Пример 1. Решить уравнение

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

dy = y¢dx, Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

y = c1 x¾ общее решение уравнения.

Пример 2. Доказать, что функция

у = С1ех + С2е (1)

является решением уравнения

у" – 3у' + 2у = 0. (2)

Решение. Последовательно дифференцируя (1), приходим к равенствам:

y' = С1ех + 2С2е,

у" = С1ех + 4С2е.

Решая эту систему относительно С1ехи С2е, получаем:

С1ех = 2y' – у",

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

Подставляя эти выражения в (1), приходим к (2).

Пример 3. Проверить, что функция

у3 – Сх3 + 3ху = 0 (3)

является интегралом уравнения

у3 – (ху2 + х2)у' + 2ху = 0. (4)

Решение. Дифференцируя (3)по х в предположении, что у = у(х), приходим к равенству

у2у' – Сх2 + у + ху' = 0,

откуда

Сх2 = (у2 + х)у' + у.

Подставляя выражение для Сх2 из последнего равенства в (3), имеем:

у3 – (у2y' + хy' + y)x + 3ху = 0,

что равносильно (4).

Пример 4. Найти дифференциальное уравнение семейства кривых

y = C(x – C)2. (5)

Решение. Дифференцируя (5)по переменной х, получаем

y' =2C(x – C), (6)

откуда

С2= Сх – 5у'.(7)

С помощью равенства (7)преобразуем (5)так, что постоянная Сбудет входить в запись слагаемых полученного выражения встепенях не более первой:

у =0,5 ху' –0,5Су'.

Следовательно,

Су' = ху' – 2у. (8)

Умножая (6)на (у')2, получаем

(у')3=2ху'(Су') – 2(Су')2.

Исключая из полученного равенства Су' с помощью (8), окончательно имеем:

(у')3=4хyу' – 8y2.

Пример 5. Найти решение уравнения

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

удовлетворяющие начальному условию у (0) = 1.

Решение. Из определения неопределенного интеграла <…>, следует, что общее решение заданного уравнения имеет вид:

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

Используя преобразование переменной под знаком дифференциала, получаем

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

Учитывая начальное условие, приходим к равенству 1 = 1 + С, откуда С = 0. Таким образом, искомое частное решение имеет вид:

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

Геометрически найденная функция представляет интегральную кривую дифференциального уравнения, проходящую через точку (0, 1). ►

Пример 6. Решить уравнение:

yx2dy – ln xdx = 0.(10)

Решение. Исходное уравнение перепишем в виде

.Пример 1. Решить уравнение - student2.ru (11)

Таким образом, имеем уравнение с разделяющимися переменными и из (11) следует:

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

Интеграл левой части — табличный. Для нахождения интеграла правой части воспользуемся формулой интегрирования по частям, где

и = ln x, :

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

Окончательно интеграл уравнения (10) имеет вид:

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

Пример 7. Решить уравнение

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

Решение. Правая часть уравнения является однородной функцией степени 0 по переменным х и у, так как

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

Поэтому данное уравнение — однородное. Для его решения воспользуемся заменой переменной z = у/х, где z = z (х). Тогда у' = zx y'=z'x + z, иуравнение (12.13) принимает вид:

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

или

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

что равносильно

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

т.е. приходим к уравнению с разделяющимися переменными. Выполняя почленное интегрирование последнего равенства, получаем

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

Возвращаясь к исходной переменной, после преобразования имеем:

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

Пример 8:

1) (1 + x2)y" – 2ху' = 0.

Замена y' = p, p = p(x), y'' = p' Þ (1+ х2)p' – 2хр =0 — уравнение с разделяющимися переменными Þ

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

y' = c1(1 + x2) Þ dy = c1(1 + x2)dx Þ

y = c1(x + x3/3) + c2. ►

2) 1 + y'2 –= 2yу''.

Замена y' = p, p = p(y), у" = р'р, 1 + р2 =2урр' — уравнение с разделяющимися переменными

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

Пример 9:Решить уравнение

y" = y'ctg x.

Решение. Положим z = 1. Тогда у" = (у')' = z' и исходное уравнение принимает вид

z' = zctg x. (12.28)

Пусть z ≠ 0. Тогда из (12.28)следует:

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

или

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

Интегрируя почленно последнее равенство, получаем

ln|z| = ln|sin x| + lnC1,

где С1 > 0, или

z = ± С1sin x.

