Преимущества факторных экспериментов.
Факторный эксперимент без взаимодействия.
Линии, соответствующие B1 и B2 практически параллельны, что свидетельствует об отсутствии взаимодействий.
Факторный эксперимент с взаимодействием:
Линии, соответствующие B1 и B2 пересекаются, что свидетельствует о взаимодействии факторов А и В.
Преимущества факторных экспериментов.
Рассмотрим 2 фактора А и В с 2мя уровнями качества. Обозначим уровни факторов А1А2, В1В2. Информацию об этих факторах можно получить, варьируя их последовательно по одному.
Метод варьирования факторов по одному:
Эффект изменения фактора А определяется разностью А2В1-А1В1. Из-за наличия ошибки эксперимента желательно взять хотя бы по 2 наблюдения для каждой комбинации обработок и оценить эффекты фактора на основе средних откликов. Общее число наблюдений в этом случае будет 6. Получим одну оценку фактора В.
При проведении факторного эксперимента, надо исследовать еще одну комбинацию обработкиА2В2, тогда только по 4ем наблюдениям можно получить: 2 оценки фактора А: А2В1-А1В1 и А2В2-А1В1; и 2 оценки фактора В: А1В2-А1В1 и А2В2-А2В1.
При варьировании факторов по 1му, опытов надо было бы провести 6, а при факторном эксперименте 4.
Преимущества факторных экспериментов.
1. Более эффективный по сравнению с экспериментами, в которых факторы варьируются по 1му;
2. Необходимо при существовании взаимодействий, чтобы избежать ошибочных действий.
Допустим, что существует взаимодействие. Если в эксперименте изменением факторов по 1му установлено, что А1В2 и А2В1 отклик больше, чем при А1В1, то было бы логично сделать вывод, что при А2В2 он будет еще больше.
При наличии взаимодействия такой вывод может оказаться ошибочным (см. таблица 2).
3. Позволяют оценивать эффекты факторов на нескольких уровнях других факторов, т е сделать выводы для целого диапазона условий эксперимента.
Полный факторный эксперимент.
Основные этапы подготовки к планированию эксперимента.
4. Принципиальные ограничения для значения факторов.
5. Анализ априорной информации – он позволяет определить соответствующие соответствия уровней факторов. Каждая совокупность которых представляет собой многомерную точку в факторном пространстве.
6. Выбор основного уровня.
Алгоритм принятия решения при выборе основного уровня.
Выбор интервалов варьирования.
Интервалом варьирования фактора называется некоторое число, свое для каждого фактора, прибавление которого к основному уровню дает верхний, а вычитание нижний уровень факторов. Для упрощения записи условия эксперимента и обработки эксперимента данных, масштабы по осям принято выбирать так, чтобы верхний уровень соответствовал +1, нижний –1, а основной 0.
, натурально значение –>кодовое
Xj – кодированное значение фактора +/-1;
- натуральное значение фактора;
- натуральное значение основного уровня;
Ij – интервал варьирования;
j – номер фактора.
При выборе интервала варьирования необходимо учитывать:
1. Интервал варьирования не должен быть столь большим, чтобы верхний и нижний уровень выходили за уровень определения;
2. Интервал варьирования не должен быть меньше ошибки, с которой фиксируется уровень фактора.
Принято рассматривать узкий (до 10%), средний (до 30%) и широкий (>30%) от области определения фактора.
Полный факторный эксперимент 2 типа.
Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом.
Рассмотрим ПФЭ 22, который предполагает 4 опыта.
Условия эксперимента можно записать в виде таблицы, где строкам поставленным в соответствие опыты, а столбцам - значение факторов. Такие таблицы принято называть матрицы планирования эксперимента.
Матрица планирования эксперимента 22.
| № опыта | X1 | X2 | y | Буквенное обозначение |
| -1 | -1 | y1 | (1) | |
| + 1 | -1 | y2 | a | |
| -1 | +1 | y3 | b | |
| +1 | +1 | y4 | ab |
Для удобства планирования матричного значения приняты буквенные обозначения строк, при этом № фактора ставится в соответствие букве латинского алфавита.
Опыт со всеми факторами на нижних уровнях принято обозначать 1 – устоявшаяся условность. В матрице планирования указывают только значения факторов, находящихся на верхнем уровне.
