Алгоритм выполнения работы

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУВПО

ВОРОНЕЖСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

Л. А. КОРОБОВА

Основы теории управления

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

ВОРОНЕЖ

УДК 681.3

ББК з965-015я7

К 68

Научный редактор к.т.н., профессор Г.В. АБРАМОВ

Р е ц е н з е н т ы:

д. т. н., профессор Ю.С. СЕРБУЛОВ (ВИВТ)

д. т. н., профессор В. Ф. БАРАБАНОВ (ВГТУ)

Печатается по разрешению

редакционно-издательского совета

Воронежской государственной технологической академии

Коробова, Л.А.

Лабораторный практикум Основы теории управления [Текст] : учеб. пособие / Л. А. Коробова; Воронеж. гос. технол. акад. Воронеж, 2007. – 80 с.

ISBN

Учебное пособие написано в соответствии с требованиями ГОС ВПО подготовки инженера по специальности 230201 – «Информационные системы и технологии». Оно предназначено для систематизации, закрепления и углубления знаний дисциплины цикла ОПД.

ISBN © Коробова Л.А.,

© ГОУВПО Воронеж. гос.

технол. акад., 2007

Оригинал-макет данного издания является собственностью Воронежской государственной технологической академии, его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согласия академии запрещается.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение………………………………………………………….. 4

1. Лабораторная работа № 1. Получение уравнения кривой разгона….……………………….........…………………………………..6

Примеры расчета…………………………………………………..8

Контрольные вопросы…………………………...………………13

2. Лабораторная работа № 2. Исследование временных характеристик динамических звеньев и их соединений……………………………………………………….……..…14

Алгоритм выполнения работы………………..…………………22

Пример расчета…………………….......…………………………22

Контрольные вопросы………………...…………………………26

3. Лабораторная работа № 3. Исследование частотных характеристик элементарных звеньев………………………………..…….27

Алгоритм выполнения работы…………………..………………29

Примеры расчета………………….…...…………………………29

Контрольные вопросы…………...………………………………35

4. Лабораторная работа № 4. Исследование устойчивости разомкнутых и замкнутых систем автоматического управления….....36

Алгоритм выполнения работы………..…………………………45

Примеры расчета……………….….......…………………………45

Контрольные вопросы………………...…………………………56

5. Лабораторная работа № 5. Исследование качества переходных процессов замкнутых систем автоматического управления…..57

Алгоритм выполнения работы…………………..………………61

Пример расчета………………………...…………………………61

Контрольные вопросы……………...……………………………69

6. Требования к выполнению отчетов лабораторных работ……..70

Литература………………………………………………………..71

Приложения………………………………………………………72

ВВЕДЕНИЕ

Эволюция классической теории управления происходит главным образом в сторону изучения объектов все большей и большей сложности. Для их описания появились и новые термины - большие системы или сложные системы.

Теория автоматического управления (регулирования) развивалась и усложнялась вместе с развитием систем автоматики (АСУ - автоматизированные системы управления, АСУТП - автоматизированные системы управления технологическими процессами, АСУП - автоматизированные системы управления производством, АСУО - автоматизированные системы управления отраслью). По идеологии эти системы достаточно близки между собой, хотя функции и технические средства, на которых реализованы АСУ, могут существенно отличаться. В качестве основных отличительных черт АСУ можно отметить следующие:

- все АСУ содержат как обязательное звено в своей структуре человека, которому отводится главная роль в системе;

- все АСУ строятся по иерархическому принципу и имеют многоуровневую структуру, причем каждый из уровней имеет определенную независимость, причем, при отказе внешнего контура АСУ, нижняя ступень продолжает функционировать;

- сложность задач, решаемых в иерархической АСУ, возрастает снизу вверх по иерархической структуре, а частота их решения и требования по надежности при переходе к более высокой ступени иерархии снижаются.

Любые самые сложные системы управления – будь то самолет, ядерный реактор или даже государство – включают функции оценки состояния, выработки сигнала обратной связи и управления. Главная задача любой системы управления – сделать выходные сигналы близкими к нужным значениям как можно быстрее и точнее. Другой важной характеристикой системы управления является ее устойчивость, т.е. ситуация, когда ее выходные сигналы не превышают заданных пределов. Следовательно, устойчивость, быстродействие и точность рассматриваются в качестве основных целей при проектировании эффективной системы управления. Однако в некоторых системах увеличение быстродействия сверх определенного предела может вызвать снижение точности и даже привести к неустойчивости. Поэтому достижение наилучшего соотношения между этими характеристиками является одной из важнейших задач проектирования системы управления.

