Точка С носит название центра системы параллельных сил

Из сказанного выше следует, что центром данной системы параллельных сил называется точка, через которую проходит линия действия их равнодействующей при любом повороте сил системы вокруг их точек приложения на один и тот же угол в одну и ту же сторону.

Выведем теперь формулы для определения координат центра системы параллельных сил. Возьмем пространственную систему осей координат и обозначим координаты точек приложения данных сил: В₁ — соответственноx₁, y,z₁; В₂ — x₂, y₂ z₂; B₃ – х₃, у₃,z₃.

Координаты центра параллельных сил С обозначим х_С, у_С , z_С.

Как известно, равнодействующей называется сила, эквивалентная данной системе сил, т. е. равнодействующая приложенная в точке С, производит на тело такое же действие, как и вся система силF₁, F₂, . . , F_k, . . .,F_n. Значит, согласно теореме Вариньона, момент равнодействующей относительно любой оси равен алгебраической сумме моментов сил относительно той же оси.

Определим моменты сил относительно оси у.

Так как

гдеk принимает последовательно значения от 1 до п.

Отсюда

где Поэтому формула для опре­деления абсциссы центра параллельных сил принимает окончатель­ный вид

Определив последовательно момент равнодействующей и момен­ты всех составляющих сил относительно оси х, найдем, чтоF_Σy_c= ΣF_hy_k, откуда следует формула для определения ординаты центра параллельных сил

Сила тяжести — равнодействующая сил притяжения к Земле, распределенных по всему объему тела. Силы притяжения, приложенные к частицам твердого тела, образуют систему сил, линии действия которых сходятся в центре Земли (рис. 8.1). Поскольку радиус Земли значительно больше размеров любого земного тела, силы притяжения можно считать параллельными

1. Если тело имеет вид фигуры, составленной из плоских или изогнутых тонких однородных пластин, то сила тяжести каждого участка такой фигуры

G_h=A_kp,

гдеA_k — площадь участка, р — сила тяжести единицы площади фигуры (интенсивность силы тяже­сти по площади фигуры). Подставив в формулу вместоG_k его значениеA_hq, получим формулы координат центра тяжести фигу­ры, составленной из площадей:

где x_k, y_k, z_к— центры тяжести отдельных участков фигуры пло­щадью А.

Для плоской фигуры, составленной из площадей,

При решении задач механики используют чаще последние формулы.

Числители в этих формулах, равные алгебраическим суммам произведений площадей частей плоской фигуры на расстояния их центров тяжести до соответствующей оси, называют статическими моментами плоской фигуры относительно осей.

Следовательно, ΣA_кx_к — статический момент плоской фигуры относительно оси у, ΣA_ку_к — статический момент плоской фигуры относительно оси х.

Обозначив статические моменты соответственноS_y, S_x и приняв во внимание, что ΣА_к = А — площади всей плоской фигуры, по­следние две формулы примут вид

Отсюда

т. е.статический момент плоской фигуры относительно оси абсцисс равен произведению площади фигуры на ординату ее центра тяжести, а статический момент относительно оси ординат — произ­ведению площади фигуры на абсциссу ее центра тяжести.

Статический момент плоской фигуры выражается в м³, см³ или в мм³.

Положения центров тяжести простых геометрических фигур мо­гут быть рассчитаны по известным формулам (рис. 8.3: а) — круг; б) — квадрат, прямоугольник; в) — треугольник; г) — полукруг).

Примечание. Центр тяжести симметричной фигуры находится на оси симметрии.

Центр тяжести стержня находится на середине высоты. При решении задач используются следующие методы:

1. метод симметрии: центр тяжести симметричных фигур находится на оси симметрии;

2. метод разделения: сложные сечения разделяем на несколько простых частей, положение центров тяжести которых легко определить;

3. метод отрицательных площадей: полости (отверстия) рассматриваются как часть сечения с отрицательной площадью.

Задание 1:

Определить координаты центра тяжести заданного сечения. Принять а = 20 мм.

Пример выполнения задания

Определить положение центра тяжести фигуры, представленной на рис. 8.4.

Решение

Разбиваем фигуру на три части:

Аналогично определяется у_С = 4,5 см.

