Интерполяция экспериментальных данных

Задачей интерполяции является отыскание коэффициентов уравнения, которое наилучшим образом соответствует экспери­ментальным данным. При интерполяции число опытов равно числу неизвестных коэффициентов. Вид уравнения выбирают из априор­ных соображений по литературным данным, с учетом теории ис­следуемого процесса. Пригодность интерполяционных формул оце­нивают чаще всего путем постановки дополнительных опытов и сравнения расчетных (теоретических) и измеренных значений.

Задача интерполяции может быть сведена в большинстве слу­чаев к задаче решения системы уравнений заданного вида

y₁=f(c₁, x₁)

y₂=f(c₂, x₂)

y_N=f(c_N, x_N)

Здесь N — число опытов, равное числу неизвестных коэффициентов с_i. Значения у_i, и x_i, являются известными из опытов вели­чинами.

ОБОРУДОВАНИЕ, ИНСТРУМЕНТ, МАТЕРИАЛЫ

1. Вертикальный гидравлический пресс модели ПСУ-250 уси­лием 2,5 мН.

2. Оснастка для прямого метода прессования.

3. Двухканальная матрица с различными площадями попереч­ного сечения каналов.

4. Многоканальная матрица с каналами одинаковых размеров.

5. Комплект матриц с различным положением Т-образного про­филя на зеркале матрицы.

6. Цилиндрические заготовки диаметром 49 мм и высотой Н 50 — 60 мм из технически чистого свинца.

7. Масштабная линейка.

8. Машинное масло, кисточка.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Коэффициенты α и β определяют из экспериментов по прессованию в двухканальную матрицу с различными площадями попе­речного сечения канала (рис. 2) и в многоканальную матрицу с каналами одинаковых размеров (рис. 3). Для каждого материала определенной температуры и скорости прессования коэффициенты α и β принимают конкретные значения.

Рис. 2. Матрица двухканальная. Рис. 3. Матрица с каналами одинаковых размеров.

Для проведения эксперимента по прессованию в двухканальную матрицу (см. рис. 2) расположение отверстий выбиралось таким образом, чтобы R₁ = R₂ = const. Рабочие пояски отсутствовали, поэтому уравнение (2) имеет вид

тогда

откуда коэффициент

Для определения коэффициента β необходимо провести эксперимент по прессованию полосы, разбитой на три элемента (см. рис. 3). В этом случае Ф₁ = Ф₂ = Ф₃ = const, пояски также отсутствуют. Тогда уравнение (2) упрощается:

Таким образом,

откуда

Если определить скорости истечения i-го элемента как

то

где – отпрессованные длины элементов, полученных при истечении из каналов 1 и 2 соответственно.

При этом считаем, что изменение скоростей истечения в процессе прессования незначительно. Произведя измерения длин отпрессо­ванных элементов с помощью масштабной линейки, нетрудно оп­ределить коэффициенты α и β по формулам (6), (7) и (8).

Далее предполагаем, что найденные на основании эксперимен­тальных исследований при прессовании в беспоясковые многока­нальные матрицы коэффициенты α и β будут оставаться неиз­менными для конкретного сплава и данных условии прессования профиля произвольной конфигурации, состоящего из любого числи элементов, имеющих различные площади поперечных сечений.

В данной лабораторной работе необходимо найти оптимальное расположение Т-образного профиля на зеркале матрицы. Ввиду симметрии профиля относительно одной из осей координат достаточно определить одну координату, что сокращает объем вычисле­ний. Для четырех возможных положений профиля на зеркале мат­рицы вдоль оси симметрии (рассматривать расположение, при котором часть профиля выходит за пределы контура контейнера, не имеет смысла) определим среднеквадратичное отклонение и построим график в координатах U — (r_g/R₀). Минимум на кривой будет соответствовать оптимальному расположению профиля в плоско- сти матрицы. Очевидно, для сложных профилей при поиске опти­мальных параметров матрицы необходимо использовать ЭВМ.

Для проверки правильности расчетной формулы необходимо провести эксперимент по прессованию Т-образного профиля в специально сконструированную матрицу с расположением канала согласно расчетам. Матрица состоит из нескольких колец, эксцентрично расположенных относительно друг друга (рис. 4).

Рис. 4. Матрица для прессования Т – образного профиля.

Таким образом, матрица находится в промежуточной втулке, а втулка в матрице держателе. Вращением втулки с матрицей можно добить­ся смещения центра тяжести профиля относительно оси симметрии. По результатам эксперимента оценивается точность методики про­ектирования прессовых матриц.

СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

1. Краткое описание работы.

2. Запись результатов замера и расчетов.

3. Обработка результатов экспериментов.

4. Выводы.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Перечислить способы выравнивания скоростей истечения.

2. Что такое скорость прессования и скорость истечения металла и как они определяются?

3. К каким дефектам приводит нарушение геометрического подобия между сечением заготовки и сечением прессуемого профиля?

4. В чем заключается сущность проектирования матриц, основанная на фор­мализации результатов экспериментальных исследований?

5. Укажите факторы, вызывающие неравномерность скоростей истечения.

6. Каким образом нужно расположить отверстие на зеркале матрицы для прессования асимметричного профиля?

7. Укажите границы применимости формулы Матвеева-Журавского.

8. В чем заключается сущность интерполяции экспериментальных данных?

ПЛАНИРОВАНИЕ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА В ПРОЦЕССАХ ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ

Цель работы — изучение методов обработки эксперимен­тальных данных и планирования эксперимента для построения математических моделей процессов прессования и их оптимизация; практическое применение методов планирования и обработки ре­зультатов эксперимента в условиях конкретного процесса прессо­вания; построение математической модели, связывающей усилие прессования трубы с технологическими параметрами процесса — конусностью матрицы и вытяжкой; исследование закономерностей формирования труб с внутренним оребреиием в зависимости от технологических параметров процесса прессования и конструкции иглы; нахождение оптимальных параметров инструмента при прессовании трубы с наружным оребреиием, обеспечивающих минимальную неравномерность скоростей истечения.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Понятие о планировании эксперимента

Планирование эксперимента — это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для ре­шения поставленной задачи с требуемой точностью. Наиболее важными в областях науки и техники являются задачи, связанные с поиском оптимальных условий и построением математических моделей.

Поставленная задача решается на основе представления о ки­бернетической системе, которую называют «черным ящиком». Он представляет собой систему связей, недоступную для наблюдения, гак как о содержании, механизме процесса нам ничего не известно пли известно лишь частично. Известны только входы, переменные участвующие в процессе (факторы), и выходы — результат про­цесса (параметр оптимизации), обозначенный символом у.

Каждый фактор может принимать в опыте одно или несколько значений. Такие значения называются уровнями. Схема «черного ящика» позволяет строить математические уравнения, связывающие параметр оптимизации с факторами

у =f(x_1, x₂, ..., x_k) .

Задача эксперимента состоит в том, чтобы определить числен­ные значения коэффициентов этого уравнения. Обычно функцию, f(x_1, x₂, ..., x_k) выбирают в виде степенного ряда. В частности, для двух факторов функция имеет вид полиномов первой степени У = b₀ + b₁x₁ + b₂х₂ с неполным квадратным членом У = b₀ + b_xx₁ + b₂х₂ + b₁₂x₁x₂. Модель должна быть достаточно точной, т. е. близкой к фактической зависимости. Тогда считают, что она адекватна.