Анализ негармонических периодических колебаний в электрических цепях

Пример П4.1

Найдите реакцию u₂(t)на выходе цепи, схема которой представлена на рис. П4.1, если на ее вход подано периодическое колебание, заданное в виде усеченного ряда Фурье: u₁(t) = 6 + 10cos 10⁵t + 5cos (2×10⁵t + 60°) В. Значения параметров элементов цепи: R₁ = R₂ = 200 Ом, L = 1мГн. Постройте спектры амплитуд входного и выходного колебаний.

Рис. П4.1

Решение

Найдем прежде всего комплексную передаточную функцию , для чего подадим на вход цепи гармоническое напряжение u₁(t) = U_m1cos (wt + j₁), тогда комплексная амплитуда реакции цепи:

,

а передаточную функцию найдем, поделив на комплексную амплитуду воздействия:

.

Модуль комплексной передаточной функции определяет амплитудно-частотную характеристику цепи

,

а ее аргумент, равный разности аргументов числителя и знаменателя, – фазочастотную характеристику цепи

.

По данным примера R₁ = R₂ = 200 Ом, L = 10^–3 Гн, тогда

;

.

Вычислим значения АЧХ и ФЧХ на частотах гармонических составляющих входного колебания w = 0,w₁ = 10⁵ с^–1, w₂ = 2w₁ = 2×10⁵ с^–1.

При w = 0: ½H(jw)½ = 1; q(w) = 0.

При w₁ = 10⁵ с^–1: ;

.

При w₂ = 2×10⁵ с^–1: ;

.

Комплексная амплитуда k-й гармоники выходного колебания

Таким образом, амплитуда k-й гармоники изменяется в |H(jkw₁)| раз, а начальная фаза – на величину q(kw₁).

В соответствии с этим напряжение на выходе цепи

u₂(t) = 6 + 10×0,79cos(10⁵t – 18,4°) + 5×0,63cos(2×10⁵t + 60° – 18,4°) =

= 6 + 7,9cos(10⁵t – 18,4°) + 3,15cos(2×10⁵t + 41,6°).

На рис. П4.2 представлены спектры амплитуд входного и выходного напряжений и график АЧХ цепи, а на рис. П4.3 – спектры фаз входного и выходного напряжений и график ФЧХ цепи.

Приложение 5

Анализ колебаний в длинных линиях без потерь

Режим стоячих волн

Пример П5.1

К разомкнутой линии (рис. П5.1) длиной l = 10 м и волновым сопротивлением r = 200 Ом подключен источник гармонических колебаний с задающим напряжением U₁= 5 В. Длина волны колебаний l = 12 м. Постройте график распределения действующего значения напряжения вдоль линии. Определите Z_вх.

Рис. П5.1

Из выражения, описывающего распределение комплексного напряжения в линии без потерь, следует, что действующее значение напряжения в любой точке разомкнутой линии (I₂ = 0) может быть рассчитано так: U = U₂½cos by½.

Напряжение U₂в конце линии определим из условия, что :

В.

Рассчитаем значения напряжения в пределах изменения y от 0 до l/4. Результаты расчета сведем в табл. П5.1. В соответствии с расчетами построим график распределения действующего значения напряжения вдоль линии (рис. П5.2), учитывая при этом, что функция | cos by| является периодической.

Определим входное сопротивление линии

Ом.

Таблица П5.1	Рис. П5.2
by,°	y, м	| cos by |	U, В
		0,867	8,67
	1,5	0,707	7,07
		0,5

Режим смешанных волн

Пример П5.2

Рис. П5.3

Линия без потерь нагружена на резистивное сопротивление R₂ = 400 Ом (рис. П5.3).

Постройте графики распределения действующих значений напряжения и тока вдоль линии, если l = 10 м, r= 200 Ом, l = 12 м, U₁ = 5В. Определите Z_вх.

Решение

Вычислим коэффициент фазы град/м.

Определим напряжение и ток в конце линии:

В,

мА.

Действующие значения напряжения и тока в любом сечении линии рассчитаем по формулам, которые легко получаются из уравнений передачи линии без потерь при условии, что I₂ = U₂/R₂:

,

.

Рис. П5.4

Графики распределения действующих значений напряжения и тока вдоль линии, по­стро­ен­ные по результатам расчета, при­ведены на рис. П5.4.

Определим входное сопротивление линии:

;

;

;

Ом.

Пример П5.3

Рис. П5.5

Воздушная линия нагружена на сопротивление Z₂ = R₂ + jwL₂(рис. П5.5). Постройте график распределения действующего значения напряжения вдоль линии, если l = 10 м, l = 12 м, r= R₂ = 200 Ом, L₂= 1,27 мкГн, U₁= 5 В. Определите Z_вхи коэффициент бегущей волны в линии.