Геометрическая интерпретация ПФЭ 22.
В области определения факторов найдем точку соответствующую основному уровню каждого фактора и проведем через нее новые оси координат. Выбираем масштабы по новым осям так, чтобы интервал варьирования для каждого фактора был =1, тогда условие проведения опытов соответствует вершинам квадрата.
По аналогии с ПФЭ 22 можно дать геометрическую интерпретацию ПФЭ 23, которой служит куб, координаты вершин, которые задают условия проведения опытов.
Для числа фактора больше 3, фигура, задающая область эксперимента в пространстве является неким аналогом куба, она называется гиперкуб.
Приемы построения матриц.
Очевидно, что с ростом числа факторов все возможные комбинации уровней найти все сложнее, поэтому на практике используются следующие приемы:
| № | X1 | X2 | X3 | y |
| -1 | -1 | +1 | y1 | |
| +1 | -1 | +1 | y2 | |
| -1 | +1 | -1 | y3 | |
| +1 | +1 | +1 | y4 | |
| -1 | -1 | -1 | y5 | |
| +1 | -1 | -1 | y6 | |
| -1 | +1 | -1 | y7 | |
| +1 | +1 | -1 | y8 |
При добавлении нового фактора X3, каждая комбинация уровней исходного плана (ПФЭ 22) встречается дважды, в сочетании с верхним и нижним уровнями нового фактора–> целесообразно записать исходный план для 1го уровня нового фактора, затем повторить его для других уровней.
| № | X1 | X2 | X3 | X4 |
| -1 | -1 | +1 | y1 | |
| +1 | -1 | -1 | y2 | |
| -1 | +1 | -1 | y3 | |
| +1 | +1 | +1 | y4 | |
| -1 | -1 | -1 | y5 | |
| +1 | -1 | +1 | y6 | |
| -1 | +1 | +1 | y7 | |
| +1 | +1 | -1 | y8 |
Перемножим поочередно столбцы исходной матрицы и получим вектор столбец x1*x2 соответствующий по закону фактора x3. Далее повторим еще раз исходный план, с y столбца произведений знаки поменяем на противоположные.
Свойства ПФЭ типа 2k.
Целью ПФЭ является получение модели, поэтому будем рассматривать только те свойства матриц, которые определяют качество модели. Модель должна обеспечивать точность предсказываемого параметра оптимизации, и не должна зависеть от направления в факторном пространстве, т к заранее неизвестно куда предстоит двигаться в поисках оптимума.
1. Симметричность относительно центра эксперимента – алгебраическая сумма элементов, вектор-столбца каждого фактора =0.
j – номер фактора;
i – номер опыта;
N – число факторов.
2. Условие нормировки – сумма квадратов элементов каждого столбца = числу опытов.
3. Ортогональность матрицы планирования – сумма почленных произведений любых двух вектор-столбцов матрицы = 0.
j≠u
4. Рототабельность матрицы планирования – заключается в том, что точки матрицы планирования подбираются так, что точность предсказания значения параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления.
Построение математической модели на основе ПФЭ.
Для получения математической модели процесса необходимо по результатам эксперимента найти значения ее коэффициентов. Так для математической модели y=b0+b1x1+b2x2, необходимо найти b0,b1,b2.
Очевидно, что b0,b1,b2, полученные по результатам эксперимента не являются истинными значениями коэффициента, а только их статистическими оценками. Достоверность которых тем выше, чем больше число опытов, т е эксперимент проводятся для проверки гипотезы о том, что линейная модель Ѳ=ß0+ ß1x1+ ß 2x2, адекватна, где Ѳ; ß; ß1;ß 2 – истинные значения функции откликов и коэффициентов регрессии.
| № | X1 | X2 | y |
| -1 | -1 | y1 | |
| +1 | -1 | y2 | |
| -1 | +1 | y3 | |
| +1 | +1 | y4 |
Для расчета коэффициента b1, используется столбец X1.
Можно показать, что b0 есть среднее арифметическое параметра оптимизации:
Коэффициенты при независимых переменных указывают на силу влияния факторов, т е чем больше численное значение коэффициента, тем большее влияние оказывает фактор на функцию отклика.