Так как z = 0 является решением уравнения (12.28),то произвольное решение этого уравнения имеет вид:

z = С1sin x, (12.29)

где С1— произвольное число.

Так как Пример 1. Решить уравнение - student2.ru то из (12.29)следует:

dy = С1sin xdx.

Интегрируя последнее равенство, окончательно получаем

у = – С1cos x + C2. ►

Пример 10:Решить уравнение

yy" = y2y' + (y')2,

Решение. Пусть z = y', тогда , где и исходное уравнение принимает вид: dy

yzz' = y2z + z2, (12.30)

т.е. становитсяуравнением относительно функции z = z(y). Очевидно, z = 0 — решение уравнения (12.30),откуда у = С,где С— произвольное число.

Пусть z ≠0. Тогда из (12.30)следует, что

yz' = y2 + z (12.31)

— линейное уравнение первого порядка .Решение этого уравнения будем искать в виде z = uv,где v = v(y) — некоторое решение уравнения

yv' – v = 0, (12.32)

и = и(у) —решение уравнения

u'v = y. (12.33)

Решая (12.32),в частности, имеем v = у.Тогда (1233)приводит к уравнению и' =1, откуда и = у + С1, т.е. решение (12.31)имеет вид:

z = y2+ C]y.

Так как z = y',то приходим к уравнению

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

Пусть С1 = 0. Тогда при y ≠0 имеем

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

и, следовательно, х= у–1 + С2, или

у =(С2 – х) –1. (12.34)

Пусть C1 ≠ 0, тогда

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

и после интегрирования:

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

Окончательно решение исходного уравнения имеет вид у = С или (12.34), или(1235)

Пример 11.

xy¢ - y - x - 1= 0.

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

y = xln x + Cx - 1 ¾ общее решение уравнения.

Пример 12.

Решить уравнение

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

Решение. Будем искать решение этого линейного уравнения в виде

у = и × v,

где v = v(x)— некоторое решение уравнения

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

u = u(x)— решение уравнения

vu' = x2. (12.19)

Уравнение (12.18)— с разделяющимися переменными:

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

Выполняя почленное интегрирование последнего равенства, получаем:

ln|v| = –ln|x + 1| + C.

Поскольку в данном случае достаточно найти некоторое решение уравнения (12.18), то удобно полагать С =0, тогда

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

Подставляя найденную функцию v в уравнение (12.19),приходим к уравнению

du = (x3 + x2)dx.

В результате почленного интегрирования последнего равенства получаем

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

Таким образом, решение исходного уравнения имеет вид:

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

Пример 13.

Решить уравнение

3 – ху)у' = 1.

Решение. Будем искать решение этого уравнения в виде x = х(у) (т.е. считая, что у— независимая переменная, а х— функция от у). Так как

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

то исходное уравнение линейно относительно функции х:

х' + ху = у3. (12.20)

Решим соответствующее однородное уравнение:

х' + ху = 0. (12.21)

Пусть х ≠ 0. Тогда

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

Последнее равенство равносильно

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

Учитывая, что х = 0 — решение уравнения (12.21),получаем, что общее решение этого уравнения имеет вид:

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru 12.22

Полагая, что С2= С2(у), найдем эту функцию из условия, что (12.22)— решение уравнения (12.20).Из (12.22)следует, что

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru 12.23

Подставляя (12.22), (12.23)в (12.20), приходим к уравнению

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

или

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

Тогда

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

Подставляя найденное выражение для функции С2= С2(у)в (12.22), получаем решение уравнения (12.20):

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

Пример 14.

Решить уравнение

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

Решение. Данное уравнение является уравнением Бернулли при n = 2. Отметим, что у = 0 является решением этого уравнения. Пусть у ≠ 0. Воспользуемся заменой переменной z = у1 – n = у–1.Тогда у = z–1, у' = – z–2z' и исходное уравнение принимает вид:

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

Решим сначала однородное уравнение

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

Пусть z ≠ 0. Тогда

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

ln|z| = ln|x| = lnC2, (12.26)

где С2 — произвольное положительное число. Равенство (12.26) перепишем в виде:

|z| = С2|х| или z = ± С2х.

Учитывая, что z = 0 является решением уравнения (12.25), получаем, что произвольное решение этого уравнения имеет вид:

z = С1х,(12.27)

где С1— любое число.