В динамической системе, т.е. в такой системе, характеристики которой изменяются в зависимости от времени и места, три фактора осложняют задачу управления.

1. Система имеет большое число входов и выходов.

2. Имеется неточность в измерении характеристик или знании системы.

3. Поскольку характеристики системы все время изменяются, может оказаться затруднительным расчет требуемых управляющих сигналов.

По мере того, как развивается промышленная революция, рост крупных организационных форм бизнеса стимулировал появление новых идей относительно того, как предприятия функционируют и как нужно ими управлять. Сегодня имеется разработанная теория, которая дает направления для достижения эффективного управления. Первую появившуюся теорию обычно называют классической школой управления, также существуют школа социальных отношений, теория системного подхода к организациям, теория вероятностей и др. Но основой для перечисленных теорий, прежде всего, является системный подход к организациям, как идеи для достижения эффективного управления.

Переход к изучению сложных систем, требующих иерархической структуры, привело к значительному обогащению и пересмотру традиционных идей, методов и объектов исследования в теории управления, а также позволило распространить многие из результатов, найденных при изучении технических систем, на задачи управления процессами более общей природы и, прежде всего, организационно-экономическими.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

ПОЛУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЯ КРИВОЙ РАЗГОНА

Цель. Решить аналитическим методом и с использованием метода преобразования Лапласа неоднородные дифференциальные уравнения первого и второго порядков вида и получить уравнение кривой разгона:

, – начальное условие;

, , – начальные условия,

где A, B, C, D, A₁, B₁, C₁, D₁, – постоянные коэффициенты, выбираются из табл. 1.1 в соответствии с вариантом (приложение), задаваемым преподавателем.

Теоретическая часть

Кривая разгона является одной из основных динамических характеристик систем управления. Уравнение кривой разгона может быть получено экспериментальным путем (если это не противоречит функционированию исследуемого объекта) или путем решения дифференциального уравнения, которое описывает динамику объекта.

Поведение систем автоматического регулирования (САР) в процессе функционирования представляет собой сочетание статических и динамических режимов. Для проведения теоретических исследований САР и её отдельных элементов необходимо иметь уравнения, описывающие их поведение при изменяющихся внешних воздействиях. Эти уравнения представляют собой выраженные в математической форме соотношения, связывающие входные и выходные сигналы и воздействия.

В общем случае действие непрерывной линейной САР описывается неоднородным дифференциальным уравнением следующего вида:

где a, b, c – постоянные коэффициенты, зависящие от параметров системы.

Решение неоднородных дифференциальных уравнений складывается из решения однородного дифференциального уравнения y_о и частного решения y_ч: .

Для решения однородного дифференциального уравнения составляется характеристическое уравнение, и находятся его корни, далее, в зависимости от полученных значений (см. приложения, табл. 1.2) записывается общее решение. Частное решение получается в результате решения правой части дифференциального уравнения методом неопределенных коэффициентов.

В теории автоматического регулирования широко используется специальный метод прикладного анализа, в основе которого лежит функциональное преобразование Лапласа. Преобразование Лапласа служит для перехода от функции вещественного переменного – время, к функции комплексного переменного.

Преобразованной по Лапласу функцией называется функция комплексного переменного, определяемого соотношением:

,

где f(t) – исходная функция действительного переменного t, называемая оригиналом; р – комплексная переменная, ; a, w – действительные переменные; ; F(p) – функция комплексного переменного, называемая изображением по Лапласу функции f(t).

Иначе это можно записать в виде: L{f(t)} = F(р), где L – символ преобразования Лапласа.

Обратный переход от изображения к оригиналу осуществляется по формуле ,

где с – абсцисса сходимости функции f(t).

Использование преобразования Лапласа объясняется рядом преимуществ этого метода перед прямым решением задач в области действительного переменного. В частности, изображения некоторых функций оказываются проще их оригиналов.

Для нахождения изображения от производных используют правило дифференцирования: операция дифференцирования функции вещественного переменного соответствует операция умножения изображения функции на комплексную переменную в соответствующей степени.

,

,

……….,

.

Использование преобразования Лапласа для решения дифференциальных уравнений, упрощает решение, благодаря тому, что в области комплексного переменного дифференциальное уравнение преобразуется в алгебраическое, а оригиналы найденного решения легко определяются по таблицам (см. приложения, табл. 1.3).

Решение дифференциального уравнения с применением преобразования Лапласа складывается из трех этапов:

1) преобразование уравнения по Лапласу с использованием правила дифференцирования;

2) отыскание решения в области комплексного переменного;

3) переход в область действительного переменного путем обратного преобразования по Лапласу функции и отыскание ее оригинала.

Пример 1. Решить неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка , с начальным условием: .