Следует отметить, что мы только предполагаем что в выбранном интервале варьирования процесс описывается линейной моделью. Нелинейность математической модели часто обуславливается тем, что эффект одного фактора зависит от уровня на котором находится другой фактор, т е модели необходимо учитывать, эффект взаимодействия факторов.
Для ПФЭ 22 матрица планирования с учетом эффекта взаимодействия будет иметь следующий вид:
| № | X1 | X2 | X1 X2 | y |
| -1 | -1 | +1 | y1 | |
| +1 | -1 | -1 | y2 | |
| -1 | +1 | -1 | y3 | |
| +1 | +1 | -1 | y4 |
y=b0+b1x1+b2x2+b12x1x2
b12=(+1)y1+(-1)y2+(-1)y3+(-1)y4
В инженерной практике расчет коэффициентов модели часто производят по методу Йетса.
| y1 | y1+ y2 | (y1+ y2)+( y3+ y4) |
| y2 | y3+ y4 | (y2- y1)+(y4- y3) |
| y3 | y2- y1 | (y3+ y4)-( y1+ y2) |
| y4 | y4- y3 | (y4- y3)-( y2- y1) |
В первом столбце таблицы выписан вектор-столбец значений параметра оптимизации.
1ая операция (2ой столбец) состоит в попарном сложении и вычитании этих значений (причем верхнее число вычитается из нижнего).
2ая операция (3ий столбец) состоит в том же действии, но уже с элементами второго столбца. Разделив числа, получившиеся в 3ем столбце на число опытов, получим значения коэффициентов.
Пример:
Пусть матрица планирования имеет следующий вид:
| № | X1 | X2 | X1 X2 | y |
| -1 | -1 | +1 | ||
| +1 | -1 | -1 | ||
| -1 | +1 | -1 | ||
| +1 | +1 | +1 |
b0=95+90+85+82=88
b1=-95+90-85+82=-2
b2=-95-90+85+82=-4,5
b12=95-90-85+82=0,5
Число возможных взаимодействий конкретного порядка можно определить по формуле сочетаний:
Ckm= k!
m!(K-m)!
K – число факторов
m – число факторов во взаимодействии
Так для плана 24 число парных взаимодействий будет =
C164= 16! =16*15*14*13*12!=43680=1820
4!(16-4)! 4*3*2*12! 24
Дробный факторный эксперимент.
Количество опытов ПФЭ превосходит число определяемых коэффициентов линейной модели, поэтому представляет интерес возможности сокращения числа опытов.
Минимизация числа опытов.
Запишем матрицу планирования ПФЭ 22:
| № | X1 | X2 | X1 X2 | y |
| -1 | -1 | +1 | y1 | |
| +1 | -1 | -1 | y2 | |
| -1 | +1 | -1 | y3 | |
| +1 | +1 | -1 | y4 |
Представив математическую модель в виде квадратного уравнения:
y=b0+b1x1+b2x2+b12x1x2
Можно с помощью матрицы планирования можно вычислить все 4 коэффициента. Однако, если мы знаем, что эффектом парного взаимодействия x1*x2 можно пренебречь, то достаточно определить коэффициенты b0; b1; b2. Таким образом считаем, что коэффициент b12 ->0(стремится);
И вектор-столбец (x1x2) можно использовать для нового фактора x3, тогда оценки коэффициента b1; b2; b3 будут следующими:
b1=ß1+ß23;
b2=ß2+ß13;
b3=ß3+ß12.
Следует обратить внимание, что оценки коэффициентов будут не раздельными, а смешанными. Однако, из предположения, что модель линейная следует, что парные взаимодействия незначимы.
Число несмешанных линейного эффектов в дробной реплике, называются ее разрешающей способностью.
Правила минимизации числа опытов.
Для сокращения числа опытов нужно новому фактору присвоить вектор-столбец матрицы, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь. Тогда значение нового фактора в условиях опыта определяется знаками этого столбца.
Минимизация числа опытов требует обязательного анализа принятых решений.
В качестве примера рассмотрим 2 матрицы, которые предлагаются взамен ПФЭ 23, требующей 8 опытов.
Для числа факторов больше 3х фигура, задающая область эксперимента в пространстве является некоторым аналогом … и ее принято называть гиперкуб.
