Занятие № 7. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Существует несколько методов, позволяющих получить решение системы n линейных уравнений с n неизвестными приближенно, с заданной точностью.

Способы решения систем линейных уравнений делятся на две группы:

1) точные методы, представляющие собой конечные алгоритмы для вычисления корней системы (решение систем с помощью обратной матрицы, правило Крамера, метод Гаусса и др.),

2) итерационные методы, позволяющие получить решение системы с заданной точностью путем сходящихся итерационных процессов (метод итерации, метод Зейделя и др.).

Вследствие неизбежных округлений результаты даже точных методов являются приближенными. При использовании итерационных методов, сверх того, добавляется погрешность метода.

Эффективное применение итерационных методов существенно зависит от удачного выбора начального приближения и быстроты сходимости процесса.

Метод Гаусса

1. Схема единственного деления. Рассмотрим сначала простейший вариант метода Гаусса, называемый схемой единственного деления.

Прямой ход состоит из n - 1 шагов исключения.

1-й шаг. Целью этого шага является исключение неизвестного x₁ из уравнений с номерами i = 2, 3, n. Предположим, что коэффициент a₁₁ ≠ 0. Будем называть его главным элементом 1-го шага.

Найдем величины

называемые множителями 1-го шага. Вычтем последовательно из второго,
третьего, …, n-го уравнений системы первое уравнение, умноженное соответственно на q₂₁, q₃₁, …, q_n1. Это позволит обратить в нуль коэффициенты при x₁ во всех уравнениях, кроме первого. В результате получим эквивалентную систему

в которой вычисляются по формулам

2-й шаг. Целью этого шага является исключение неизвестного х₂ из уравнений с номерами i = 3, 4, n. Пусть a₂₂⁽¹⁾ ≠ 0, где a₂₂⁽¹⁾ - коэффициент, называемый главным (или ведущим) элементом 2-го шага. Вычислим множители 2-го шага

и вычтем последовательно из третьего, четвертого, ..., n-го уравнения системы второе уравнение, умноженное соответственно на q₃₂, q₄₂, …, q_m2. В результате получим систему

Здесь коэффициенты вычисляются по формулам

Аналогично проводятся остальные шаги. Опишем очередной k-й шаг.

к-й шаг. В предположении, что главный (ведущий) элемент k-го шага a_kk^(k-1) отличен от нуля, вычислим множители k-го шага

и вычтем последовательно из (k + 1)-го, …, n-го уравнений полученной на предыдущем шаге системы k-e уравнение, умноженное соответственно на

После (n - 1)-го шага исключения получим систему уравнений

матрица которой является верхней треугольной. На этом вычисления прямого хода заканчиваются.

Обратный ход. Из последнего уравнения системы находим x_n. Подставляя найденное значение x_n в предпоследнее уравнение, получим x_n-1. Осуществляя обратную подстановку, далее последовательно находим x_n-1, x_n-2, ., x₁. Вычисления неизвестных здесь проводятся по формулам

Необходимость выбора главных элементов. Заметим, что вычисление множителей, а также обратная подстановка требуют деления на главные элементы a_kk^(k-1). Поэтому, если один из главных элементов оказывается равным нулю, то схема единственного деления не может быть реализована. Здравый смысл подсказывает, что и в ситуации, когда все главные элементы отличны от нуля, но среди них есть близкие к нулю, возможен неконтролируемый рост погрешности.

Метод Гаусса с выбором главного элемента по всей матрице (схема полного выбора).

В этой схеме допускается нарушение естественного порядка исключения неизвестных.

На 1-м шаге метода среди элементов a_iJ определяют максимальный по модулю элемент Первое уравнение системы и уравнение с номером i₁ меняют местами. Далее стандартным образом производят исключение неизвестного из всех уравнений, кроме первого.

На k-м шаге метода среди коэффициентов при неизвестных в уравнениях системы с номерами i = k, ., n выбирают максимальный по модулю коэффициент Затем k-е уравнение и уравнение, содержащее найденный коэффициент, меняют местами и исключают неизвестное из уравнений с номерами i = k + 1, ., n.

На этапе обратного хода неизвестные вычисляют в следующем порядке:

Пример. Решить систему методом Гаусса с выбором главного элемента:

Решение системы удобно оформить в виде таблицы

Используя выделенные строки, получим треугольную систему для определения неизвестных

Откуда последовательно находим

Задания: выполнить задание 4 ИДЗ№1.