Алгоритм аналитического решения

1. Запишем однородное дифференциальное уравнение .

2. Заменим и y соответственно на k¹, k⁰ = 1 и составим характеристическое уравнение .

3. Корень характеристического уравнения .

4. Общее решение дифференциального уравнения запишется в виде: .

5. Правая часть уравнения представляет собой линейную зависимость, которую можно записать следующим образом: , откуда .

6. Подставим полученные значения в исходное уравнение: , откуда и , .

7. Запишем частное решение дифференциального уравнения: .

8. Решение исходного дифференциального уравнения: .

9. В полученное уравнение подставим начальное условие: , откуда .

10. В результате уравнение будет иметь вид: .

Алгоритм метода преобразования Лапласа

1. Преобразуем по Лапласу левую и правую части уравнения с учетом линейности этой операции, правил преобразования производных и изображения единичной функции, получим:

.

2. Решение этого уравнения: .

3. Раскладываем полученное уравнение на простейшие дроби:

,

откуда , p₂ = p₃ = 0. Постоянные С₁, С₂, С₃ находятся методом неопределенных коэффициентов из уравнений:

,

,

откуда

следовательно , , .

4. Подставляя вычисленные значения, получим:

.

5. По табл. 1.3 производим обратное преобразование Лапласа и находим оригинал

.

Получили аналогичное аналитическому решению выражение.

Пример 2. Решить неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка , с начальными условиями: , .

Алгоритм аналитического решения

1. Запишем однородное дифференциальное уравнение .

2. Заменим , и y соответственно на k², k¹, k⁰ = 1 и составим характеристическое уравнение .

3. Найдем корни характеристического уравнения , .

4. Общее решение дифференциального уравнения запишется в виде .

5. Правая часть уравнения представляет собой постоянную, частное решение можно записать следующим образом , откуда , .

6. Подставим полученные значения в исходное уравнение: , откуда .

7. Запишем частное решение дифференциального уравнения .

8. Решение исходного дифференциального уравнения .

9. Для определения постоянных C₁ и C₂ запишем первую производную от полученной зависимости и подставим в уравнения соответствующие начальные условия.

откуда, , .

10. В результате уравнение будет иметь вид: .

10. График решения при t, изменяющемся от 0 до 16 с шагом 1, представлен на рис. 1.

Алгоритм метода преобразования Лапласа

1. Преобразуем по Лапласу левую и правую части уравнения с учетом линейности этой операции, правил преобразования производных и изображения единичной функции, получим:

.

2. Решение этого уравнения: .

3. Преобразуем полученное уравнение к виду : , т.е. , .

4. По табл. 1.3 производим обратное преобразование Лапласа при

, , , оригинал функции:

.

5. График y(t) при t =[0; 16] с шагом 1 на рис. 1.

Рис. 1. График решения дифференциального уравнения , , .

Контрольные вопросы

1. Что такое кривая разгона? Каким образом может быть получено уравнение кривой разгона?

2. Какого вида уравнениями описывается поведение САР в процессе функционирования?

3. Каковы этапы аналитического решения неоднородных дифференциальных уравнений?

4. Для чего служит преобразование Лапласа?

5. Как записываются формулы перехода от оригинала к изображению по Лапласу и обратно?

6. Каковы этапы решения дифференциальных уравнений с применением преобразования Лапласа?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2

ИССЛЕДОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ И ИХ СОЕДИНЕНИЙ

Цель. Для звеньев и соединений звеньев, заданных передаточными функциями, выбираемыми из табл. 2.1 (см. приложение), параметры звеньев выбираются из табл. 2.2 (см. приложение) в зависимости от варианта, построить переходные и импульсные переходные процессы при различных постоянных времени и коэффициента усиления с нулевыми начальными условиями: задав значения коэффициентов пропорциональности k и постоянных времени T; изменив значение k с прежним T; изменив значение T с первоначальным k.

Теоретическая часть

Системы автоматического регулирования (САР) принято изображать в виде структурных схем. Структурная схема – это условное изображение, в котором отдельные элементы системы представляются прямоугольниками, а связи между элементами изображаются стрелками, показывающими направление передачи сигнала, над которыми ставится условное обозначение сигнала.

Для создания общей методики расчета различных САР было введено понятие динамического звена. Типовым звеном системы автоматического регулирования является составной элемент, имеющий один вход и один выход, и описываемый дифференциальным уравнением не выше второго порядка. На структурной схеме объектов управления звенья изображаются в виде прямоугольников, внутри которых записывается передаточная функция звена (рис. 2.1).

Одной из основных динамических характеристик объекта, широко используемых в теории автоматического регулирования, является передаточная функция.

