Оператор трансляции

Разложим функцию вблизи точки :

Теперь, если , тогда:

Оператор действуя на переводит её в

- вектор трансляции.

Тогда оператор трансляции

Потенциал системы зарядов.

Частное решение уравнения Пуассона:

Здесь , а есть интегральный оператор, ядро которого есть функция Грина.

В точке источник, а - точка наблюдения, где мы считаем потенциал.

Для неограниченных областей имеем:

Т.е. пространство становится однородным, так как нет границ и начало отсчёта можно выбрать где угодно.

Формула (*) позволяет рассчитать потенциал по заданному распределению заряда. Затем посчитать напряжённость .

Теперь рассмотрим систему из точечных зарядов:

Здесь - точки, где расположены заряды.

Но по определению -функции:

Окончательно имеем: