Следствие из теоремы умножения вероятностей для независимых событий

Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению их вероятностей

.

V Я пользуюсь электронной почтой. На прошлой неделе я посылаю письмо подруге, коллеге и тезисы на конференцию. Ни на одно письмо нет ответа. В принципе не ответить может каждый. Найти вероятность неработы почты, если вероятность события «нет ответа от подруги» равна 0.5, вероятность события «нет ответа от коллеги» равна 0.3 и вероятность события «нет ответа с конференции» равна 0.2?

Ï Обозначим вышеперечисленные события А, В и С. Тогда событие АВС - не ответил никто. Т.к. эти события независимы в совокупности, то

Можно сделать вывод, что письма дальше сервера не уходят. N

Вероятность появления хотя бы одного события

Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности. Вероятности появления каждого события известны. Как найти вероятность того, что произойдет хотя бы одно из этих событий (т.е. или одно, или два, …, или все n событий)?

J V Заранее известны вероятности прихода на лекцию каждого студента группы СУА. Какова вероятность того, что на лекции будет хотя бы один студент этой группы?

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁,…, А_n , независимых в совокупности, равняется:

, где - противоположные события.

Доказательство:

Событие А – появление хотя бы одного из событий. Тогда Ā – непоявление ни одного события (не наступит ни 1-е, ни 2-е, …, ни n-е событие).

Ā = Ā₁ Ā₂ … Ā_n

Т.к. события независимы и

<

V Пусть события значат соответственно, что группы ГКСР, СУА, ЗИОД пришли на лекцию в полном составе. Будем считать эти события независимыми и пусть (J либо пришли, либо нет). Найти вероятность того , что на лекции есть хотя бы одна группа в полном составе.

Ï Событие А – «хотя бы одна группа пришла в полном составе».

N

ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Теперь, имея уже представления об элементарных действиях над событиями и оставаясь в рамках классического определения вероятности Р(А) = m/n (m – число элементарных исходов, благоприятствующих А; n - общее число элементарных исходов) докажем теорему сложения вероятностей.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:Р(А+В) = Р(А)+Р(В)

Доказательство.

n - число всех элементарных исходов.

m₁ – число исходов, благоприятствующих А.

m₂ – число исходов, благоприятствующих В.

Р(А+В)=(m₁+m₂)/n = m₁/n + m₂/n = P(A) + P(B) <

Следствие. Вероятность суммы нескольких попарно несовместных событий равна сумме этих событий:

P(A₁+A₂+…+A_n) = P(A₁) + P(A₂) + … + P(A_n)

Доказательство.

Рассмотрим 3 события.

P(A₁+A₂+A₃)=P((A₁+A₂)+A₃)=

(т.к. события несовместны) =P(A₁+A₂)+P(A₃)=P(A₁)+P(A₂)+P(A₃).

На произвольное число событий доказательство обобщается методом матиндукции. <

<

Вспомним полную группу попарно несовместных событий (события образуют полную группу попарно несовместных событий, если в результате опыта обязательно происходит только одно из них).

Теорема. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1:

P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n)=1

Доказательство.

А₁+А₂+…+A_n=Ω (достоверное событие)

P(Ω)=1 Þ P(A₁+…+A_n)=1

Т.к. несовместны, то

P(A₁)+…+P(A_n)= P(A₁+…+A_n)=1. <

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1: P(A)+P(Ā)=1

Доказательство: противоположные образуют полную группу. <

V Найти вероятность того, что ни она из граней случайно выбранной костяшки домино не кратна 4.

Ï

Найдем вероятность события А - одна из граней кратна 4:

P(A)=7/28=1/4. Нам нужно найти вероятность противоположного события P( )=1-1/4=3/4. N

Мы помним, что Р(А+В)=Р(А)+Р(В) – если А, В

несовместны. А если совместны?

Теорема. Вероятность суммы двух

совместных событий равна сумме вероятностей этих