Передаточной функцией объекта называется отношение преобразованного по Лапласу выхода объекта у(р) к преобразованному по Лапласу входу х(р) при нулевых начальных условиях. Передаточная функция является функцией комплексного переменного p, обозначается W(p): . Передаточная функция характеризует динамику объекта по определенному каналу, связывающему вход объекта с выходом. Если в объекте имеется несколько входов, то каждому каналу связи входа с выходом будет соответствовать своя передаточная функция.

Также как и дифференциальное уравнение, передаточная функция полностью характеризует динамику объекта. Если задано дифференциальное уравнение объекта, то для получения передаточной функции необходимо преобразовать дифференциальное уравнение по Лапласу и из полученного алгебраического уравнения найти соотношение .

Если известна передаточная функция объекта, то изображение выхода объекта у(р) равно произведению передаточной функции на изображение входа х(р): .

Любая самая сложная структурная схема может быть изображена с помощью трех основных типов соединения параллельного соединение, последовательного соединение и соединения с обратной связью.

Параллельное соединение звеньев. Структурная схема представлена на рис. 2.2. При параллельном соединении входные сигналы всех звеньев одинаковы и равны входу системы х(р), а выход системы у(р) равен сумме выходов звеньев.

Запишем уравнения выходных координат каждого звена:

;

;

.

Выход всей системы будет равен

Передаточная функция системы:

.

Таким образом, передаточная функция системы параллельно соединенных звеньев равна сумме передаточных функций отдельных звеньев.

Последовательное соединение звеньев. При последователь ном соединении выход, предыдущего звена подается на вход последующего (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Структурная схема последовательного соединения звеньев

Уравнения выходных сигналов отдельных звеньев имеют вид:

;

;

.

Выходной сигнал последнего звена является выходом всей системы , передаточная функция системы:

.

Таким образом, передаточная функция системы последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций отдельных звеньев. Это соотношение справедливо лишь в том случае, если выход каждого звена зависит только от его входа и не зависит от выходной координаты последующего звена.

Соединение звеньев с обратной связью. Обратной связью называют передачу сигнала с выхода звена на его вход (рис. 2.4), где сигнал обратной связи х_ос алгебраически суммируется с внешним сигналом х. Причем, если суммарный сигнал x₁ определяется соотношением x₁ = x + x_oc, то обратная связь называется положительной, если x₁ = x – x_oc, т.е. сигнал обратной связи вычитают из внешнего сигнала, то обратная связь называется отрицательной.

В линии обратной связи в общем случае может быть включено звено, в котором выходной сигнал y преобразуется в соответствии с передаточной функцией W_oc(p) в сигнал x_oc. Иногда это звено может отсутствовать, т.е. W_oc(p) = l и х_ос = у.

Найдем соотношение между передаточной функцией замкнутой системы W_зс(p) и передаточными функциями отдельных звеньев W_n(p) и W_oc(p). Запишем формулы выходных сигналов каждого звена

;

;

.

Исключив из полученной системы уравнений x₁(p) и x_ос(p), получим , или

,

откуда передаточная функция замкнутой системы с положительной обратной связью: ,

передаточная функция замкнутой системы с отрицательной обратной связью: .

В реальных условиях на объект управления оказывают влияние внешние воздействия, которые называют возмущающими. Возмущающие воздействия (возмущения) вызывают отклонение регулируемого параметра от заданного значения.

Возмущения, действующие на САР, представляют собой непрерывные функции времени с различными законами изменения. В этом случае возникают трудности принципиального характера, так как заранее неизвестны законы измерения внешних воздействий, что затрудняет анализ динамики и статики САР. Для ликвидации возникших затруднений часто используют так называемые типовые, управляющие и возмущающие воздействия, которые представляют собой либо наиболее вероятные, либо наиболее неблагоприятные законы изменения управляющих и возмущающих воздействий. Например, довольно широко в качестве типовых используют воздействия полиномиального вида:

,

где n = 0, 1, 2, … – натуральные числа; – постоянные величины; 1(t) – единичная ступенчатая функция,

При n = 0 имеем единичное ступенчатое воздействие: .

При n = 1 получим линейное воздействие: .

Графическое представление типовых воздействий представлено на рис. 2.5.

В некоторых случаях в качестве типового используется единичное импульсное воздействие следующего вида: ,

где d(t) – единичная дельта-функция,

Единичная дельта-функция (единичный импульс) представляет собой математическую идеализацию импульса бесконечно малой длительности, бесконечно большой амплитуды, имеющего конечную площадь, равную единицы, т.е. .

