Преобразования на плоскости

Тема - Базовые понятия и геометрические преобразования на плоскости (итоги).

Введение

В основе КГ лежат разделы курсов математики: аналитической геометрии, проективной геометрии, а также сведения из линейной алгебры.

Базовые понятия: свободный вектор, радиус-вектор, система координат. Пространства – векторное, аффинное, евклидово, проекционное; базис, разложение вектора, линейная комбинация векторов, линейная зависимость и независимость векторов, действия с векторами, скалярное и векторное произведение векторов и т. д. И наконец – матрицы и действия над ними. Эти понятия необходимо знать для целей последующего применения в программировании. Слайд 1.

Преобразования на плоскости

Принципы и основные правила геометрических преобразований начинают изучать с преобразований на плоскости. Прежде всего, это те преобразования, которые оставляют линии прямыми. Таких преобразований три – аффинные, перспективные и билинейные.

Слайд 2.

Основные отличия этих преобразований друг от друга:

v Аффинные преобразования сохраняют параллельность прямых;

v Билинейные преобразования не сохраняют ничего, кроме прямизны линий;

v Перспективные преобразования (иначе их называют проективными) – это общий случай аффинных преобразований с нормирующим делителем. Перспективные преобразования расширяют аффинные и позволяют получать изображения более реалистичные трёхмерных объектов. Перспективные преобразования сохраняют прямолинейность линий и не сохраняют параллельность в направлении взгляда. Основа перспективных преобразований – проективная геометрия. Просмотреть её и изучить можно самостоятельно.

1. Аффинные преобразования: перенос, масштабирование, сдвиг и поворот

Начнём с аффинных преобразований (далее - АП), а именно с преобразования системы координат. Формулы преобразования известны со средней школы. Слайд 3.

Для параллельного переноса имеем

x' = x + dx

y' = x + dy

Отметим: параллельность прямых сохраняется в 4-х случаях – когда осуществляют параллельный перенос, сдвиг, масштабирование и поворот.

Масштабирование (Слайд 4) – есть умножение системы координат (системы координат точек плоскости) на постоянное число s.

Масштабированием достигают изменение размеров объекта, получение гомотетии при Sx = Sy. А если число S принимает отрицательное значение, то объект зеркально отображается (отражается) относительно начала координат или одной из осей координат.

Сдвиг (Слайд 5) – это добавление к одной из координат другой координаты:

или

Поворот относительно начала координат (Слайд 6).

Вывод формулы поворота выполнен через полярные координаты с использованием тригонометрических функций. Поворот не сопровождается изменением размеров объекта.