Арифметические операции над функциями, имеющими конечный предел

Теорема. Если функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы =А, =В, то:

1. =А ± В (предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов);

2. =А×В (предел произведения равен произведению пределов);

3. , при условии, что В¹0 (предел частного равен частному пределов).

gИз теоремы о связи функции, имеющей конечный предел с б.м.ф., следует:

=А Û f(x)=A+ a(x), где a(x)®0 при х®а,

=В Û g(x)=B+ b(x), где b(x)®0 при х®а.

тогда f(x)± g(x) = (A ± B) + (a(x) ± b(x)) = (A ± B) +g(x), где g(x)®0 при х®а. значит, справедливо первое равенство.

Для произведения f(x)×g(x)=(A+a(x))×(B+b(x))= A×B+g(x), где g(x)=(A×b(x)+B×a(x)+a(x)×b(x))®0 при х®а по свойствам б.м.ф. Соответственно, справедливо второе равенство.

Докажем, что разность ®0 при х®а:

= = = .

по свойствам б.м.ф.: ®0 при х®а. Если докажем ограниченность величины при х®а, то их произведение является б.м.ф. и справедливо третье равенство.

Из условия =0 следует, что для e= существует d>0, такое, что "хÎ выполняется неравенство ½b(х)½< . Тогда ½В+b(х)½³½В½-½b(х)½>½B½- = , поэтому

= < = "хÎ .n

Следствия:

1) предел алгебраической суммы любого конечного числа функций равен сумме пределов этих функций;

2) предел произведения n функций, имеющих конечный предел, равен произведению их пределов;

3) постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Рассмотрим предельный переход под знаком сложной функции:

X Y, Y Z.

Теорема (о пределе сложной функции). Если существуют (конечные или бесконечные пределы): =b, =c,

тогда при х®а существует предел (конечный или бесконечный) сложной функции g(f(x)), причем: = .