Момент приложения внешних воздействий к САР, обычно принимается за ноль отсчёта времени. При таком подходе внешние воздействия для отрицательного момента времени равны нулю. В связи с этим, в аналитические выражения для внешних воздействий в качестве множителя вводят единичную ступенчатую функцию.

Важнейшей характеристикой САР и её составных элементов являются переходные и импульсные переходные (импульсные) функции. Графическое представление переходных и импульсных функций называют временными характеристиками. Переходной функцией h(t) называют функцию, описывающую сигнал на выходе при условии, что на вход подано единичное ступенчатое воздействие, при нулевых начальных условиях. График переходной функции, представляющий собой зависимость функции h(t) от времени t, называют переходной характеристикой. В том случае, если амплитуда единичного ступенчатого воздействия отлична от единицы получают разновидность переходной характеристики, которая называется кривой разгона.

Импульсной или весовой функцией w(t) называют функцию, описывающую реакцию на единичное импульсное воздействие при нулевых начальных условиях. График зависимости функции w(t) от времени называют импульсной переходной (импульсной) характеристикой.

Любое внешнее воздействие сложной формы может быть приближенно представлено в виде совокупности типовых воздействий, связанных между собой определенными математическими операциями.

Аналитическое определение переходных функций и характеристик основано на следующих положениях. Если задана передаточная функция системы или составной части W(p) и известен входной сигнал x(t), то выходной сигнал y(t) определяется следующим соотношением: .

Таким образом, изображение выходного сигнала представляет собой произведение передаточной функции на изображение входного сигнала . Сигнал y(t) в явном виде получим после перехода от изображения к оригиналу y(t).

Так как изображение единичного ступенчатого воздействия равно , то изображение переходной функции определяется соотношением: .

Следовательно, для нахождения переходной функции необходимо передаточную функцию разделить на p и выполнить переход от изображения к оригиналу.

Изображение единичного импульса равно 1. Тогда изображение импульсной функции определяется выражением:

.

Таким образом, передаточная функция является изображением импульсной функции.

Так как , то между импульсной и переходной функциями существует следующая зависимость:

.

Импульсная и переходная функции, как и передаточная функция, являются исчерпывающими характеристиками системы при нулевых начальных условиях. По ним можно определить выходной сигнал при произвольных входных воздействиях.

В работе рассматриваются следующие звенья:

1) идеальное интегрирующее: ;

2) реальное интегрирующее: ;

3) апериодическое 1-го порядка: ;

4) апериодическое 2-го порядка: ;

5) реальное дифференцирующее: ;

6) колебательное (0 < x < 1): ;

7) консервативное: ;

8) звено запаздывания: ,

где k – коэффициент пропорциональности (коэффициент усиления); T – постоянная времени интегрирования, с; t – время запаздывания, с; 0 < x < 1 – коэффициент затухания колебаний (коэффициент демпфирования).

Алгоритм выполнения работы

1. Записать передаточную функцию звена с нулевыми начальными условиями.

2. Определить вид переходного процесса с учетом единичного ступенчатого воздействия и единичной импульсной функции.

3. Построить графики переходного процесса и весовой функции при различных значениях постоянных времени и коэффициента усиления (см. задание).

4. Аналогичным образом проанализировать второе звено.

5. В соответствии с п. 1 – 3 проанализировать поведение системы, состоящей из двух заданных звеньев.

Пример расчета

Для звеньев и соединения звеньев, заданных передаточными функциями: , ,

построить переходные и импульсные переходные процессы при различных значениях постоянных времени и коэффициента усиления.

Решение

1. Передаточная функция реального дифференцирующего звена: , откуда ,

где – единичное ступенчатое воздействие, или – единичная импульсная функция, следовательно: , .

2. Выполним обратное преобразование Лапласа (см. приложение табл. 1.3) и получим переходной процесс для единичного ступенчатого воздействия: ,

Так как между импульсной и переходной функциями существует следующая зависимость , то .

3. Строим временные характеристики звена, рис. 2.6.

Рис. 2.6. Временные характеристики реального дифференцирующего звена

4. Передаточная функция апериодического звена второго порядка: , откуда

.

Учитывая единичное ступенчатое воздействие или единичную импульсную функцию получим соответственно:

и

5. Выполним обратное преобразование Лапласа (см. приложение, табл. 3) и получим переходной процесс для единичного ступенчатого воздействия .

Импульсная функция .

6. Строим временные характеристики звена, рис. 2.7.

Рис. 2.7. Временные характеристики апериодического звена второго порядка

7. Так как передаточная функция для последовательного соединения звеньев , следовательно для последовательно соединенных реального дифференцирующего звена и апериодического звена второго порядка передаточная функция запишется следующим образом:

, откуда

,

где k₁ – коэффициент усиления; k₂ – коэффициент усиления апериодического звена второго порядка; T₁ – постоянная времени реального дифференцирующего звена; T₂, T₃ – постоянные времени апериодического звена второго порядка.

