Модели кривых линий и их конструктивные свойства
Геометрические
Определение 12.1.Кривой линией называется одномерная система по-следовательных положений (или тра-ектория движения) точки, движущей-ся в пространстве и постоянно изме-няющей направление своего движения.
Если направление движения точки неизменно, то её траектория прямо-линейна.
На изменение этого направления, кроме прочих, влияют различные гео-метрические условия, соблюдение ко-торых порождает ту или иную криволи-нейную траекторию как систему после-довательных положений образующей её точки.
В каждом положении движущейся точки А вектор направления её движе-ния к а с а т е л е н к её траектории
( рис.12.1). Вектор направления обрат-ного движения этой точки также касате-лен к линии а и составляет с соответст-вующим вектором прямого движения касательную прямую t, состоящую из двух полукасательных t1 и t2, прямого и обратного направлений.
Если провести касательные во всех точках кривой, то можно сказать, что они огибают кривую, или кривая явля-ется линией, огибающей свои касате-льные . Отсюда вытекает, что кривую линию конструктивно можно образовать движением прямой линии, на каждом положении которой существует единст-венная точка её касания к образуемой кривой линии.
Определение 12.2. Прямая линия b, пересекающая кривую линию m в двух или нескольких точках А, В…, называется с е к у щ е й ( рис.12.2).
Если точку А приближать к непод-вижной точке В, то секущая b станет поворачиваться вокруг точки В и в по-ложении, когда точка А совпадёт с точ-кой В, она займёт своё крайнее, касате-льное положение bn º t. При продол-жении движения А по m прямая b вновь станет секущей. Если при этом направ-ление её поворота вокруг точки В не из-
менится, то точка В и касательная t в ней являются о б ы к н о в е н н ы м и.
Если же в каких-либо точках кривой линии эти условия нарушаются, то эти точки и касательные в них называются о с о б ы м и ( см. рис. 5.59)
Определение 12.3.Кривые линии, состоящие из обыкновенных точек, называются г л а д к и м и.
К числу особых относятся:
1.точка А излома кривой, когда полукасательные t1 и t2 в ней не совпа- дают;
2. точка В клюва первого рода, когда две ветви кривой линии распола-гаются по обе стороны от совпавших её полукасательных t1 º t2 ;
3. Точка С клюва второго рода, когда две ветви кривой линии распола-гаются по одну сторону от совпавших её полукасательных t1 º t2;
4. Узловая точка D, в которой её полукасательные t1 и t2 не совпадают;
5. Точка Е самосоприкасания, ког-да несколько витков кривой линии каса-ются в ней совпавших полукасатель-ных и располагаются по отношению к ним либо по одну, либо по обе стороны;
6. Точка F перегиба, в которой кри-вая линия, касаясь к касательной прямой, переходит с одной её стороны на другую;
7. Асимптотическая точка G,ккоторой стремится спиральная кривая.
Если все точки кривой линии комп-ланарны, то кривая является плоской. В противном случае кривая линия явля-ется пространственной.
Если на плоской кривой а взять три бесконечно близко расположенные точ-
 |
ки В,А,С, то кон-цептуально они определяют еди- нственную окру-жность, которая ограничивает круг кривизны
Рис. 12.3.Круг кривизны кривой линии в
кривой а в её обычно- средней обыкно-
венной точке А венной точке А.
Центр и радиус этого круга называ-ваются соответствено центром и ра-диусом кривизныкривой линии а в точке А.
С направлением радиуса ОА этого
круга совпадает прямая линия n, назы-
 |
Рис.12.4. Образование эволюты
плоской кривой линии
ваемая нормалью кривой линии а в еёобыкновенной точке А.
Конструктивно касательная прямая t всегда перпендикулярна к нормали n в точке касания А.
В каждой точке произвольной кри-вой линии круги кривизны имеют раз-ные радиусы, что говорит о перемен-
ном характере искривлённо-
сти кривой в её разных точ-
ках.
Степень искривлённос-
ти кривой в данной обыкно-
венной точке характеризует-
ся её кривизной как числен-ной величиной, значение которой обратно пропорцио-нально значению величины радиуса соответствующего
круга кривизны.
Так как графически невозможно про-вести окружность через три бесконечно близкие точки, то практически для гра-фического определения величин ради-усов кривизн кривой m в её разных то-чках фиксируют ряд последовательных положений системы 2-х взаимно-перпендикулярных прямых ( n^t ), одна из которых играет роль касательной и своими положениями огибает данную кривую m, а вторая,- роль нормали, которая своими последовательными положениями огибает некоторую кривую m¢ как геометрическое место центров кривизн кривой m в её фиксированных точках ( рис.12.4).
Определение 12.4Кривая линия m¢, огибающая последовательные по-ложения нормали n в последовательно расположенных точках данной кривой называется её э в о л ю т о й.
По отношению к своей эволюте кривая m является э в о л ь в е н т о й.
Всякая эвольвента имеет свою единственную эволюту.
Всякую плоскую кривую можно при-нять за эволюту, которой будет соот-ветствовать бесчисленное множество эвольвент.
Следует отметить конструктивный характер процесса получения эволюты
как результата конструктивного преоб-
разования в неё данной кривой -эволь-
венты.
