Одномерные фильтрационные потоки несжимаемой жидкости при нелинейных законах фильтрации

Прямолинейно-параллельный поток

Нелинейный степенной закон фильтрации в данном случае принимает вид:

(3.1)

Определим дебит и распределение давления.

Для определения постоянного дебита Q разделим переменные в формуле (3.1) и проинтегрируем в пределах от Р_к до Р_г и от 0 до L_к:

,

откуда

. (3.2)

Интегрируя выражение (3.1) в пределах от Р_к до Р и от 0 до x, найдем распределение давления:

или, с учетом выражения (3.2):

. (3.3)

Таким образом, распределение давления при нелинейном законе фильтрации (3.1) совпадает с формулой распределения давления в аналогичном потоке при фильтрации по закону Дарси.

Скорость фильтрации равна:

. (3.4)

Скорость фильтрации постоянна во всем фильтрационном потоке.

Плоскорадиальный поток

Степенной закон фильтрации в данном случае принимает вид:

(3.5)

Отсюда

Разделив переменные и проинтегрировав в пределах от Р_с до Р_к и от R_c до R_k, получим:

(3.6)

В предельном случае при n=2 (закон Краснопольского) из уравнения (3.6) имеем:

.

Пренебрегая величиной по сравнению с , получим:

. (3.7)

Интегрируя выражение (3.5) в переделах от Р_к до Р и от R_k до r, найдем распределение давления в потоке:

. (3.8)

При n=2

. (3.9)

Rак видно из формулы (3.6), индикаторная линия при 1£n£2 будет иметь вид выпуклой к оси дебитов степенной кривой с дробным показателем степени. В случае выполнения закона Краснопольского индикаторная линия является параболой второго порядка.

Кривая распределения давления в плоскорадиальном потоке при нелинейном законе фильтрации, как видно из формулы (3.8), имеет форму гиперболы. Воронка депрессии является гиперболоидом вращения, и ее крутизна у стенки скважины будет больше, чем у логарифмической кривой.

В реальных условиях при небольших дебитах скважины фильтрация может происходить по линейному закону. С увеличением дебита вблизи забоя скважины начинается нарушение линейного закона фильтрации. По мере увеличения дебита область потока, в которой нарушен закон Дарси, будет расширяться. В этих случаях удобно использовать двучленный закон фильтрации:

, (3.10)

где .

Выражая скорость фильтрации V через дебит Q

,

разделяя переменные и интегрируя в соответствующих пределах, находим:

а) распределение давления в пласте:

;

б) дебит скважины

.

Дебит Q находится как положительный корень квадратного уравнения, из которого видно, что индикаторная линия в этом случае является параболой.

Контрольные вопросы:

1. Охарактеризуйте типы одномерных фильтрационных потоков.

2. Проанализируйте расчетные зависимости для определения характеристик прямолинейно-параллельного потока.

3. Проанализируйте расчетные зависимости для определения характеристик плоскорадиального потока.

4. Дайте определение коэффициента продуктивности скважины.

5. Охарактеризуйте основные виды макронеоднородности пластов.

6. Сравните и проанализируйте основные характеристики фильтрационных потоков в слоисто-неоднородном и зонально-неоднородном пластах.

7. Постройте схемы распределения давления в плоскорадиальном потоке жидкости для слоисто-неоднородного и зонально-неоднородного пластов.

8. Сопоставьте выражения для определения дебита и давления в случаях соблюдения и нарушения закона Дарси. Отдельно рассмотрите прямолинейно-параллельный и плоскорадиальный потоки.