Двумерная случайная величина

Определение 10. Упорядоченная пара случайных величин (Х; Y) называется двумерной случайной величиной.

Определение 11. Возможным значением двумерной случайной величины (Х; Y) называется упорядоченная пара чисел вида (Х = xi; Y = yj), а ее вероятностью – вероятность события (Х = xi; Y = yj): pij = p(Х = xi; Y = yj).

Определение 12. Законом распределения двумерной случайной величины называется перечень возможных значений (xi; yj) этой величины и их вероятностей pij (i = 1,2,…, m; j = 1,2,…, n).

Обычно двумерное распределение задается в виде таблицы

Двумерная случайная величина - student2.ru Y X Y = y1   Y = y2   … Y = yn
X = x1 p11 p12 p1n
X = x2 p21 p22 p2n
X = xm pm1 pm2 pmn

Так как события (Х = xi; Y = yj), где i = 1,2,…, m и j = 1,2,…, n, образуют полную группу, то сумма вероятностей pij в данной таблице равна 1.

Безусловные вероятности дискретных компонент Х и Y находятся по формулам

Двумерная случайная величина - student2.ru (10)

Для условных вероятностей компонент Х и Y справедливы формулы:

Двумерная случайная величина - student2.ru (11)

Математические ожидания компонент Х и Y находятся следующим образом:

Двумерная случайная величина - student2.ru (12)

Определение 13. Ковариацией (корреляционным моментом) компонент Х и Y называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий:

Двумерная случайная величина - student2.ru (13)

где математическое ожидание произведения компонент Двумерная случайная величина - student2.ru (суммирование производится по всем возможным парам индексов ij).

Пусть дана случайная величина Z = X + Y. Тогда математическое ожидание

M(Z) = M(X) + M(Y), (14),

а дисперсия

D(Z) = M(Z 2) – M 2(Z). (15)

Задача. Дана дискретная двумерная случайная величина Двумерная случайная величина - student2.ru = (Х; Y). Найти:

1) безусловные законы распределения компонент Х и Y;

2) математические ожидания составляющих компонент M(X), M(Y) и центр рассеяния Двумерная случайная величина - student2.ru ; ковариацию компонент cov(X, Y);

3) условный закон распределения X при Y = 1 и найти M (X /Y = 1);

4) закон распределения случайной величины T = 3X + 1, математическое ожидание M(T) и дисперсию D(T);

5) закон распределения случайной величины Z = X + Y; математическое ожидание M(Z) и дисперсию D(Z);

6) построить график интегральной функции распределения F(Z) случайной величины Z.

X \ Y y1 = –1 y2 = 0 y3 = 1
x1 = 1 0,05 0,2
x2 = 2 0,1 0,1 0,1
x3 = 3 0,1 0,15
x4 = 4 0,05 0,15

Решение.

1) Согласно (10), складывая вдоль строк (по индексу j) и вдоль столбцов (по индексу i), получим безусловные вероятности соответствующих значений xi и yj случайных компонент вектора Двумерная случайная величина - student2.ru . Безусловные законы распределения этих компонент представим в виде таблиц:

X
p(X) 0,25 0,3 0,25 0,2
Y –1
p(Y) 0,25 0,3 0,45

2) Согласно (12) и результатам пункта 1 математическое ожидание компонент:

M(X) = 1×0,25 + 2×0,3 + 3×0,25 + 4×0,2 = 2,4;

M(Y) = –1×0,25 + 0×0,3 + 1×0,45 = 0,2.

Следовательно, центр рассеивания системы случайных величин (Х; Y) определяется радиус-вектором Двумерная случайная величина - student2.ru .

Найдем «исправленное» среднее квадратическое отклонение Двумерная случайная величина - student2.ru , учитывая, что

Двумерная случайная величина - student2.ru

Двумерная случайная величина - student2.ru

Найдем наблюдаемое значение критерия:

Двумерная случайная величина - student2.ru

Табулированное значение tдвуст.кр.(a = 0,05; k = n – 1) = 2,57.

Так как Двумерная случайная величина - student2.ru – нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Другими словами, средние результаты измерений различаются незначимо.

