Марковские процессы (м.п.)

М.п. обладают отсутствием последствия. Т.е. если рассматривать текущее состояние процесса Марковские процессы (м.п.) - student2.ru - как настоящее, совокупность возможных состояний Марковские процессы (м.п.) - student2.ru - как прошлое, совокупность возможных состояний Марковские процессы (м.п.) - student2.ru - как будущее, то для м.п. при фиксированном настоящем будущее не зависит от прошлого, а определяется лишь настоящим. Т. е. вероятностное распределение состояния процесса в момент времени Марковские процессы (м.п.) - student2.ru зависит лишь от того, в каком состоянии процесс находился в ближайшем прошлом (при Марковские процессы (м.п.) - student2.ru ) но не зависит от его состояний, предшествующих Марковские процессы (м.п.) - student2.ru .

Марковские случайные процессы названы по имени выдающегося русского математика А.А.Маркова (1856-1922), впервые начавшего изучение вероятностной связи случайных величин и создавшего теорию, которую можно назвать "динамикой вероятностей". В дальнейшем основы этой теории явились исходной базой общей теории случайных процессов, а также таких важных прикладных наук, как теория диффузионных процессов, теория надежности, теория массового обслуживания и т.д. На практике марковские процессы в чистом виде обычно не встречаются. Но имеются процессы, для которых влиянием «предыстории» можно пренебречь и при изучении таких процессов можно применять марковские модели. В настоящее время теория марковских процессов и ее приложения широко применяются в самых различных областях.

Марковские процессы являются моделями очень многих процессов в естественных науках

· Биология: процессы рождения и гибели - популяции, мутации, эпидемии.

· Физика: радиоактивные распады, теория счетчиков элементарных частиц, процессы диффузии.

· Химия: теория следов в ядерных фотоэмульсиях, вероятностные модели химической кинетики.

· Астрономия: теория флуктуационной яркости млечного пути.

· Теория массового обслуживания: телефонные станции, ремонтные мастерские, билетные кассы, справочные бюро, станочные и другие технологические системы, системы управления гибких производственных систем, обработка информации серверами.

ЕОнегин

Пусть в настоящий момент t0 система находится в определенном состоянии S0. Мы знаем характеристики состояния системы в настоящем и все, что было при t < t0 (предысторию процесса). Можем ли мы предсказать будущее, т.е. что будет при t > t0? В точности – нет, но какие-то вероятностные характеристики процесса в будущем найти можно. Например, вероятность того, что через некоторое время Марковские процессы (м.п.) - student2.ru система S окажется в состоянии S1 или останется в состоянии S0 и т.д.

Пример. Система S – группа самолетов, участвующих в воздушном бою. Пусть x – количество «красных» самолетов, y – количество «синих» самолетов. К моменту времени t0 количество сохранившихся ( не сбитых) самолетов соответственно – x0, y0. Нас интересует вероятность того, что в момент времени Марковские процессы (м.п.) - student2.ru численный перевес будет на стороне «красных». Эта вероятность зависит от того, в каком состоянии находилась система в момент времени t0, а не от того, когда и в какой последовательности погибали сбитые до момента t0 самолеты.

Дискретные цепи Маркова–

м.п. со счетными состояниями и моментами времени. Переходы из состояния в состояние возможны только в целочисленные моменты времени

Марковские процессы (м.п.) - student2.ru

Число Марковские процессы (м.п.) - student2.ru называется вероятностью перехода системы из состояния Марковские процессы (м.п.) - student2.ru в состояние Марковские процессы (м.п.) - student2.ru за один шаг в момент времени Марковские процессы (м.п.) - student2.ru . Если переходная вероятность не зависит от Марковские процессы (м.п.) - student2.ru , то цепь Маркова называется однородной.

Ниже мы будем рассматривать однородные цепи.

Марковские процессы (м.п.) - student2.ru Матрица P , элементами которой являются вероятности перехода Марковские процессы (м.п.) - student2.ru , называется переходной матрицей: Марковские процессы (м.п.) - student2.ru Она является стохастической: Марковские процессы (м.п.) - student2.ru ; Марковские процессы (м.п.) - student2.ru . Марковские процессы (м.п.) - student2.ru -условные вероятности.

Садовник в результате химического анализа почвы оценивает ее состояние одним из трех чисел — хорошее (1), удовлетворительное (2) или плохое (3). В результате наблюдений на протяжении многих лет садовник заметил, что продуктивность почвы в текущем году зависит только от ее состояния в предыдущем году. Поэтому вероятности перехода почвы из одного состояния в другое можно представить следующей цепью Маркова с матрицей P1:

0.20 0.50 0.30
0.00 0.50 0.50
0.00 0.00 1.00

. Однако в результате агротехнических мероприятий садовник может изменить

переходные вероятности в матрице P1. Тогда матрица P1 заменится на матрицу P2:

0.30 0.60 0.10
0.10 0.60 0.30
0.05 0.40 0.55


Марковские процессы (м.п.) - student2.ru Марковские процессы (м.п.) - student2.ru

Матрица Марковские процессы (м.п.) - student2.ru

является с.

