Кристаллографические индексы

Для того чтобы определить положение отдельных узлов, а также прямых и плоскостей, проходящих через эти узлы в пространственной решетке, в кристаллографии приняты специальные обозначения. Эти обозначения в настоящее время стандартизованы и носят название кристаллографических индексов.

Известно, что положение точки в пространстве, или узла в элементарной ячейке, можно задать тремя координатами, относительно выбранной системы координат.

В кристаллографии описание решетки начинается также с выбора координатной системы, причем выбор осей берется в соответствии с решеткой Бравэ. За начало координат в решетке принимается, как правило, положение одного из узловых атомов.

Существуют два отличия кристаллографической системы координат от обычной геометрической:

1) В кристаллографической системе масштаб измерений по каждой оси самостоятелен и равен периоду идентичности.

2) В случае косоугольной элементарной ячейки в кристаллографии принимается косоугольная система координат, а не ортогональная.

Рис.1.10. Кристаллографические индексы узла [[mnp]].

Рис. 1.10 поясняет понятие кристаллографических индексов узла. Числа m, n, p являющиеся проекциями вектора Rпо оси x, y, z. Они и будут кристаллографическими индексами узла, определяющими его положение в элементарной ячейке. Индексы узла могут быть как целыми так и дробными числами.

Поскольку все ячейки пространственной решетки тождественны, то точке внутри какой-то ячейки соответствует тождественная точка во всех остальных ячейках. В связи с этим в подавляющем большинстве случаев положение узлов характеризуют узлами, лежащими в первой элементарной ячейке, ближайшей к началу координат. Они и обозначаются символами [[mnp]] или [[ ]]. Эти индексы связаны с реальным положением узла в любой ячейке в решетки как

x¢=x+ma

y¢=y+nb или (1.1)

z¢=z+pc

Таким образом, положение любого узла можно определить, выразив его координаты , через координаты известного узла, прибавляя или отнимая целые значения m, n, p.

Рис.1.11. Кристаллографические индексы прямых [m n p].

С помощью трех индексов, обозначаемых буквами m, n, p задается и направление семейства параллельных прямых, проходящих через узлы решетки (рис.1.11). Оно определяется индексами узла, поскольку эти же отрезки определяют и положение вектораR

R=ma+nb+pc .(1.2)

При подстановке вместо букв m, n, p численных значений индексов для определения данного семейства прямых поступают следующим образом.

1) Выбирают прямую, проходящую через начало координат.

2) Для обозначения прямой выбирают индексы того узла, который имеет целочисленные значения m, n, p.

3) Выбранный узел лежит ближе других к началу координат, т.е. индексы его не имеют общего множителя.

Таким образом, индексы семейства параллельных прямых выражаются всегда целыми числами, не имеющими общего множителя, как, например, направления [100], [111], [102]. По индексам этих прямых можно построить их в элементарной ячейке (рис.1.11).

Зная индексы прямой [mnp], можно определить и углы, которые она образуют с осями координат. Например, для кристаллов кубической системы углы между направлением [mnp] и осями x, y, z равны:

(1.3)

При определении угла между двумя произвольными направлениями в кристалле устанавливаем индексы соответствующих им прямых [m₁ n₁ p₁] и [m₂ n₂ p₂]. Тогда согласно аналитической геометрии угол j между этими прямыми определяется соотношением:

cosj=cosa₁×cosa₂ + cosb₁×cosb₂ + cosg₁×cosg₂ (1.4)

Подставляя из (1.3) значения cosj в (1.4), получим

(1.5)

Важным моментом является также определение узловой плоскости. Через узлы решетки можно провести ряд, параллельных между собой, узловых плоскостей (рис.1.12). Такие плоскости называются семейством параллельных плоскостей и характеризуются определенным межплоскостным расстоянием.

Рис.1.12. Семейство параллельных плоскостей и кристаллографические индексы плоскостей (hkl).

Пусть плоскость отсекает на осях координат отрезки A, B, C. Уравнение этой плоскости в отрезках

+ + = G (1.6)

где: G – целое число; x = ma, y = nb, z = pc – координаты какого-либо узла в плоскости. Так как m = x/a, n = y/b, p = z/c, то можно записать

= G

Величины a/A, b/B, c/C – правильные дроби, и их отношение можно заменить отношением некоторых целых чисел

: : = h : k : l (1.7)

В этом случае всегда найдется множитель R (целое число, общий их знаменатель), который удовлетворяет условию: R = h , R = k , R = l и уравнение плоскости может быть записано: m(h/R) + n(k/R) + p(l/R) = G или mh + nk + pl = N, где N=GR – тоже целое число.

Для соседних плоскостей семейства величина N различается на 1. Так, для плоскости, проходящей через начало координат, mh + nk + pl = 0, ближайшей к началу координат:

mh + nk + pl = 1 (1.8)

Числа h, k, l, обратно пропорциональные отсекаемым плоскостью отрезкам на координатных осях, будут характеризовать положение самой плоскости в кристалле. Поэтому в кристаллографии принято определять положение плоскостей в элементарной ячейке и решетке кристаллов при помощи этих чисел– индексов, которые даются в круглых скобках. Если числа h,k,l не имеют общего множителя, то они характеризуют все семейство плоскостей. Кристаллографические индексы плоскости (h k l)называются также индексами Миллера. . Задание положения плоскостей индексами Миллера годится только для плоскостей не проходящих через начало координат [[000]].