Учитывая единичное ступенчатое воздействие или единичную импульсную функцию получим соответственно:

,

.

8. Найдем корни характеристического уравнения методом неопределенных коэффициентов. Получим уравнение следующего вида:

Выполним обратное преобразование Лапласа и получим переходной процесс для единичного ступенчатого воздействия:

,

Импульсная функция:

9. Строим временные характеристики системы рис. 2.8.

Рис. 2.8. Временные характеристики системы

Контрольные вопросы

1. Что такое «типовое звено» САР? Назовите типовые звенья.

2. Что такое передаточная функция САР? Что она характеризует.

3. Основные типы соединения звеньев в структурных схемах.

4. Параллельное соединение звеньев. Структурная схема. Передаточная функция.

5. Последовательное соединение звеньев. Структурная схема. Передаточная функция.

6. Соединение звеньев с обратной связью. Структурная схема. Передаточная функция системы с положительной и отрицательной обратной связью.

7. Что такое «временные характеристики САР»?

8. Что представляет собой переходная функция?

9. Что представляет собой импульсная (весовая) функция?

10. Назовите основные типы возмущающих воздействий САР.

11. Что представляет собой единичная ступенчатая функция?

12. Что представляет собой единичная импульсная функция?

13. Связь между импульсной и переходной функциями.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3

ИССЛЕДОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЗВЕНЬЕВ

Цель.Для звеньев, заданных передаточными функциями, выбираемыми из табл. 2.1 (см. приложение), параметры звеньев выбираются из табл. 2.2 (см. приложение) в зависимости от варианта, построить частотные характеристики при различных постоянных времени и коэффициента усиления с нулевыми начальными условиями: задав значения коэффициентов пропорциональности k и постоянных времени T; изменив значение k с прежним T; изменив значение T с первоначальным k.

Теоретическая часть

В условиях реальной эксплуатации САР часто возникает необходимость определить реакцию на периодические сигналы, т.е. определить сигнал на выходе САР, если на один из входов подается периодически сигнал гармонической формы. Решение этой задачи возможно получить путем использования частотных характеристик. Различия между параметрами входных и выходных гармонических сигналов не зависят от амплитуды и фазы входного сигнала, а определяется только динамическими свойствами самого объекта и частотой колебаний. Поэтому в качестве динамических характеристик объекта используют частотные характеристики: амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) – А(w); фазо-частотная характеристика (ФЧХ) – j(w) и амплитудно-фазо-частотная характеристика (АФЧХ) – W(jw).

Если задана передаточная функция W(p), то путём подставки p = jw получаем частотную передаточную функцию W(jw), которая является комплексным выражением т.е. , где Re(w) – вещественная составляющая, а Im(w) – мнимая составляющая. Частотная передаточная функция может быть представлена в показательной форме:

или ,

где – модуль; – аргумент; – действительная часть; – мнимая часть частотной передаточной функции W(jw) рис. 3.1.

Таким образом, для определенной частоты имеем вектор на комплексной плоскости, который характеризуется модулем A и аргументом j. Модуль представляет собой численное отношение амплитуды выходного гармонического сигнала к амплитуде входного. Аргумент представляет собой сдвиг по фазе выходного сигнала по отношению к входному. При этом отрицательный фазовый сдвиг представляется вращением вектора на комплексной плоскости по часовой стрелке относительно вещественной положительной оси, а положительный фазовый сдвиг представляется вращением против часовой стрелки.

Алгоритм построения частотных характеристик

1. Получить выражение для передаточной функции исследуемого объекта.

2. В передаточной функции заменить р на jw.

3. Освободиться от старших степеней j, используя следующие правила:

j = j; j² = –1; j³ = j²×j = –j; j⁴ = 1; j⁵ = j⁴×j = j и т.д.

4. В знаменателе передаточной функции сгруппировать члены содержащие и не содержащие j.

5. Освободиться от иррациональности в знаменателе. Для этого числитель и знаменатель домножить на выражение, сопряженное выражению в знаменателе относительно j.

6. В числителе передаточной функции сгруппировать члены содержащие и не содержащие j.

7. Выделить Re(w) и Im(w).

8. Рассчитать все частотные характеристики и построить их графики.

Алгоритм выполнения работы

1. Записать передаточную функцию исследуемого звена с нулевыми начальными условиями.

2. Выделить действительную и мнимую части.

3. Построить амплитудно-частотную характеристику звена.