 
 

Двумерная случайная величина - student2.ru - «исправленное» среднее квадратическое отклонение.

Правило. Для того чтобы при заданном уравнении значимости a проверить нулевую гипотезу Двумерная случайная величина - student2.ru о равенстве двух средних нормальных совокупностей X и Y с неизвестными дисперсиями (в случае зависимых выборок одинакового объема) при конкурирующей гипотезе Двумерная случайная величина - student2.ru , надо вычислить наблюдаемое значение критерия:

Двумерная случайная величина - student2.ru

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости Двумерная случайная величина - student2.ru , помещенному в верхней строке таблицы, и числу степеней свободы k = n – 1 найти критическую точку Двумерная случайная величина - student2.ru . Если Двумерная случайная величина - student2.ru – нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Если Двумерная случайная величина - student2.ru – нулевую гипотезу отвергают.

Задача. Двумя приборами в одном и том же порядке измерены шесть деталей и получены следующие результаты измерений (в сотых долях миллиметра):

Двумерная случайная величина - student2.ru
Двумерная случайная величина - student2.ru
Двумерная случайная величина - student2.ru – 8 –1

При уровне значимости 0,05 установить, значимо или незначимо различаются результаты измерений, в предположении, что они распределены нормально.

Решение. Найдем разности Двумерная случайная величина - student2.ru , вычитая из чисел первой строки числа второй.

Найдем выборочную среднюю, учитывая, что Двумерная случайная величина - student2.ru : Двумерная случайная величина - student2.ru

Согласно (13) для нахождения ковариации компонент вектора Двумерная случайная величина - student2.ru надо знать M(XY). Используя исходную таблицу и опуская слагаемые, содержащие равные 0 множители, получим:

M(XY) = –1×2×0,1 –1×3×0,1–1×4×0,05+1×1×0,2+1×2×0,1+1×4×0,15 = 0,3.

Следовательно, cov(X, Y) = M(XY) – M(X)×M(Y) = 0,3 – 2,4×0,2 = – 0,18.

3) Согласно (11) и результатам пункта 1 получим условные вероятности

Двумерная случайная величина - student2.ru

Таким образом, условный закон распределения случайной компоненты X при Y = 3 можно представить таблицей:

X
p(X /Y = 1) 0,45 0,22 0,33

(столбец с вероятностью равной 0 можно опустить).

Найдем математическое ожидание

M (X /Y = 1) = 1×0,45 + 2×0,22 + 3×0 + 4×0,33 = 2,21.

4) Значения случайной величины T = 3X + 1 получаются при подстановке значений случайной величины X в формулу для Т; а их вероятности совпадают с соответствующими вероятностями значений случайной величины Х:

Т
р(Т) 0,25 0,3 0,25 0,2

Найдем М(Т) и D(T):

Двумерная случайная величина - student2.ru

5) Для определения закона распределения случайной величины Z = X + Y предварительно составим таблицу возможных значений Z, задаваемых значениями xi + yj, и вероятностей этих значений, равных p(Х=xi; Y=yj)= pij:

 
 


xi
yj –1 –1 –1 –1
xi + yj
pij 0,1 0,1 0,05 0,05 0,1 0,15 0,2 0,1 0,15

Упорядочим запись закона распределения случайной величины Z, причем вероятности одинаковых значений необходимо сложить:

Z
p(Z) 0,15 0,4 0,3 0,15

(столбцы с нулевыми вероятностями можно опустить).

Найдем M(Z) и D(Z):

M(Z) = 1×0,15 + 2×0,4 + 3×0,3 + 5×0,15 = 2,6 или

M(Z) = М(X + Y) = M(X) + M(Y) = 2,4 + 0,2 = 2,6;

D(Z) = 12×0,15 + 22×0,4 + 32×0,3 + 52×0,15 – 2,62 = 1,44.

6) Используя полученный закон распределения случайной величины Z, построим график (рис. 3) интегрального закона распределения F(z)=p(Z<z) с учетом того, что функция F(z) принимает значения:

Двумерная случайная величина - student2.ru

 
  Двумерная случайная величина - student2.ru

Наши рекомендации