Положим теперь, что С1 = С1(х)и найдем эту функцию С1из условия, что (12.27) — решение уравнения (12.24). Из (12.27) следует, что

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

Тогда, учитывая (12.27), получаем, что уравнение (12.24) принимает вид:

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

или

dC1 = dx,

и поэтому

С1 = х + С.

Подставляя это выражение в (12.27), имеем решение уравнения (12.24):

z = (x + C)x.

Так как

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

то окончательно решение исходного уравнения

имеет вид:

у(х2+ Сх) = 1,

или

y = 0.

Пример 15.Решить уравнения:

а) y'' – 3y' + 2y = 0;

Решая характеристическое уравнение

λ2 – 3λ + 2 = 0,

находим его корни λ1 = 1, λ2 = 2. Тогда общее решение данного уравнения имеет вид

y = C1ex + C2e2x.

б) y'' – 2y' + y = 0

Решая характеристическое уравнение

λ2 – 2λ + 1 = 0

получаем λ1 = λ2 = 1

Согласно п. 2 теоремы общее решение дифференциального уравнения имеет вид

y = (C1 + C2x)ex.

в) y'' – 2y' + 2y = 0.

Характеристическое уравнение

λ2 – 2λ + 2 = 0

не имеет действительных корней. В этом случае согласно п. 3 теоремы общее решение дифференциального уравнения имеет вид

y = C1exsin x + C2excos x (a = β = 1).

Пример 16.

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

¾ неоднородное уравнение.

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

¾ соответствующее ему однородное уравнение.

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

¾ общее решение однородного уравнения.

Будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

Подставим эту функцию в неоднородное уравнение:

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

Приравняем коэффициенты при sinx и cosx.

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

¾ частное решение неоднородного уравнения.

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

¾ общее решение неоднородного уравнения.

Пример 17.

у" + у' = 5х + 3.◄ Ищем решение в виде

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru .

а) y* — общее решение уравнения

у" + у' = 0,

его характеристическое уравнение

k2 + k = 0, т.е. k1= 0, k2 = –1 Þ у* = с1 + c2ex:

б) — частное решение уравнения

у" + у' = 5х + 3

— ищем в виде

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

так как правая часть уравнения — многочлен первой степени и k1= 0. Подставим в уравнение:

Пример 1. Решить уравнение - student2.ru

2A + B = 3 Þ A = 5/2, B = – 2.

Таким образом,

y = c1 + с2еx + 5х 2/2 – 2х

Основная литература

1. Шипачёв, В.С. Высшая математика: учебник для вузов.- 8-е изд., стер.- М.: Высшая школа, 2007.- 479с., илл. ББК 22.1 МО

2. Башмаков, М.И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для СПО.- М.: Академия, 2012.- 208с. ББК 22.1 ФИРО

3. Башмаков, М.И. Математика. Задачник: учеб. пособие для СПО.- М.: Академия, 2012.- 416с. ББК 22.1 ФИРО

4. Федорова Н.В. Математика. Учебное пособие. – Волгоградский институт бизнеса, вузовское образование. 2013. ISBN: 978-5-9061-7227-3

5. Лукша В.В. Математика. Учебное пособие. – Волгоградский институт бизнеса, вузовское образование. 2013. ISBN: 978-5-9061-7228-0

6. Гунько Ю.А. Математический анализ. Учебное пособие. – Волгоградский институт бизнеса, вузовское образование. 2013. ISBN: 978-5-9061-7230-3

7. Щербакова Ю.В. Дифференциальные уравнения. Учебное пособие. Научная книга. 2012.

8. Боронина Е.Б. Математический анализ. Учебное пособие. Научная книга. 2012.

Дополнительная литература

1. Высшая математика для экономистов: Учебник / Кремер Н.Ш. - М.: Юнити, 2006, 2008, 2009.

2. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учб. пособ./ Под ред. В.И. Ермакова-М.:ИНФРА-М,2004.

3. Общий курс высшей математики (для экономистов): Учебник / Под ред. Ермакова В.И. – М.: Инфра-М, 2003.

4. Кузнецов Б. Т. Математика. М., ЮНИТИ, 2004

Формы текущего контроля знаний: решение задач.

Формы контроля самостоятельной работы студентов: ответы на вопросы, проверка решения задач, заданных на дом.

Наши рекомендации