье: u1(t) = 6 + 10cos 105t + 5cos (2×105t + 60°) В. Значения параметров элементов цепи: R1 = R2 = 200 Ом, L = 1мГн. Постройте спектры амплитуд входного и выходного колебаний.

Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru

Рис. П4.1

Решение

Найдем прежде всего комплексную передаточную функцию Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru , для чего подадим на вход цепи гармоническое напряжение u1(t) = Um1cos (wt + j1), тогда комплексная амплитуда реакции цепи:

Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru ,

а передаточную функцию найдем, поделив Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru на комплексную амплитуду воздействия:

Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru .

Модуль комплексной передаточной функции определяет амплитудно-частотную характеристику цепи

Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru ,

а ее аргумент, равный разности аргументов числителя и знаменателя, – фазочастотную характеристику цепи

Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru .

По данным примера R1 = R2 = 200 Ом, L = 10–3 Гн, тогда

Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru ;

Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru .

Вычислим значения АЧХ и ФЧХ на частотах гармонических составляющих входного колебания w = 0,w1 = 105 с–1, w2 = 2w1 = 2×105 с–1.

При w = 0: ½H(jw)½ = 1; q(w) = 0.

При w1 = 105 с–1: Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru ;

Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru .

При w2 = 2×105 с–1: Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru ;

Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru .

Комплексная амплитуда k-й гармоники выходного колебания

Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru

Таким образом, амплитуда k-й гармоники изменяется в |H(jkw1)| раз, а начальная фаза – на величину q(kw1).

В соответствии с этим напряжение на выходе цепи

u2(t) = 6 + 10×0,79cos(105t – 18,4°) + 5×0,63cos(2×105t + 60° – 18,4°) =

= 6 + 7,9cos(105t – 18,4°) + 3,15cos(2×105t + 41,6°).

На рис. П4.2 представлены спектры амплитуд входного и выходного напряжений и график АЧХ цепи, а на рис. П4.3 – спектры фаз входного и выходного напряжений и график ФЧХ цепи.

Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru

Приложение 5

Анализ колебаний в длинных линиях без потерь

Режим стоячих волн

Пример П5.1

К разомкнутой линии (рис. П5.1) длиной l = 10 м и волновым сопротивлением r = 200 Ом подключен источник гармонических колебаний с задающим напряжением U1= 5 В. Длина волны колебаний l = 12 м. Постройте график распределения действующего значения напряжения вдоль линии. Определите Zвх.

Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru
Рис. П5.1

Из выражения, описывающего распределение комплексного напряжения в линии без потерь, следует, что действующее значение напряжения в любой точке разомкнутой линии (I2 = 0) может быть рассчитано так: U = U2½cos by½.

Напряжение U2в конце линии определим из условия, что Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru :

Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru В.

Рассчитаем значения напряжения в пределах изменения y от 0 до l/4. Результаты расчета сведем в табл. П5.1. В соответствии с расчетами построим график распределения действующего значения напряжения вдоль линии (рис. П5.2), учитывая при этом, что функция | cos by| является периодической.

Определим входное сопротивление линии

Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru Ом.

Таблица П5.1 Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru Рис. П5.2
by,° y, м | cos by | U, В
0,867 8,67
1,5 0,707 7,07
0,5

Режим смешанных волн

Пример П5.2

Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru
Рис. П5.3

Линия без потерь нагружена на резистивное сопротивление R2 = 400 Ом (рис. П5.3).

Постройте графики распределения действующих значений напряжения и тока вдоль линии, если l = 10 м, r= 200 Ом, l = 12 м, U1 = 5В. Определите Zвх.

Решение

Вычислим коэффициент фазы Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru град/м.

Определим напряжение и ток в конце линии:

Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru В,

Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru мА.

Действующие значения напряжения и тока в любом сечении линии рассчитаем по формулам, которые легко получаются из уравнений передачи линии без потерь при условии, что I2 = U2/R2:

Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru ,

Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru .

Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru
Рис. П5.4

Графики распределения действующих значений напряжения и тока вдоль линии, по­стро­ен­ные по результатам расчета, при­ведены на рис. П5.4.

Определим входное сопротивление линии:

Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru ;

Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru ;

Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru ;

Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru Ом.

Пример П5.3

Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru
Рис. П5.5

Воздушная линия нагружена на сопротивление Z2 = R2 + jwL2(рис. П5.5). Постройте график распределения действующего значения напряжения вдоль линии, если l = 10 м, l = 12 м, r= R2 = 200 Ом, L2= 1,27 мкГн, U1= 5 В. Определите Zвхи коэффициент бегущей волны в линии.