Связь индексов Миллера с отрезками, отсекаемыми плоскостью на осях можно проследить на следующих примерах.

1). Плоскость отсекает на осях отрезки: a, b/2, c/3 т.е. A=a, B=b/2, C=c/3. Такую плоскость можно построить в системе координат элементарной ячейки.Чтобы перейти от отрезков к индексам плоскости, берутся величины, обратно пропорциональные отрезкам (в масштабе соответствующих осей). Полученные числа и будут индексами плоскости, т.е. (1,2,3).

2). Аналогично: отрезки, отсекаемые на осях: a/2, b, c – индексы плоскости (2,1,1).

Если индексы содержат общий множитель, то на него можно сократить – получим индексы не конкретной плоскости, а семейства плоскостей.

Обратная задача: построить плоскость с индексами (2,0,1). Отрезки обратно пропорциональны индексам, в масштабах осей это: 1/2, ¥, 1. Откладываем отрезки и строим плоскость.

Если плоскости отсекают по осям отрицательные отрезки, то это отмечается знаком минус над соответствующим индексом, например ( ). Каждая комбинация индексов h, k, l определяет не одну плоскость, а бесконечную совокупность параллельных между собой плоскостей. При этом индексы (111), (222), (333) определяют одну и туже совокупность параллельных плоскостей (рис.1.12). Поэтому, если необходимо охарактеризовать сразу все семейство, то выбирают индексы плоскости, во-первых, наиболее близко расположенной к началу координат и, во-вторых, не имеющие общего множителя, т.е. в данном случае (111).

Если же в элементарной ячейке необходимо определить положение какой-либо одной конкретной плоскости, то указывают ее действительные координаты в отрезках, которые обозначаются (H, K, L), где

H=qh; K=qk; L=ql , (1.9)

а q - коэффициент пропорциональности.

Например, плоскость (333) на рис.1.12. Следует при таком построении всегда помнить, что индексы (hkl) или (HKL) обратно пропорциональны отрезкам, отсекаемым плоскостями на координатных осях.

В элементарной ячейке кристалла можно выделить так называемые эквивалентные плоскости, для которых межплоскостные расстояния одинаковы и которые расположены симметричным образом по отношению друг к другу и координатным осям. Вся совокупность таких плоскостей в элементарной ячейке кубической сингонии определяется простой перестановкой индексов и изменением их знака. Эквивалентными будут например, плоскости (100), (010), (001), (0 0), ( 00), (00 ) - всего 6 эквивалентных плоскостей. Из индексов (110) путем перестановок индексов и знаков можно получить 12 эквивалентных плоскостей и т.д.

Количество эквивалентных плоскостей определяется числом перестановок из данных индексов и называется множителем повторяемости. Например, множитель повторяемости для плоскости (100) равен 6. Для других плоскостей значения множителей повторяемости приведены в табл.1.1

Таблица 1.1

Индексы	hkl h¹k¹l	hk0 h¹k	hkl h=k
Множитель повторяемости

Множитель повторяемости учитывается при расчетах интенсивности отраженных различными атомными плоскостями рентгеновских лучей.

4-ый индекс гексагональной системы. В гексагональной системе плоскости часто характеризуют четырьмя индексами (hkil). Это связано с тем, что во всех сингониях элементарную ячейку выбирают в виде параллелепипеда, а в гексагональной - в виде гексагональной прямоугольной призмы (рис.1.13). Направления осей x, y, u совершенно равноценны, а периоды повторяемости a, b, d по этим направлениям равны.Поэтому, приняв одну ось координат (вертикальную) за z, мы две другие с равным правом могли бы взять за оси x и y. Чтобы не было неопределенности, берут на горизонтальном основании призмы не две, а три оси, расположенные одна по отношению к другой под углом 120°. При этом узлы, узловые прямые и плоскости характеризуются не тремя, а четырьмя индексами.

Для определения положения точки в трехмерном пространстве необходимы, как известно, три координаты. Поэтому четвертый индекс i не является независимым. Он равен:

i = – (h+k) (1.10)

Введение четвертого индекса во многих случаях бывает полезным. Например, он помогает различать эквивалентные плоскости гексагональной элементарной ячейки. Так, все боковые плоскости в гексагональной элементарной ячейке (рис.1.13) будут являться эквивалентными. Однако по трем индексам плоскостей (100), (010), ( ) и т.д. этого установить не удается. Более наглядно эквивалентность плоскостей обнаруживается при рассмотрении четырех индексов плоскостей. В этом случае те же плоскости 1, 2, 3 (рис.1.13) запишутся как ( ), ( ), ( ) и т.д. Таким образом, при введении четвертого индекса все плоскости эквивалентны и индексы таких эквивалентных плоскостей можно получить перестановкой трех первых индексов.

Рис. 1.13. Система координат в гексагональной ячейке.