Определение модуля сдвига и модуля юнга проволоки методом крутильных колебаний

Цель работы: изучение крутильных колебаний маятника, определение модуля сдвига G и модуля Юнга E.

Все реальные твердые тела под действием внешних сил деформируются, т.е. изменяют свою форму: удлиняются, сжимаются, закручиваются, изгибаются и т.д. Тела, в которых после прекращения действия внешней силы деформация полностью исчезает и восстанавливается первоначальная форма, называются абсолютно упругими. При небольших деформациях многие твердые тела (в частности, металлические) ведут себя почти как абсолютно упругие. Остаточные деформации в них весьма малы и часто их можно не учитывать. При простом растяжении или сжатии деформация однородна. Тогда как при кручении она неоднородна, т.е. изменяется от точки к точке.

Если взять однородную проволоку, закрепить ее верхний конец, а к нижнему приложить закручивающие силы, создающие закручивающий момент относительно продольной оси, то проволока испытает деформацию кручения. При этом любой радиус, проведенный в ее нижнем сечении, повернется вокруг оси на угол j (рис.1).

Закон Гука для деформации кручения имеет вид:

М = f×j, (1)

где М - момент силы, приложенной к проволоке, а f- постоянная для данной проволоки величина, называемая модулем кручения. Модуль кручения зависит не только от материала, но и от геометрических размеров проволоки:

, (2)

где G- модуль сдвига, l - длина проволоки, r - ее радиус. (Вывод этой формулы смотри в [11, 14]). Модуль сдвига G является характеристикой вещества и связан с модулем Юнга E через коэффициент Пуассона m соотношением:

E = 2×(1 + m)×G. (3)

Здесь mравен отношению относительной поперечной деформации Dr/r при растяжении к относительной продольной деформации Dl/l. Таким образом, определив модуль кручения f, можно найти модуль сдвига G и модуль Юнга E.

Если к нижнему концу проволоки прикрепить массу (например рамку с грузом), повернуть ее на некоторый угол j относительно оси проволоки, а затем отпустить, то в такой системе возникнут крутильные колебания, которые описываются углом поворота jрадиуса-вектора, проведенного в нижнем сечении проволоки (стержня). При небольших амплитудах j₀ колебания будут гармоническими, и описываются уравнением:

j = j₀×Sin(w₀×t + a). (4)

Здесь w₀ =2×p/T - циклическая частота свободных колебаний (угловая скорость ), Т - период колебаний, a - начальная фаза, t - время.

Уравнение динамики вращательного движения будет иметь вид:

, (5)

где M - момент сил, I- момент инерции системы, e - ее угловое ускорение.

Т.к. M = - j×f= - f×j₀×Sin(w₀×t + a) (см. формулу 1 и 4), то из уравнения (5) следует, что

f = I×w₀² или f = (4×p²/T²)×I. 6)

Т.о., модуль кручения f можно найти, измеряя период крутильных колебаний.

Для определения модуля кручения проволоки используется установка, основным элементом которой является рамка, закрепленная с помощью двух проволок П(рис. 2).

Внутри рамки крепится сменный металлический цилиндр Ц, который совершает крутильные колебания вместе с рамкой. Время колебаний t определяется электрическим секундомером, вмонтированным в установку вместе со счетчиком периодов n. Период колебаний находится как Т = t/n. Меняя цилиндр, мы, тем самым, меняем массу m и момент инерции I всей системы и, следовательно, период колебанийT. Согласно (6) для одной и той же проволоки, когда f = const, имеем:

I₁×w₀₁² = I₂×w₀₂²или I₁/I₂ = T₁²/T₂² . (7)

Здесь I₁ и I₂ - моменты инерции для двух различных цилиндров. Момент инерции системы I складывается из момента инерции цилиндра массы m и радиуса R, относительно его оси симметрии I = 1/2×m×R² и момента инерции рамки I₀. Для первого и второго цилиндров они имеют вид:

I₁ = I₀ + 1/2×m₁×R₁²

I₂ = I₀ + 1/2×m₂×R₂² . (8)

Исключив величину I₀ в уравнениях (8) и используя выражение (7), выразим величины I₁ и I₂ в следующем виде:

. (9)

Здесь Т₁ и Т₂ - периоды колебаний маятников с первым и вторым цилиндром соответственно. Используя выражения (6) и (9), получим формулу для модуля кручения системы:

. (10)

В лабораторной установке рамка крепится двумя проволоками одинаковой длины. Модуль кручения одной проволоки f_п будет в два раза меньше, чем двух f_п = f_с /2. С учетом этого из (2) и (10) получим выражение для модуля сдвига G:

(11)

Используя табличное значение коэффициента Пуассона m (для cтали m=0,23-0,31), можно определить по формулам (2) и (11) модуль Юнга E.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Один раз взвесить цилиндры, измерить массы.

2. Измерить 5 раз штангенциркулем радиусы цилиндров.

3. Измерить длину проволок от точки закрепления до рамки l₁ и l₂. Принять за l их среднее значение <l> = (l₁+ l₂)/2.

4. Измерить диаметр d проволоки микрометром.

5. Закручивая рамку с цилиндром на заданный в пределах (40° - 100°) угол, определить время 10 колебаний системы с первым цилиндром. Вычислить T₁. Измерения проводить 5 раз для выбранного угла.

6. Повторить измерения для системы со вторым цилиндром согласно пункту 5.

Таблица 1