Очевидно, что с ростом числа факторов, все возможные комбинации уровней найти все сложнее, поэтому на практике обычно пользуются следующими примерами построения матрицы.
| № | X1 | X2 | X1 X2 | y |
| -1 | -1 | +1 | y1 | |
| +1 | -1 | +1 | y2 | |
| -1 | +1 | +1 | y3 | |
| +1 | +1 | +1 | y4 | |
| -1 | -1 | -1 | y5 | |
| +1 | -1 | -1 | y6 | |
| -1 | +1 | -1 | y7 | |
| +1 | +1 | -1 | y7 |
При добавлении нового фактора X3, каждая комбинация уровней исходного плана ПФЭ 22 встречается дважды в сочетании с верхним и нижним уровнями нового фактора. Поэтому целесообразно записать исходный план для 1ого уровня нового фактора, а затем повторить его для другого уровня, тогда:
b1=ß1+ß23;
b2=ß2+ß13;
b3=ß3+ß12.
Т е основные эффекты смешаны только с эффектами взаимодействия, а не, друг с другом.
Считают, что модель линейна, предполагается, что эффекты взаимодействия близки к нулю, поэтому:
b1͌ ß1;
b2 ͌ ß2;
b3͌ß3.
Таким планированием воспользоваться можно.
Дробная реплика.
Проведение 4х опытов для оценки влияния 3х факторов позволило воспользоваться половиной ПФЭ 23, или полурепликой, если приравнять X3=-X1*x2, то получим вторую половину матрицы 23.
В этом случае:
b1=ß1-ß23;
b2=ß2-ß13;
b3=ß3-ß12.
При реализации обеих полуреплик можно получить раздельные оценки для линейных эффектов и эффектов взаимодействия, как и ПФЭ 23, т е объединение 2х этих полуреплик и есть ПФЭ 23.
Матрица из 8ми опытов для 4х факторных экспериментов, будет полурепликой. Для ПФЭ 24, а для 5ти факторного четверть репликой ПФЭ 25.
Для обозначения дробных реплик в которых m – линейный эффект, приравниваемый к эффектам взаимодействия, удобно пользоваться условным обозначением:
2k-m, где
k- число факторов;
m – число взаимодействий.
| Число факторов | Дробная реплика | Условное обозначение | Число опытов | |
| Для дробной реплики | Для ПФЭ | |||
| ½ реплики от 23 | 23-1 | |||
| ½ реплики от 24 | 24-1 | |||
| ½ реплики от 25 | 25-2 | |||
| ½ реплики от 26 | 26-3 |
Выбор полуреплик.
Генерирующие соотношение, определяющее контраст.
При выборе полуреплик, плана 23-1, существует 2 варианта:
Приравнять X3 и +X12
X3 = +X1X2
Приравнять X3 и -X12
X3 = -X1 X2
Генерирующее соотношение.
| № | I X3=X1X2 | № | I X3=-X1X2 | ||||||
| X1 | X2 | X3 | X1 X2 X3 | X1 | X2 | X3 | X1 X2 X3 | ||
| + | + | + | + | + | + | - | + | ||
| - | - | + | + | - | - | - | - | ||
| + | - | - | + | + | - | + | - | ||
| - | + | - | + | + | + | + | + |
Генерирующие соотношения умножим на новую независимую переменную X3, результата получи:
X32=X3X1X2 => 1=X3X1X2
X32=-X3X1X2 => 1=-X3X1X2
В результате умножения генерирующего соотношения на новую переменную в нашем примере X3 получают так называемый получающий контраст, который позволяет определить смешанный эффект.
Для того чтобы определить какой эффект смешан с данным, нужно умножить обе части определяющего контраста на столбец, соответствующий данному эффекту.
Если 1=X1X2X3
То для X1 имеем
X1=X12X2X3 (X12=1) ; X1=X2X3
Для X2=X1X22X3 ; X2=X1X3
Для X3=X1X2X32 ; X3=X1X2
Это означает, что коэффициенты линейного уравнения будут оценками:
b1=ß1-ß23;
b2=ß2-ß13;
b3=ß3-ß12.
Т е b1, b2, b3 действительные оценки коэффициента.
