Примеры. Задача 1. В читальном зале имеется 6 учебников по математике, из которых 4 новых и 2 старых

Задача 1. В читальном зале имеется 6 учебников по математике, из которых 4 новых и 2 старых. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника новые.

Решение: Обозначим: событие А- первый взятый учебник новый, событие В - второй взятый учебник новый. Очевидно: (четыре учебника новые из шести);

(при условии А, т.е. первый учебник новый, останется 3 новых учебника из 5). Вероятность, что оба учебника новые, находим по теореме умножения вероятностей зависимых событий:

Замечание: Аналогично можно найти вероятности:

.

.

Проверка: Делается с учетом того, что все переменные события образуют полную группу и, следовательно, сумма их вероятностей равна единице: .

Ответ: .

Задача 2. Студент выучил 20 вопросов из 25. Какова вероятность, что он ответит на три предложенных ему вопроса; ответит хотя бы на один вопрос?

Решение: Обозначим: Событие А - студент ответил на первый вопрос. Событие В - студент ответил на второй вопрос. Событие С - студент ответил на третий вопрос.

События - зависимые.

.

Обозначим событие D - студент ответит хотя бы на один вопрос, противоположное ему событие D - студент не ответит на все три вопроса. Так как для противоположных событий , то

.

Ответ: .

Задача 3. Для сигнализации на складе установлены два независимо работающих устройства. Вероятность, что при необходимости первое устройство сработает, равна 0,8, а для второго устройства эта вероятность 0,9. Найти вероятность того, что в случае необходимости:

а) оба устройства сработают;

б) оба устройства не сработают;

в) только одно устройство сработает;

г) хотя бы одно устройство сработает.

Решение: Обозначим: событие А - сработает первое устройство; событие В - сработает второе устройство.

По условию тогда , .

По теореме умножения независимых событий:

а) ;

б) .

Далее пользуемся также теоремой сложения вероятностей несовместных событий:

в) .

Замечание: Рассмотренные события а), б) и в) - несовместимы и единственно возможны. Следовательно, они образуют полную группу событий и сумма их вероятностей должна быть равна 1. Действительно: 0,72+0,02+0,26=1. Это служит подтверждением правильности решения задачи.

г) для нахождения вероятности наступления «хотя бы одного события» удобно находить сначала вероятность противоположного ему события «не наступила не одного события». Так как сумма вероятностей противоположных событий равна 1, то

.

Ответ: а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Задача 4. Три стрелка делают по одному выстрелу в цель. Вероятность попадания для первого стрелка 0,8, для второго 0,7, для третьего 0,6. Найти вероятность того, что:

а) все стрелки попадут в цель;

б) только один стрелок попадет в цель;

в) только два стрелка попадут в цель;

г) цель будет поражена.

Решение: Обозначим: событие А - первый стрелок попадет в цель,

.

событие В -второй стрелок попадет в цель,

.

событие С - третий стрелок попадет в цель,

.

События А, В, С- независимые.

а) ;

б) .

в) .

г) .

Проверка: 0,336+0,188+0,452+0,024=1.

Ответ: а) ;

б) .

в) .

г) .