Марковские процессы (м.п.) - student2.ru Матрица перехода за Марковские процессы (м.п.) - student2.ru шагов Марковские процессы (м.п.) - student2.ru .

Рассмотрим, как изменяются состояния процесса с течением времени. Будем рассматривать процесс в последовательные моменты времени, начиная с момента 0. Зададим начальное распределение вероятностей Марковские процессы (м.п.) - student2.ru , где m - число состояний процесса, Марковские процессы (м.п.) - student2.ru - вероятность нахождения процесса в состоянии i в начальный момент времени. Марковские процессы (м.п.) - student2.ru Вероятность Марковские процессы (м.п.) - student2.ru называется безусловной вероятностью состояния i в момент времени Марковские процессы (м.п.) - student2.ru . Марковские процессы (м.п.) - student2.ru . Компоненты вектора Марковские процессы (м.п.) - student2.ru показывают, какие из возможных состояний цепи в момент времени n являются наиболее вероятными.

Знание последовательности Марковские процессы (м.п.) - student2.ru при Марковские процессы (м.п.) - student2.ru позволяет составить представление о поведении системы во времени.

Марковские процессы (м.п.) - student2.ru

Если задано начальное распределение Марковские процессы (м.п.) - student2.ru , то Марковские процессы (м.п.) - student2.ru

Цепь Маркова полностью определена, если заданы начальное распределение и матрица перехода за 1 шаг

Уравнение Колмогорова-Чепмена (равенство Маркова)

Марковские процессы (м.п.) - student2.ru

.

Марковские процессы (м.п.) - student2.ru

Марковские процессы (м.п.) - student2.ru

Марковские процессы (м.п.) - student2.ru

Марковские процессы (м.п.) - student2.ru

Марковские процессы (м.п.) - student2.ru

Марковские процессы (м.п.) - student2.ru

Классификация состояний цепи. По Колмогорову

1. Состояние Марковские процессы (м.п.) - student2.ru достижимо из состояния Марковские процессы (м.п.) - student2.ru , если существует такое Марковские процессы (м.п.) - student2.ru , что Марковские процессы (м.п.) - student2.ru .

2. Состояния Марковские процессы (м.п.) - student2.ru и Марковские процессы (м.п.) - student2.ru называются сообщающимися, если они достижимы друг из друга

3. Состояние Марковские процессы (м.п.) - student2.ru называется несущественным, если существует такое состояние Марковские процессы (м.п.) - student2.ru , что Марковские процессы (м.п.) - student2.ru достижимо из состояния Марковские процессы (м.п.) - student2.ru , а Марковские процессы (м.п.) - student2.ru недостижимо из состояния Марковские процессы (м.п.) - student2.ru . Состояния Марковские процессы (м.п.) - student2.ru называется существенным в противном случае.

Множество всех существенных состояний разбивается на непересекающиеся классы сообщающихся состояний так, что любые два состояния из одного класса сообщаются между собой, а для любых двух состояний Марковские процессы (м.п.) - student2.ru и Марковские процессы (м.п.) - student2.ru из разных классов Марковские процессы (м.п.) - student2.ru . Цепь Маркова, все состояния которой составляют один класс сообщающихся состояний, называется неразложимой.

Пусть Марковские процессы (м.п.) - student2.ru Марковские процессы (м.п.) - student2.ru

Марковские процессы (м.п.) - student2.ru -вероятность того, что система впервые вернется в Марковские процессы (м.п.) - student2.ru за Марковские процессы (м.п.) - student2.ru шагов Марковские процессы (м.п.) - student2.ru вероятность того, что система когда-нибудь вернется

4.Состояние Марковские процессы (м.п.) - student2.ru называется возвратным, если вероятность Марковские процессы (м.п.) - student2.ru =1, и невозвратным при Марковские процессы (м.п.) - student2.ru .

5.Состояние Марковские процессы (м.п.) - student2.ru называется нулевым, если Марковские процессы (м.п.) - student2.ru и ненулевым в противном случае.

6.Состояние Марковские процессы (м.п.) - student2.ru называется периодическим, если наибольший общий делитель Марковские процессы (м.п.) - student2.ru

Основные теоремы

Т1. Для того, чтобы состояние Марковские процессы (м.п.) - student2.ru было возвратным, необходимо и достаточно, чтобы Марковские процессы (м.п.) - student2.ru , если Марковские процессы (м.п.) - student2.ru невозвратно, то Марковские процессы (м.п.) - student2.ru .

Теорема солидарности.

Если цепь Маркова неразложима, то все ее состояния принадлежат к одному и тому же типу: если хотя бы одно из них возвратное, то все возвратные; если хотя бы одно из них нулевое, то все нулевые; если хотя бы одно периодичное с периодом Марковские процессы (м.п.) - student2.ru , то все периодичные с периодом Марковские процессы (м.п.) - student2.ru .

Неразложимая цепь Маркова называется периодической, если все состояния периодичны с периодом Марковские процессы (м.п.) - student2.ru .

Для однородных конечных цепей Маркова элементы Марковские процессы (м.п.) - student2.ru матрицы Марковские процессы (м.п.) - student2.ru определяются по формуле Перрона:

Марковские процессы (м.п.) - student2.ru ,

где Марковские процессы (м.п.) - student2.ru – число различных характеристических чисел (корней уравнения Марковские процессы (м.п.) - student2.ru , где Марковские процессы (м.п.) - student2.ru – единичная матрица), Марковские процессы (м.п.) - student2.ru – их кратность Марковские процессы (м.п.) - student2.ru , а Марковские процессы (м.п.) - student2.ru – алгебраическое дополнение для элемента Марковские процессы (м.п.) - student2.ru в определителе

Марковские процессы (м.п.) - student2.ru , Марковские процессы (м.п.) - student2.ru

Эргодические цепи Маркова.

Будем рассматривать только однородные цепи Маркова с конечным или счетным числом состояний. Для таких цепей при определенных условиях выполняется следующее свойство:

Марковские процессы (м.п.) - student2.ru при Марковские процессы (м.п.) - student2.ru , причем предельное распределение Марковские процессы (м.п.) - student2.ru вероятностей состояний ЦМ не зависит от начального распределения, а определяется лишь переходной матрицей Р. В этом случае говорят, что ЦМ обладает эргодическим свойством, которое фактически означает, что вероятности состояний по мере увеличения п практически перестают изменяться, а система, описываемая соответствующей цепью, переходит в стационарный режим функционирования.

Марковские процессы (м.п.) - student2.ru

Однородная цепь Маркова, для которой вероятности Марковские процессы (м.п.) - student2.ru не зависят от Марковские процессы (м.п.) - student2.ru , называется стационарной. Распределение вероятностей Марковские процессы (м.п.) - student2.ru называется стационарным, если Марковские процессы (м.п.) - student2.ru

Марковские процессы (м.п.) - student2.ru

Марковские процессы (м.п.) - student2.ru всегда стаціонарно, а Марковские процессы (м.п.) - student2.ru не всегда предельноы

Пр Марковские процессы (м.п.) - student2.ru

В общем случае вероятности Марковские процессы (м.п.) - student2.ru , если они существуют, находятся в результате предельного перехода

Марковские процессы (м.п.) - student2.ru , Марковские процессы (м.п.) - student2.ru ,

и называются финальными вероятностями. Если начальные вероятности Марковские процессы (м.п.) - student2.ru совпадают с соответствующими финальными вероятностями Марковские процессы (м.п.) - student2.ru , то цепь Маркова будет стационарной

Теорема (эргодическая). Пусть однородная ЦМ имеет переходную матрицу Р и обладает следующими свойствами:

1) цепь неразложима и непериодична;

2) найдется такое состояние Марковские процессы (м.п.) - student2.ru , что время возвращения в него, т. е. дискретная случайная величина Марковские процессы (м.п.) - student2.ru с распределением Марковские процессы (м.п.) - student2.ru имеет конечное математическое ожидание

Марковские процессы (м.п.) - student2.ru

Выполнение условий 1, 2 необходимо и достаточно для того, чтобы для любых i,j = 0,1,... существовали не зависящие от Марковские процессы (м.п.) - student2.ru пределы Марковские процессы (м.п.) - student2.ru при Марковские процессы (м.п.) - student2.ru .

Числа Марковские процессы (м.п.) - student2.ru являются единственным решением системы уравнений

Марковские процессы (м.п.) - student2.ru (**)

(**) следует из. Для стационарного режима Марковские процессы (м.п.) - student2.ru при Марковские процессы (м.п.) - student2.ru вероятность Марковские процессы (м.п.) - student2.ru совпадает с Марковские процессы (м.п.) - student2.ru : Марковские процессы (м.п.) - student2.ru

Нахождение Марковские процессы (м.п.) - student2.ru

1) составить систему уравнений Марковские процессы (м.п.) - student2.ru

2) заменить в полученной системе одно из уравнений на условие нормировки

3) решить систему

Наши рекомендации