Аналогично для 1 равной X1X2X3:
1=- X1X2X3
X1=-X12X2X3 ; X1=-X2X3
X2=-X1X22X3 ; X2=-X1X3
X3=-X1X2X32 ; X3=-X1X2
b1=ß1-ß23;
b2=ß2-ß13;
b3=ß3-ß12.
Порядок проведения эксперимента.
Используя теорию планирования эксперимента, мы ставим соответствие реальному процессу математическую модели считаем, что она с достаточной точностью описывает рассматриваемый процесс, поэтому чем лучше изучим процесс, тем меньше вероятность некорректных исходных данных для построения модели, т е необходимо уметь выявить, классифицировать, оценивать и по возможности исключить некоторые систематические ошибки. Необходимыми условиями к подготовке эксперимента являются:
1. Постановка задачи
a) Описание процесса;
b) Формулировка цели исследования;
c) Выбор параметра оптимизации;
d) Разработка методики;
e) Предположить желаемы результат;
f) Определиться с оценкой результата.
2. Выбор факторов
a) Выявить все факторы, влияющие на процесс;
b) Определить факторы, включаемые в эксперимент и область их определения;
c) Определить возможно ли установить значение каждого фактора на любом заданном уровне и будут ли значения этих уровней сохраняться в течение опыта;
d) Проанализировать, могут ли некоторые комбинации факторов привести к остановке процессов.
3. Число опытов
a) Определить желаемое число опытов;
b) Оценить длительность опыта и его стоимость;
c) Установить число уровней для каждого фактора;
d) Учесть возможность проведения || опытов.
4. Учет априорной информации.
Оценка значимости результатов опытов
В результате проведения каждого опыта – получаем значение отклика yi.
При наличии определенного количества результатов всегда возникает необходимость, проверить, значимо ли отличаются результаты опытов.
Если известна ошибка опытов, то значимость различий 2х средних можно проверить с помощью t критерия.
Критерий Стьюдента.
t= |y1-y2| .
S√(1/n1+1/n2)
y1;y2 – средние значения в 1 и 2 опытах;
S – ошибка опыта (ошибки в 1 и 2 опытах равны);
n1;n2 – количество наблюдений в 1 и 2 опытах.
Эта формула предназначена для сравнения значений 2х малых выборок с равной дисперсией.
Предположим, что в качестве функции отклика выступает относительная, опорная длина профиля (Бейба).
В результате опытов получено:
y1=40%; y2=42,1%; S=1; n1=n2=2; t=2,1.
Число степеней свободы:
υ=n1+n2-2
n1;n2 – число деталей в выборках;
- 2, т к 2 степени свободы используется для вычисления средних.
t2, υ=n1+n2-2
(теоретические значения)
=t0,05,2=2,92
Табличные значения t критерия для υ=2 и 5% уровня значимости =2,92.
Это означает, что вероятность того, что при двух степенях свободы значения величины t, будет больше, чем значение 2,95 =0,05, т к t эксперимент меньше табличного, то с вероятностью Р.
Р=1-L=0,95 можно считать, что разница между результатами 2х опытов нет.
Для отброса ошибочных опытов удобно пользоваться критерием Стьюдента.
|y-y| ≥t
S
Опыт считается некорректным, если эксперимент значение |t| больше табличного.
Пример: при исследовании точной обработки шейки вала на токарном станке, для получения диаметра Ф40±0,2 4 опыта дали результаты действительных размеров 39,9; 39,8; 39,82; 39,84.
Результат 1ого опыта выделяется на фоне остальных, исключив 1 опыт из расчета определим:
y=39,82+39,84+39,8=39,82
S2=1/(n-1)∑(yi-y)2
Проведем проверку по Стьюденту.
|39,9-39,82|=4
0,02
T теоретическое 2,92
Т к t экспериментальное >t табличное, то результат 1го опыта можно считать некорректным.
Проверка однородности дисперсии.
Матрица планирования состоит из серии опытов и дисперсия всего эксперимента получается в результате усреднения дисперсии всех опытов.
Дисперсия параметра оптимизации:
S2{y}=∑N1∑n1(yiq-yi)2
N(n-1)
N – число опытов (число строк в матрице);
q – 1,2,…,n – число повторных опытов
Формула справедлива, если число повторных опытов одинаково по всей матрице.