4. Построить фазово-частотную характеристику звена.

5. Построить амплитудно-фазо-частотную характеристику звена.

6. Аналогичным образом проанализировать второе звено.

Пример расчета

Для звеньев, заданных передаточными функциями

, ,

построить частотные характеристики при различных значениях постоянных времени и коэффициента усиления.

Решение

Пример 1. Рассмотрим реальное дифференцирующее звено.

1. Передаточная функция реального дифференцирующего звена: , откуда – амплитудно-фазо-частотная характеристика.

2. Освобождаемся от иррациональности в знаменателе. Для этого числитель и знаменатель домножаем на , получим:

,

откуда . Получили: , .

3. Подставляя значения k = 2, T = 3, строим амплитудно-фазо-частотную характеристику при w, изменяющемся от 0 до ¥, рис. 3.2.

4. Амплитудная частотная характеристика:

.

5. Задаваясь значениями w из интервала от 0 до 6, с шагом 0,1, строим амплитудо-частотную характеристику, рис. 3.3.

6. Фазовая частотная характеристика имеет вид:

.

7. Задаваясь значениями w из интервала от 0 до 6, с шагом 0,1, строим фазово-частотную характеристику, рис. 3.4.

8. Изменяя значение k = 4, при прежнем T = 3, строим амплитудно-фазо-частотную характеристику при w, изменяющемся от 0 до ¥, рис. 3.2.

9. Амплитудная частотная характеристика при w от 0 до 6, с шагом 0,1, рис. 3.3.

10. Так как фазовая частотная характеристика имеет вид: , т.е. не зависит от коэффициента усиления, то фазово-частотная характеристика не изменится, см. рис. 3.4.

11. Изменяя значение T = 1, при первоначальном, k = 2 строим амплитудно-фазо-частотную характеристику при w, изменяющемся от 0 до ¥, см. рис. 3.2.

Рис. 3.2. Амплитудно-фазо-частотные характеристики

реального дифференцирующего звена

12. Амплитудная частотная характеристика при w от 0 до 6, с шагом 0,1, см. рис. 3.3.

Рис. 3.3. Амплитудно-частотные характеристики

реального дифференцирующего звена

13. Фазово-частотная характеристика при w от 0 до 6, с шагом 0,1, см. рис. 3.4.

Рис. 3.4. Фазово-частотные характеристики реального дифференцирующего звена

Пример 2. Рассмотрим апериодическое звено второго порядка.

1. Передаточная функция апериодического звена второго порядка: , откуда – амплитудно-фазо-частотная характеристика.

2. Освобождаемся от иррациональности в знаменателе. Для этого числитель и знаменатель домножаем на , получим:

,

откуда .

Получили:

, .

3. Подставляя значения k = 2, T₁ = 3, T₂ = 5, строим амплитудно-фазо-частотную характеристику при w, изменяющемся от 0 до ¥, рис. 3.5.

4. Амплитудная частотная характеристика:

5. Задаваясь значениями w из интервала от 0 до 7, с шагом 0,1, строим амплитудно-частотную характеристику, рис. 3.6.

6. Фазовая частотная характеристика имеет вид:

Рис. 3.5. Амплитудно-фазо-частотные характеристики

апериодического звена второго порядка

7. Задаваясь значениями w из интервала от 0 до 7, с шагом 0,1, строим фазово-частотную характеристику, рис. 3.7.

Изменяя значение k = 4, при прежнем T₁ = 3, T₂ = 5, строим амплитудно-фазо-частотную характеристику при w, изменяющемся от 0 до ¥, см. рис. 3.5.

8. Амплитудно-частотная характеристика при w от 0 до 7, с шагом 0,1, см. рис. 3.6.

9. Так как фазовая частотная характеристика имеет вид:

,

т.е. не зависит от коэффициента усиления, то фазово-частотная характеристика не изменится, см. рис. 3.7.

10. Изменяя значения T₁ = 1, T₂ = 2, при первоначальном, k = 2 строим амплитудно-фазо-частотную характеристику при w, изменяющемся от 0 до ¥, см. рис. 3.5.

11. Амплитудная частотная характеристика при w от 0 до 7, с шагом 0,1, см. рис. 3.6.

Рис. 3.6. Амплитудно-частотные характеристики

апериодического звена второго порядка

12. Фазово-частотная характеристика при w от 0 до 6, с шагом 0,1, см. рис. 3.7.

Рис. 3.7. Фазово-частотные характеристики

апериодического звена второго порядка

Контрольные вопросы

1. Что является динамическими характеристиками объекта?

2. В каких формах может быть представлена частотная передаточная функция?

3. Как представляется частотная передаточная функции на комплексной плоскости?

