Расчет надежности систем с произвольной структурой

При оценке надежности систем произвольной структуры, на основе анализа функционирования систем, определяются возможные состояния системы и переходы между ними. По результатам этого анализа строится граф состояний системы. Предположим, что граф состояний имеет вид, представленный на рис. 1.12. Каждое состояние системы на графе представлено прямоугольниками. Стрелками отмечены возможные переходы из одного состояния в другое. Каждой стрелке соответствует определенная интенсивность отказа. Допустим, далее, что из анализа функционирования системы определены работоспособные состояния системы, то есть состояния, при нахождении в которых система будет выполнять поставленную перед ней задачу. Тогда надежность будет определяться вероятностью нахождения системы в одном из работоспособных состояний. Если предположить, что для рассматриваемого примера работоспособными являются состояния 1 и 2, то надежность такой системы запишется в виде

Н = Р₁ + Р₂ (1.39)

где Р₁ , Р₂ – соответственно вероятности нахождения системы в первом и втором состояниях. Искомые вероятности находятся в результате решения системы дифференциальных уравнений Колмогорова. Число уравнений равно числу всех состояний. Уравнения для каждого состояния составляются по следующему правилу:

слева записывается производная по времени от вероятности нахождения системы в данном состоянии, справа записывается сумма членов, число членов равно числу стрелок, выходящих или входящих в рассматриваемое состояние, каждый член равен произведению интенсивности отказа, стоящей при стрелке, умноженной на вероятность того состояния, из которого исходит стрелка. Знак при слагаемом берется со знаком «+», если стрелка «втекает» в рассматриваемое состояние и со знаком «- », если стрелка «вытекает» из него

Доказательство данного правила не представляет большого труда и производится по схеме, уже рассмотренной выше, при выводе соотношения (1.7). С этой целью рассмотрим граф, представленный на рис. 1.13. Очевидно можно записать следующее равенство

.

Перенося в левую часть и деля на получим

.

Рис. 1.13 Граф состояний системы.

Переходя к пределу при приходим к дифференциальному уравнению

(1.40)

Для графа, представленного на рис. 1.12, система дифференциальных уравнений примет вид

Для получения единственного решения необходимо задать пять начальных условий:

, i=1,2,….5.

Так как в каждый момент времени система обязательно находится в одном из рассматриваемых состояний, любое уравнение системы может быть заменено условием нормировки

. (1.41)

Системы дифференциальных уравнений рассмотренного типа могут быть решены операторным методом. Для этого к обоим частям уравнения применяют преобразование Лапласа

Согласно свойству преобразования Лапласа имеем Применяя преобразование Лапласа ( см. табл.1.2а ) к системе (1.40), приходим к системе алгебраических уравнений относительно (1.42)

Таблица 1.2а

!.3.5. Понятие о коэффициенте готовности.

Если число состояний S конечно и из каждого состояния можно перейти в любое другое, то существуют предельные вероятности состояний, не зависящие от начального состояния системы. Например, система, представленная графом состояний на рис. 1.14 , удовлетворяет этим требованиям и, следовательно, приходит со временем к стационарному режиму.

Рис. 1.14 Граф состояний системы.

Предельные вероятности состояний дают средние относительные величины времени пребывания системы в данном состоянии. Для вычисления предельных вероятностей состояний нужно составить систему уравнений Колмогорова (1.40) и положить ее левые части равными нулю. В этом случае система дифференциальных уравнений превратится в систему линейных алгебраических уравнений, которая решается при нормировочном условии (1.41).

Для иллюстрации рассмотренного метода найдем выражение для расчета надежности восстанавливаемого элемента системы. При анализе восстанавливаемых систем вводится понятие интенсивности восстановления ν. Согласно определению под интенсивностью восстановления ν(t) понимается условная плотность распределения времени восстановления, найденная при условии, что до момента t элемент не восстановлен. Граф состояний восстанавливаемого элемента представлен на рис. 1.15. Здесь первое состояние соответствует работоспособному состоянию элемента, а второе – состоянию отказа. Система дифференциальных уравнений для рассматриваемого случая запишется так:

(1.43)

Для простоты будем считать, что интенсивности отказа и восстановления не меняются по времени. Кроме того, предположим, что в начальный момент система находится в исправном состоянии. Таким образом, начальные условия запишутся в виде

Р₁(0) = 1; Р₂ = 0 (1.44)

Складывая первое и второе уравнения, получим

Отсюда

Дифференцируя первое уравнение, приходим к уравнению 2-го порядка

(1.45)

Уравнение (1.45) можно рассматривать как уравнение с разделяющимися переменными относительно Р´₁, т.е.

(1.46)

Отсюда

Экспоненциируя, получим

(1.47)

Для нахождения С₁ определим начальные условия для Р´₁(0). Учитывая (1.43) и (1.44), получим

(1.48)

Подставляя начальное значение в (1.47), найдем

С₁ = - λ (1.49)

Интегрируя (1.47), будем иметь

(1.50)

Подставляя в (1.50) начальные условия (1.44), определим С₂

(1.51)

Таким образом, окончательно будем иметь

(1.52)

Заметим, что при мы приходим к стационарному решению (1.53)

Выражение (1.53) определяет вероятность того, что в произвольный момент времени элемент находится в работоспособном состоянии. Стационарное значение обычно принимается за коэффициент готовности элемента. Физически коэффициент готовности характеризует среднюю долю времени нахождения элемента в работоспособном состоянии. Заметим, что стационарное решение может быть получено более просто, как решение системы алгебраических уравнений, полученных из (1.43) приравниванием к нулю

!.3,6 « Холодное» резервирование.

«Холодное» резервирование --- резервирование раздельное с замещением отказавшего элемента резервным. При этом рабочий режим основного устройства не искажается. Однако необходимо затрачивать определенное время на подключение резервного элемента. Граф состояний такой системы для n-1 резервных элементов представлен на рис. 1.16.

Рис. 1.16 Граф состояний системы.

Первое состояние графа соответствует случаю безотказного функционирования основного элемента, второе состояние соответствует отказу основного элемента и безотказному функционированию первого запасного элемента и т д. Наконец, последнее состояние соответствует отказу всей системы. Очевидно надежность такой системы будет определяться вероятностью нахождения системы в первых n состояниях, то-есть

(1.54)

где вероятность нахождения системы в i-том состоянии.

Для оценки составляющих запишем систему дифференциальных уравнений Колмогорова для графа, представленного на рис. 1.16

(1.55)

Система (1.55) решается при начальных условиях .

Решая систему операторным методом, получим

(1.56)

Таким образом

. (1.57)

Если , получим

.

Соответственно для оригинала имеем

(1.58)

После преобразований найдем [5]

(1.59)

Значения слагаемых под знаком суммы представлены в табл. 1.2а

Таблица 1.2а.

Полученный результат можно представить в виде

Если предположить, что , получим приближенную оценку вероятности отказа системы

, где q – вероятность отказа системы. (1.60)

Очевидно, величина характеризует вероятность отказа в случае «горячего» резерва.

Таким образом при идеальном переключателе ненагруженный резерв лучше нагруженного.

Однако при неидеальном переключателе необходимо учитывать вероятность его отказа, что ухудшает характеристики надежности для ненагруженного резерва.