Следует помнить, что дисперсии должны быть однородны, т е среди ∑ дисперсий не должно быть таких, которые значимо бы превышали остальные.
Проверка однородности дисперсии производится с помощью различных статистических критериев.
Критерий Фишера.
F – критерий
Предназначен для сравнения дисперсий , представляет собой отношение большей дисперсии к меньшей, если полученное значение больше приведенного в таблице, для соответствующих степеней свободы и выбранного уровня значимости, что дисперсии значимо отличаются друг от друга, т е они не однородны.
Пусть:
S12=4,8 ; Ϡ1=6
S22=0,8 ; Ϡ2=5
Fэксперим=4,8/0,8=6
Пусть q=0,05 – уровень значимости, тогда табличное значение F0,05;5;6=4,4
Т к Fэксперим>Fтабл=> дисперсия неоднородна
Критерий Кохрена.
Предназначен для сравнения дисперсий, если их количество >2 и одна дисперсия значительно превышает остальные.
Следует помнить, что число повторных опытов должно быть одинаково.
Критерий Кохрена – это отношение наибольшей дисперсии к сумме всех остальных.
G= Smax2 .
∑i=1N Si
Гипотеза об однородности дисперсии подтверждается, если экспериментальное значение критерия Кохрена не превышает табличного.
Обработка результатов эксперимента.
Большинство всех формул, используемых в технических дисциплинах относятся к так называемым «парным» зависимостям.
y=f(x)
Обработка результатов производится на базе методов наименьших квадратов или линейного регрессионного анализа (ЛРА).
Метод наименьших квадратов широко применяется, как вычислительный прием, но в области статистики, когда речь идет о проверке гипотезы или об адекватности модели и т д., то МНК принято называть регрессионным анализом.
Пусть имеется n пар наблюдений, значение отклика y при фиксированных значениях независимой переменной Xi.
Координаты 8 точек в таблице:
| X | 1,5 | 4,0 | 5,0 | 8,5 | 12,5 | |||
| y | 5,0 | 4,5 | 6,5 | 9,5 |
Задача линейного регрессионного анализа состоит в том, чтобы зная значение точек на плоскости так провести линию регрессии, чтобы сумма квадратов отклонений этох точек вдоль оси oy от проведенной прямой была минимальной. При этом уравнение регрессии должно быть линейным по параметру или допускать возможность линеолизации (процедура проведения регрессионного анализа) одинаковой для уравнений:
y=b0+b1x
y=b0+b1z2
Т к замена z2*x приведет 2е уравнение к 1му.
Известно, что уравнение прямой на плоскости имеет вид, где b0 и b1 – коэффициенты, таким образом задача регрессионного анализа заключается в следующем:
U = ∑Ni=1=[yi-(b0+b1xi)]min (1)
Следует отметить, что метод наименьших квадратов (МНК) является интерпретационным методом, т к построенная линия регрессии позволяет в данном случае с некоторой вероятностью предсказать в интервале от X=1,5 до X=12,5 любые значения функции yдля отсутствующих в таблице значениях X.
Для решения уравнения (1) необходимо вычислить значение коэффициентов b0 и b1 и приравнять их к 0.
Подставляя значение U и дифференцируя, а далее раскрыв скобки и выполнив ряд преобразований получим:
Система нормальных уравнений МНК.
Систему (2) решаем с помощью определителя, где Ѳ - главный определитель системы:
| № | x | y | x 2 | xy |
| 1,5 | 2,25 | 7,5 | ||
| 4,5 | ||||
| 6,5 | 45,5 | |||
| 8,5 | 9,5 | 72,25 | 80,75 | |
| 12,5 | 156,25 | 112,5 | ||
| ∑ | 59,5 | 61,5 | 541,75 | 510,25 |
Таким образом уравнение регрессии будет:
y=3,7+0,5x.
Геометрическая интерпретация уравнений(коэффициентов) регрессии.
b0 – свободный член, геометрически представляет собой расстояние от начала координат до точки пересечения линии регрессии с осью ординат.
b1 – коэффициент представляет собой тангенс угла наклона линии регрессии к оси абсцисс.