Решение

В воздушной линии скорость распространения эле­ктромагнитной волны равна скорости света c = 3×10⁸ м/с.

Длина волны колебаний в линии l = cТ = с/f ,следовательно, частоту приложенного гармонического воздействия можно определить так:

f = c/l = 3×10⁸/12 = 0,25×10⁸ = 25 МГц.

Рассчитаем сопротивление нагрузки на этой частоте

Z₂ = R₂ + jwL₂ = 200 + j6,28×25×10⁶×1,27×10^–6 = (200 + j200) Ом.

Определим ближайшее к нагрузке резонансное сечение линии y_рез1 (k = 0), в котором входное сопротивление имеет резистивный характер Z = R_рез.

Для этого рассчитаем коэффициент отражения

.

Резонансное сечение y_рез1 для x₂ > 0 и j_p > 0 определяетсятак:

м.

В этом случае

Ом.

Коэффициент бегущей волны при R_рез > r

.

Если R_рез > r, то напряжение в резонансном сечении линии U_рез = U_max.

Рассчитаем его, полагая, что линия имеет длину (l – у_рез1)и нагружена на резистивное сопротивление R_рез (рис. П5.5):

В следующем резонансном сечении напряжение минимально:

U_min = U_maxK_БВ = 13,2×0,383 = 5 В.

Распределение действующего значения напряжения вдоль линии будем рассчитывать так же, как для линии с резистивной нагрузкой R_рез:

,

где y' – расстояние, отсчитанное влево или вправо от резонансного сечения.

На рис. П5.6 приведен график распределения действующего значения напряжения вдоль линии.

Рис. П5.6

Входное сопротивление

Ом.

Литература

Основная

1. Теория линейных электрических цепей / А.Ф. Белецкий. – М.: Радио и связь, 1986.

2. Основы теории цепей: учебник для вузов / В.П. Бакалов, В.Ф. Дмитриков, Б.Е. Крук;под. ред. В.П. Бакалова. – М.: Радио и связь, 2000. – 592 с.

Дополнительная

3. Основы теории цепей: конспект лекций. Ч.2 / В.В. Сергеев; ГОУВПО СПбГУТ. – СПб, 2003.

содержание

Введение................................................................................................................ 3

1. Классический метод анализа переходных колебаний в электрических цепях 5

1.1. Анализ переходных колебаний в разветвленных RC-цепях путем составления дифференциального уравнения 5

1.2. Анализ переходных колебаний в разветвленных RL-цепях путем составления дифференциального уравнения 8

1.3 .Анализ разветвленной цепи с одним реактивным элементом
с использованием формулы ........................... 12

1.4. Анализ свободных (переходных) колебаний
при отключении (подключении) к цепи источника гармонических колебаний...... 15

1.5. Составление уравнений переменных состояния цепи............................ 20

2. Операторный метод анализа переходных колебаний
в электрических цепях................................................................................................ 24

2.1. Анализ переходных колебаний в RC- и RL-цепях
при нулевых начальных условиях............................................................................. 24

2.2. Анализ переходных колебаний в RC-цепях
при ненулевых начальных условиях......................................................................... 28

2.3. Анализ переходных колебаний в RL-цепях
при ненулевых начальных условиях......................................................................... 31

3. Операторные передаточные функции и временные характеристики
электрических цепей................................................................................................... 36

3.1. Связь операторной передаточной функции пассивной цепи
1-го порядка с ее временными характеристиками.................................................... 37

3.2. Анализ нестационарных колебаний в цепи с использованием
переходной характеристики........................................................................................ 40

3.3. Связь между временными и частотными характеристиками активной RC-цепи 2-го порядка 41

3.4. Операторные передаточные функции
пассивных цепей 3-го порядка................................................................................... 49

4. Спектральное представление колебаний....................................................... 54

4.1. Спектры периодических негармонических колебаний.......................... 54

4.2. Анализ негармонических периодических колебаний
в электрических цепях................................................................................................ 57

4.3. Непериодические колебания. Спектральная плотность.Влияние амплитудно-частотной характеристики цепи на спектральную плотность
амплитуд воздействия................................................................................................ 60

5. Длинные линии с пренебрежимо малыми потерями.................................... 65

5.1. Режим бегущих волн в линии без потерь............................................... 66

5.2. Режим стоячих волн в линии без потерь................................................ 71

5.3. Режим смешанных волн в линии без потерь.......................................... 77

Приложения 1–5.................................................................................................. 85

Литература......................................................................................................... 114