4. Что такое амплитудно-частотная характеристика?

5. Что такое фазо-частотная характеристика?

6. Каков алгоритм построения частотных характеристик?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗОМКНУТЫХ И ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Цель. Рассмотреть структурную схему (рис. 4.1).

1. Для звена, с передаточной функцией W₃(p), выбираемого из табл. 4.1 приложения в соответствии с вариантом заданным преподавателем, построить переходной процесс и сделать заключения об устойчивости объекта. Сделать заключение об устойчивости объекта по коэффициентам и корням характеристического уравнения. Построить годограф Михайлова и сделать заключение об устойчивости объекта по критерию Михайлова. Построить амплитудно-фазовую характеристику объекта без обратной связи и по критерию Найквиста оценить устойчивость замкнутой системы, определить запас устойчивости по амплитуде и фазе.

Рис. 4.1. Структурная схема системы с параллельным соединением звеньев W₁(p) и W₂(p) и последовательным присоединением к ним звена W₃(p)

2. Провести анализ устойчивости разомкнутой и замкнутой систем (см. рис. 4.1), содержащих в прямой цепи, подключенные параллельно два звена, с передаточными функциями W₁(p) и W₂(p) соответственно, и последовательно соединенное с ними звено, с передаточной функцией W₃(p), выбираемых из табл. 4.1 приложения, в соответствии с вариантом. Проанализировать влияние соотношения коэффициентов звеньев на устойчивость системы.

Теоретическая часть

Понятие устойчивости является важнейшей качественной оценкой динамических свойств САР. Под устойчивостью понимают способность системы восстанавливать исходное состояние равновесия после снятия внешнего возмущения.

Рис. 4.2. К понятию устойчивость систем: t₁ – время внесения возмущения;

x_в(t) – вынужденное движение системы; x_с(t) – свободное движение системы

Различают три типа систем:

1) устойчивые системы – это системы, которые, будучи выведены из состояния равновесия каким-либо внешним возмущением, после снятия этого возмущения возвращаются в исходное состояние равновесия;

2) нейтральные системы – системы, которые после снятия возмущения приходят в состояние равновесия, отличное от исходного;

3) неустойчивые системы – такие системы, в которых не устанавливается равновесия после снятия возмущения.

Пусть система находилась в равновесии (см. рис. 4.2). В момент времени t₁ под действием внешнего возмущения система была выведена из этого состояния. Движение системы под действием возмущения называют вынужденным (x_в(t)). Затем, в некоторый момент времени t = 0 (принятое за начало отсчета), возмущение было снято или скомпенсировано. Начинается свободное движение системы (x_c(t)). Переходный процесс h(t) = x_в(t) + x_c(t). Причем, если – система устойчивая, – система нейтральная, – система неустойчивая.

С целью упрощения анализа устойчивости систем разработан ряд специальных методов, которые получили название критериев устойчивости. Критерии устойчивости делятся на две разновидности: алгебраические и частотные. Алгебраические критерии являются аналитическими, а частотные – графоаналитическими. Но все они базируются на критерии Ляпунова.

Критерий Ляпунова

Формулировка критерия. Необходимым и достаточным условием устойчивости линейной системы является условие, когда все вещественные корни характеристического уравнения системы, а также действительные части комплексных корней, отрицательны. Если хотя бы один из корней положителен – система неустойчива; если равен 0 – система находится на границе устойчивости (рис. 4.3). Мнимая ось Im является границей устойчивости.

Однако пользоваться этим условием на практике для оценки устойчивости реальных систем оказывается достаточно сложно. Это связано с тем, что реальные промышленные системы описываются дифференциальными уравнениями высокого порядка или содержат звенья чистого запаздывания, так что нахождение корней характеристического уравнения представляет трудную задачу.

Для таких систем применяются следующие критерии устойчивости: алгебраический критерий Рауса-Гурвица; частотный критерий Михайлова; амплитудно-фазочастотный критерий Найквиста.

Алгебраический критерий устойчивости (Критерий Рауса-Гурвица)

Критерий Рауса-Гурвица является наиболее распространенным алгебраическим критерием и применяется для определения устойчивости системы, когда известно характеристическое уравнение. Характеристическое уравнение – знаменатель передаточной функции.

Формулировка критерия. Необходимым условием устойчивости линейной системы является условие – все коэффициенты характеристического уравнения положительны; достаточным условием устойчивости линейной системы является условие – все определители, составленные из коэффициентов характеристического уравнения, положительны. Если хотя бы один из определителей равен 0 – система находится на границе устойчивости. Если какой-либо из определителей меньше 0 – система не устойчива.

Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид:

.