Решение

В воздушной линии скорость распространения эле­ктромагнитной волны равна скорости света c = 3×108 м/с.

Длина волны колебаний в линии l = cТ = с/f ,следовательно, частоту приложенного гармонического воздействия можно определить так:

f = c/l = 3×108/12 = 0,25×108 = 25 МГц.

Рассчитаем сопротивление нагрузки на этой частоте

Z2 = R2 + jwL2 = 200 + j6,28×25×106×1,27×10–6 = (200 + j200) Ом.

Определим ближайшее к нагрузке резонансное сечение линии yрез1 (k = 0), в котором входное сопротивление имеет резистивный характер Z = Rрез.

Для этого рассчитаем коэффициент отражения

Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru .

Резонансное сечение yрез1 для x2 > 0 и jp > 0 определяетсятак:

Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru м.

В этом случае

Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru Ом.

Коэффициент бегущей волны при Rрез > r

Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru .

Если Rрез > r, то напряжение в резонансном сечении линии Uрез = Umax.

Рассчитаем его, полагая, что линия имеет длину (l – урез1)и нагружена на резистивное сопротивление Rрез (рис. П5.5):

Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru

В следующем резонансном сечении напряжение минимально:

Umin = UmaxKБВ = 13,2×0,383 = 5 В.

Распределение действующего значения напряжения вдоль линии будем рассчитывать так же, как для линии с резистивной нагрузкой Rрез:

Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru ,

где y' – расстояние, отсчитанное влево или вправо от резонансного сечения.

На рис. П5.6 приведен график распределения действующего значения напряжения вдоль линии.

Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru

Рис. П5.6

Входное сопротивление

Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru Ом.

Литература

Основная

1. Теория линейных электрических цепей / А.Ф. Белецкий. – М.: Радио и связь, 1986.

2. Основы теории цепей: учебник для вузов / В.П. Бакалов, В.Ф. Дмитриков, Б.Е. Крук;под. ред. В.П. Бакалова. – М.: Радио и связь, 2000. – 592 с.

Дополнительная

3. Основы теории цепей: конспект лекций. Ч.2 / В.В. Сергеев; ГОУВПО СПбГУТ. – СПб, 2003.

содержание

Введение................................................................................................................ 3

1. Классический метод анализа переходных колебаний в электрических цепях 5

1.1. Анализ переходных колебаний в разветвленных RC-цепях путем составления дифференциального уравнения 5

1.2. Анализ переходных колебаний в разветвленных RL-цепях путем составления дифференциального уравнения 8

1.3 .Анализ разветвленной цепи с одним реактивным элементом
с использованием формулы Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях - student2.ru ........................... 12

1.4. Анализ свободных (переходных) колебаний
при отключении (подключении) к цепи источника гармонических колебаний...... 15

1.5. Составление уравнений переменных состояния цепи............................ 20

2. Операторный метод анализа переходных колебаний
в электрических цепях................................................................................................ 24

2.1. Анализ переходных колебаний в RC- и RL-цепях
при нулевых начальных условиях............................................................................. 24

2.2. Анализ переходных колебаний в RC-цепях
при ненулевых начальных условиях......................................................................... 28

2.3. Анализ переходных колебаний в RL-цепях
при ненулевых начальных условиях......................................................................... 31

3. Операторные передаточные функции и временные характеристики
электрических цепей................................................................................................... 36

3.1. Связь операторной передаточной функции пассивной цепи
1-го порядка с ее временными характеристиками.................................................... 37

3.2. Анализ нестационарных колебаний в цепи с использованием
переходной характеристики........................................................................................ 40

3.3. Связь между временными и частотными характеристиками активной RC-цепи 2-го порядка 41

3.4. Операторные передаточные функции
пассивных цепей 3-го порядка................................................................................... 49

4. Спектральное представление колебаний....................................................... 54

4.1. Спектры периодических негармонических колебаний.......................... 54

4.2. Анализ негармонических периодических колебаний
в электрических цепях................................................................................................ 57

4.3. Непериодические колебания. Спектральная плотность.Влияние амплитудно-частотной характеристики цепи на спектральную плотность
амплитуд воздействия................................................................................................ 60

5. Длинные линии с пренебрежимо малыми потерями.................................... 65

5.1. Режим бегущих волн в линии без потерь............................................... 66

5.2. Режим стоячих волн в линии без потерь................................................ 71

5.3. Режим смешанных волн в линии без потерь.......................................... 77

Приложения 1–5.................................................................................................. 85

Литература......................................................................................................... 114

Наши рекомендации