Если взять три бесконечно близкие
точки пространственной кривой m, то они определят плоскость t, которая на-зывается соприкасающейся. В ней рас-полагаются касательная t и нормаль n в средней из этих точек, равно как и круг кривизны с центром О на нормали n (рис.12.5).
 |
Рис. 12.5. Сопровождающий трёхгранник
Френе пространственной кривой линии
Прямая b, перпендикулярная к со-прикасающейся плоскости t в точке ка-
сания А, называется бинормалью.
Бинормаль b и касательная t опре-деляют спрямляющую плоскостьs, а нормаль n и бинормаль b – нормаль-ную плоскость h.
Все три плоскости t, s и h взаимно перпендикулярны и образуют прямой трёхгранный угол, называемый сопро-вождающим трёхгранником Френе.
Сопровождающий потому, что он пере-мещается по кривой m так, что прямая t остаётся всё время касательной к ней.
 |
Рис.12.6. Проекции пространственной кривой на грани трёхгранника Френе
Так как грани t, s и h этого трёх-гранника подобны плоскостям проекций
П 1, П2 и П3, то в каждой конкретной то-
 |
Рис.12.7. Трёхкартинный комплексный чертёж пространственной кривой
| Рис.12.8. СИСТЕМНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И СТРУКТУРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НЕКОТОРЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ ЛИНИЙ . Таблица 1 | |||
| Исходные условия, уравнение линии | Образуемая линия | Структурные элементы кривой линии | Наименование линии и её системное определение |
| 1. | OA | = R R – const x2 + y2 = R2 |  | O -- центр; OA = R- -- радиус; A1 A = 2R --диаметр; A1 A2 -- секущая; A 1Am -- хорда; A1 O A2 -- сектор круга; Ð A1 O A3 = j° -- центральный угол; A1 m Am -- сегмент круга; Ð A1 A2 An = 90° | Окружность– это система компланар-ных точек, равноуда-лённых от одной то-чки О, называемой центром, на задан-ное расстояние ОА = = R, называемое её радиусом. |
чке свойства кривой m изучаются по свойствам её ортогональных проекций на эти грани (рис.12.6).
Так как точка А в трёхграннике Фре-не подобна началу координат О123, то она совпадает со своими проекциями на эти грани и из трёхкартинного компле-ксного чертежа ( рис.12.7) кривой m вид-но, что она обладает свойствами обы-кновенной точки (Аt), точки пе-региба (Аs) и точки излома (Аh).
Пространственная кривая
дважды искривлена. Первая её
искривлённость определяется
степенью её отклонения от пря-
молинейности, т.е., от касатель-
ной t, а вторая искривлённость, называемая кручением, - степе-нью её отклонения от плоскост-ности, т.е., от соприкасающейся плоскости t.
Эволюта пространственной кривой линии есть пространстввеная кривая линия как система последовать-льных положений центров её кривизн в каждой точке, через которую проходит сопровождающий трехгранник Френе.
Так как геометрические условия,
которые влияют на изменение направ-
ления движения образующей точки, мо-
гут быть разными, то возможно образо-вание множества различных кривых линий.
В этом множестве различаются ли-нии закономерные и случайного вида (или по «замыслу проектировщика»). Наиболее изученными являются зако-номерные линии, которые подразделя-ются на алгебраические (описываемые алгебраическими уравнениями) и тра-нсцендентные(описываемые тригоно-метрическими уравнениями ). Среди
хорошо изученных наиболее распро-странёнными в архитектуре и дизайне являются алгебраические кривые второго порядка и некоторые линии более высоких порядков.
Структура основных линий приве-дена в таблице 1.
Судя по степени уравнений, окруж-ность, эллипс, гипербола и парабола являются алгебраическими кривыми второго порядка, трисектриса Макло-рена – третьего, а конхоида Никомеда – четвертого порядка.
О порядке алгебраической кривой судят по максимальному числу точек её пересечения с прямой линией.
| Исходные условия, уравнение линии | Образуемая линия | Структурные элементы кривой линии | Наименование линии и её системное определение |
| 2. |F1M|+|F2M| = = AB – const x2 / a2+y2/ b2 = 1 |  | F1, F2 -- фокусы F1 F2 = 2c -- фокусное расстояние AB = 2a -- большая ось эллипса CD = 2b -- малая ось эллипса F1 M, F2 M -- фокальные радиусы- векторы MN, PQ - сопряженные диаметры A,B,C,D -- вершины t -- касательная n -- нормаль F1 M + F2 M = AB c : a = e -- эксцентриситет d1 , d2 -- директрисы d1 || d2 ^ AB K, L -- основания директрис TE -- фокальная хорда | Эллипс – это систе-ма компланарных точек, сумма рас-стояний от каждой из которых до двух точек F1 и F2 , назы-ваемых фокусами, есть величина пос-тоянная.. |
| 3. |F1M| - |F2M| = = AB – const; x2/a2-y2/b2 = 1; y = 1/ x |  | F1, F2 -- фокусы F1 F2 = 2c -- фокусное расстояние F1M, F2 M -- радиусы-векторы A, B -- вершины AB = 2a --действительная ось CD = 2b --мнимая ось d1, d2 ^ AB --директрисы K,L --основания директрис c : a = e -- эксцентриситет k1 , k2 -- асимптоты t -- касательная n -- нормаль MN -- фокальная хорда | Гипербола – это система компланар- ных точек, разность расстояний которых до двух данных то-чек F1 и F2, называе-мых фокусами, есть величина постоян-ная |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 |
Рис.12.9. Циклоида
 |
Рис.12.10. Эпициклоида
 |
Рис.12.11. Гипоциклоида