Взаимное положение прямых в пространстве

Две прямые в пространстве могут быть параллельными, пересе­кающимися или скрещивающимися. Если две прямые параллельны, то их одноименные проекции взаимно параллельны (рис. 4.8). Если две прямые пересекаются, то точки пересечения одноименных проек­ций принадлежат одной линии связи (рис. 4.9). В частном случае пе­ресекающиеся прямые могут быть перпендикулярными.

Дано:

a b ; плоскость П`, b||П`

Доказать, что a' b'.

Для доказательства через прямые а' и а вводится дополнительная плоскость . Прямая b перпендикулярна к плоскости и параллельна проекции прямой b'. Отсюда прямая V тоже перпендикулярна к плос­кости .

Прямая а' принадлежит плоскости , следовательно, а' перпенди­кулярна к b', т.е. прямой угол проецируется без искажения.

Если две прямые не параллельны и не пересекаются, т.е. не лежат в одной плоскости, то они являются скрещивающимися (рис. 4.11).

Взаимное положение двух прямых при наличии профильной пря­мой устанавливается по третьей проекции или каким-либо иным спо­собом. На рис. 4.12 изображены две скрещивающиеся прямые, хотя их горизонтальные и фронтальные проекции пересекаются, а про­фильные — параллельны между собой.

ПЛОСКОСТЬ

Задание плоскости

Плоскость задается тремя произвольными точками, не принадле­жащими одной прямой. Плоскость в пространстве можно задать:

· тремя точками, не лежащими на одной прямой (рис. 5.1, а);

· прямой и не принадлежащей ей точкой (рис. 5.1, б);

· двумя пересекающимися прямыми (рис. 5.1, в);

· двумя параллельными прямыми (рис. 5.1, г);

· любой плоской фигурой (рис. 5.1, (3).

Каждый из перечисленных способов задания плоскости допускает переход к любому другому, т.к. положение прямой в плоскости опре­деляется двумя ее точками или одной точкой и направлением этой прямой.

Часто применяется способ задания плоскости с помощью прямых линий (взаимно пересекающихся или параллельных), по которым данная плоскость пересекается с плоскостями проекций П₁П₂, Пз -Это задание плоскости следами сохраняет наглядность изображения (рис. 5.2).

Следы плоскости

Линия пересечения рассматриваемой плоскости с плоскостью проекций (П₁, П₂, П₃)называется следом плоскости. Иными словами, след плоскости — прямая, лежащая в плоскости проекций. Следу присваивается наименование той плоскости проекций, которой он принадлежит. Например, горизонтальный след получен при пересече­нии заданной плоскости с плоскостью П₁ и обозначается , фрон­тальный — с плоскостью П₂( ), профильный — с плоскостью П₃( ). Два следа одной и той же плоскости пересекаются на оси про­екции в точке, называемой точкой схода следов. Каждый из следов плоскости совпадает со своей одноименной проекцией, остальные проекции оказываются лежащими на осях. Например, горизонтальный след плоскости £ (рис. 5.2) совпадает со своей горизонтальной проек­цией , фронтальная его проекция находится на оси Jt, а профильная на оси у. По расположению следов плоскости можно судить о по­ложении данной плоскости в пространстве относительно плоскостей проекций П₁,П₂, П₃.