Дифференциальное уравнение изгиба пластинки

Пермский Государственный Технический Университет

Кафедра «Динамика и прочность машин»

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА

Изгиб пластин

Учебно-методическое пособие

Пермь 2005

УДК 519.3:624.07

К 60

Рецензенты: д-р техн. наук, директор ИМСС УрО РАН В.П. Матвиенко; канд. физ.-мат. Наук, проф. Кафедры ДПМ Пермского государственного технического университета А.А. Лежнева

Кузнецова Е.В., Колмогоров Г.Л.

К60 Изгиб пластин: Учебное пособие к решению задач и лабораторному практикуму по исследованию прогибов при нагружении квадратных и круглых пластин / Пермский государственный технический университет. Пермь, 2005. 32 с.

Рассматриваются понятия, определения и характеристики, используемые в теории пластин, приведены основные уравнения пластин, а также показано влияние граничных условий на результаты решения подобных задач. Теоретические положения иллюстрируются примерами.

Даны методические указания к лабораторным работам: определение прогибов при нагружении сосредоточенной силой квадратной пластинки; напряженно-деформированное состояние при изгибе круглой пластинки.

Пособие предназначено для студентов специальностей «Динамика и прочность машин», «Компьютерная механика», изучающих курс «Строительная механика».

Ó Пермский государственный

технический университет, 2005

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Раздел «Теория пластин» входит в комплексную дисциплину «Строительная механика» специальности «Динамика и прочность машин».

Существует большое количество деталей конструкций, машин и механизмов с определенными характеристиками и свойствами, которые при моделировании и абстрагировании можно описать как пластины. Конструкции с использованием деталей подобных пластинам легкие, прочные и широко используются в строительстве, аэрокосмической технике, судо-, автомобиле-промышленности. Расчет пластин на прочность, жесткость и устойчивость – это задачи строительной механики.

Пластина – это модель формы, к которой можно отнести тела, у которых один габаритный размер (толщина) много меньше двух других (см. рис.1).

Рис. 1. Пластинка

Определяющими характеристиками для пластин являются (рис.1): срединная поверхность – плоскость равноудаленная от наружных поверхностей, а также толщина h и величина прогиба w при действии нагрузки P.

В зависимости от величины прогиба пластинки подразделяют на:

1) жесткие пластины, где величина прогибов не превышает 20-25% от толщины пластинки преобладают изгибные напряжения, а зависимость между прогибами и нагрузкой линейна;

2) гибкие пластины, с прогибами в которых возникают цепные (мембранные) напряжения, действующие в плоскости срединной плоскости.

3) абсолютно гибкие пластинки, в которых прогиб при действии нагрузки в 5-6 раз больше толщины зависимость между прогибами и нагрузкой нелинейна, преобладают мембранные напряжения, а изгибными напряжениями можно пренебречь.

В тех случаях, когда прогибы малы в сравнении с ее толщиной, то есть речь идет о жестких пластинах, можно построить удовлетворительную приближенную теорию изгиба под поперечными нагрузками, основываясь на следующих допущениях:

1. В срединной плоскости пластинка не испытывает никаких деформаций. При изгибе эта плоскость остается нейтральной.

2. Точки пластинки, лежащие до загружения на нормали к срединной плоскости, остаются в процессе изгиба на нормали к ее срединной поверхности. Это допущение эквивалентно пренебрежению влиянием перерезывающих сил на прогиб пластинок, что допустимо, за исключением случая пластины с отверстием, когда перерезывающие силы имеют большое значение.

3. Нормальными напряжениями в направлении, поперечном к срединной плоскости пластинки, допустимо пренебрегать ( ).

Основываясь на этих допущениях можно все компоненты напряжений выразить через прогибы пластинки.

Цилиндрическая жесткость.

Дифференциальное уравнение изгиба пластинки

Рассмотрим задачу об изгибе длиной прямоугольной пластинки, толщиной h, несущей поперечную, не изменяющуюся по длине пластинки нагрузку Р(х). Изогнутую поверхность участка такой пластинки, достаточно удаленного от ее концов, можно при этом считать цилиндрической, с осью цилиндра, параллельной пластинки (рис. 2).

Для вывода дифференциального уравнения изгиба выделим элементарную полоску как стержень прямоугольного поперечного сечении пролетом l, толщиной h. При вычислении обусловленных изгибом напряжений в таком стержне мы предполагаем, что поперечные сечения стержня остаются плоскими, испытывая лишь повороты относительно своих нейтральных осей. Если в концевых сечениях стержня не приложено никаких нормальных сил, то нейтральная поверхность стержня совпадает со срединной поверхностью пластинки, и относительное удлинение волокна, параллельного оси х, окажется пропорциональным его расстоянию от срединной поверхности. Кривизну изогнутой оси стержня можно будет при этом принять равной . Относительное удлинение волокна, отстоящего на расстоянии от срединной поверхности (рис.3) будет иметь вид

.

a б Рис. 3

Пользуясь законом Гука, выразим относительные удлинения и заштрихованного на рис.3,а элемента в функции действующих на него нормальных напряжений. Для достаточно длинной пластины ( ) реализуется схема плоского напряженного состояния (ПНС) . С учетом обобщенного закона Гука

,

, (1)

где – коэффициент Пуассона.

Для того, чтобы пластинка сохранила при деформации непрерывность, необходимо, чтобы поперечная деформация ее в направлении у была равна нулю. Второе из уравнений (1) даст нам .Подставив это значение в первое, получим

, (2)

где – относительное удлинение волокна, отстоящего на расстоянии от серединной поверхности, которое имеет вид

Располагая выражением для напряжения изгиба , находим посредством интегрирования изгибающий момент в элементарной полоске

. (3)

Вводя обозначения , (4)

представим уравнение изогнутой кривой, т.е. кривой прогибов, для элементарной полоски в следующем виде:

, (5)

Здесь величина D играет ту же роль, что и произведение El, входящее в формулы изгиба балки, называется цилиндрической жесткостью пластины при изгибе.