Ответ:С1(10;5); С2(25;3,3); С3(10;5); С(14,5;4,5)

Задание 2:Определить координаты центра тяжести заданного сечения. Принять:

а = 20 мм, b = 70мм, c = 60 мм,

а = 10 мм швеллер №10 уголок №11/7	а = 20 мм, швеллер №30, уголок№ 14/9
а=5мм b= c= швеллер№ 18, уголок 8/5	швеллер №40 уголки № 8
а= 30 мм, b= 100 мм уголок №8/5, швеллер № 20	а = 30 мм, швеллер № 8, уголок № 5/3,2
а = 8 мм, швеллер№5, уголок № 4,5/2,8	а=4мм, с= 60 мм, b=16мм, швеллер № 16, уголок № 8/5
а=10мм, b=50мм, c= 60мм, швеллер №10, уголок 6,3/4	b=80мм, уголок № 5/3,2, швеллер№11
а=10мм, швеллер№30, уголок№11/7	а=22 мм, швеллер№22,уголок№5,6/3,6
а= 30мм, швеллер № 27, уголок № 12,5/8	а=7 мм, b=60мм, с=60 мм швеллер№14, уголок №4,5/2,8
а= 35 мм, уголок №9/5,6, швеллер № 16	а=8 мм, b=80мм, швеллер №,5 уголок № 4,5/2,8
швеллер № 8, уголок№5/3,2	швеллер №36, уголок №7/4,5
швеллер №24, уголок№ 9/5,6	швеллер №18, уголок № 14/9
швеллер № 5, уголок №4,5/2,8, а=10 мм, b=70мм, с=20мм	швеллер №6,5, уголок № 3
швеллер № 33, уголок№14/9	швеллер № 5, уголок№4,5/2,8
швеллер №10, уголок 9/5,6	швеллер № 12, уголок № 7,5/5

Пример выполнения задания

Определить координаты центра тяжести составного сечения. Сечение состоит из листа и прокатных профилей (рис. 8.5).

Примечание. Часто рамы сваривают из разных профилей, создавая необходимую конструкцию. Таким образом, уменьшается расход металла и образуется конструкция высокой прочности.

Для стандартных прокатных профилей собственные геометрические характеристики известны. Они приводятся в соответствующих стандартах.

Решение

1. Обозначим фигуры номерами и выпишем из таблиц необходимые данные:

1 — швеллер № 10 (ГОСТ 8240-89); высотаh = 100 мм; ширина полкиb = 46 мм; площадь сечения А₁ = 10,9 см²;

2 — двутавр № 16 (ГОСТ 8239-89); высота 160 мм; ширина полки 81 мм; площадь сечения А₂ — 20,2 см²;

3 — лист 5x100; толщина 5 мм; ширина 100мм; площадь сечения A₃ = 0,5 • 10 = 5 см².

2. Координаты центров тяжести каждой фигуры можно определить по чертежу.

Составное сечение симметрично, поэтому центр тяжести находится на оси симметрии и координата х_С = 0.

3. Определение центра тяжести составного сечения:

Порядок выполнения:

1. Выполнить схемы фигур в масштабе.

2. Разбить фигуру на части, обозначить каждую часть номером.

3. Для каждой части найти центр тяжести и отметить его на чертеже.

4. Определить общий центр тяжести заданной фигуры, отметить его на чертеже.

5. Ответить на контрольные вопросы

6. Вывод

Содержание отчета:

5. Схема фигуры в масштабе с нанесенными на нее центрами тяжести.

6. Решение.

7. Ответы на контрольные вопросы.

8. Вывод.

Контрольные вопросы:

1. Где находится центр тяжести круга?
2. Как найти площадь прямоугольника?
3. Как найти центр тяжести плоской составной фигуры?
4. Почему силы притяжения к Земле, действующие на точки тела, можно принять за систему параллельных сил?
5. Повторите формулы для определения положения центра тяжести простых геометрических фигур: прямоугольника, треугольника, трапеции и половины круга.
6. Что называют статическим моментом площади?

7. Чем отличается нахождение центра тяжести сечения, составленного из стандартных профилей?

Практическая работа № 4

Тема:Расчет на прочность при растяжении и сжатии

Цель: Изучить какие внутренние силовые факторы возникают при нагружении внешними силами. Научиться строить эпюры продольных сил и нормальных напряжений

Теоретическая основа:

Растяжением или сжатием называют вид нагружения, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор — продольная сила.

Продольные силы меняются по длине бруса. При расчетах после определения величин продольных сил по сечениям строится гра­фик — эпюра продольных сил.

Условно назначают знак продольной силы.

Если продольная сила направлена от сечения, то брус растянут. Растяжение считают положительной деформацией (рис. 20.1а).

Если продольная сила направлена к сечению, то брус сжат. Сжа­тие считают отрицательной деформацией (рис. 20.1б).

Участком нагружения считают часть бруса между внешними силами.

Эпюрой продольной силы называется график распределения продольной силы вдоль оси бруса.

Ось эпюры параллельна продольной оси.

Нулевая линия проводится тонкой линией. Значения сил откладывают от оси, положительные — вверх, отрицательные — вниз.

В пределах одного участка значение силы не меняется, поэто­му эпюра очерчивается отрезками прямых линий, параллельными оси Oz.