Двумерная случайная величина

Определение 10. Упорядоченная пара случайных величин (Х; Y) называется двумерной случайной величиной.

Определение 11. Возможным значением двумерной случайной величины (Х; Y) называется упорядоченная пара чисел вида (Х = x_i; Y = y_j), а ее вероятностью – вероятность события (Х = x_i; Y = y_j): p_ij = p(Х = x_i; Y = y_j).

Определение 12. Законом распределения двумерной случайной величины называется перечень возможных значений (x_i; y_j) этой величины и их вероятностей p_ij (i = 1,2,…, m; j = 1,2,…, n).

Обычно двумерное распределение задается в виде таблицы

Y X	Y = y1	Y = y2	…	Y = yn
X = x1	p11	p12	…	p1n
X = x2	p21	p22	…	p2n
…	…	…	…	…
X = xm	pm1	pm2	…	pmn

Так как события (Х = x_i; Y = y_j), где i = 1,2,…, m и j = 1,2,…, n, образуют полную группу, то сумма вероятностей p_ij в данной таблице равна 1.

Безусловные вероятности дискретных компонент Х и Y находятся по формулам

(10)

Для условных вероятностей компонент Х и Y справедливы формулы:

(11)

Математические ожидания компонент Х и Y находятся следующим образом:

(12)

Определение 13. Ковариацией (корреляционным моментом) компонент Х и Y называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий:

(13)

где математическое ожидание произведения компонент (суммирование производится по всем возможным парам индексов ij).

Пусть дана случайная величина Z = X + Y. Тогда математическое ожидание

M(Z) = M(X) + M(Y), (14),

а дисперсия

D(Z) = M(Z ²) – M ²(Z). (15)

Задача. Дана дискретная двумерная случайная величина = (Х; Y). Найти:

1) безусловные законы распределения компонент Х и Y;

2) математические ожидания составляющих компонент M(X), M(Y) и центр рассеяния ; ковариацию компонент cov(X, Y);

3) условный закон распределения X при Y = 1 и найти M (X /Y = 1);

4) закон распределения случайной величины T = 3X + 1, математическое ожидание M(T) и дисперсию D(T);

5) закон распределения случайной величины Z = X + Y; математическое ожидание M(Z) и дисперсию D(Z);

6) построить график интегральной функции распределения F(Z) случайной величины Z.

X \ Y	y1 = –1	y2 = 0	y3 = 1
x1 = 1		0,05	0,2
x2 = 2	0,1	0,1	0,1
x3 = 3	0,1	0,15
x4 = 4	0,05		0,15

Решение.

1) Согласно (10), складывая вдоль строк (по индексу j) и вдоль столбцов (по индексу i), получим безусловные вероятности соответствующих значений x_i и y_j случайных компонент вектора . Безусловные законы распределения этих компонент представим в виде таблиц:

X
p(X)	0,25	0,3	0,25	0,2

Y	–1
p(Y)	0,25	0,3	0,45

2) Согласно (12) и результатам пункта 1 математическое ожидание компонент:

M(X) = 1×0,25 + 2×0,3 + 3×0,25 + 4×0,2 = 2,4;

M(Y) = –1×0,25 + 0×0,3 + 1×0,45 = 0,2.

Следовательно, центр рассеивания системы случайных величин (Х; Y) определяется радиус-вектором .

Найдем «исправленное» среднее квадратическое отклонение , учитывая, что

Найдем наблюдаемое значение критерия:

Табулированное значение t_{двуст.кр.}(a = 0,05; k = n – 1) = 2,57.

Так как – нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Другими словами, средние результаты измерений различаются незначимо.

- «исправленное» среднее квадратическое отклонение.

Правило. Для того чтобы при заданном уравнении значимости a проверить нулевую гипотезу о равенстве двух средних нормальных совокупностей X и Y с неизвестными дисперсиями (в случае зависимых выборок одинакового объема) при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия:

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости , помещенному в верхней строке таблицы, и числу степеней свободы k = n – 1 найти критическую точку . Если – нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Если – нулевую гипотезу отвергают.

Задача. Двумя приборами в одном и том же порядке измерены шесть деталей и получены следующие результаты измерений (в сотых долях миллиметра):

	– 8		–1

При уровне значимости 0,05 установить, значимо или незначимо различаются результаты измерений, в предположении, что они распределены нормально.

Решение. Найдем разности , вычитая из чисел первой строки числа второй.

Найдем выборочную среднюю, учитывая, что :

Согласно (13) для нахождения ковариации компонент вектора надо знать M(XY). Используя исходную таблицу и опуская слагаемые, содержащие равные 0 множители, получим:

M(XY) = –1×2×0,1 –1×3×0,1–1×4×0,05+1×1×0,2+1×2×0,1+1×4×0,15 = 0,3.

Следовательно, cov(X, Y) = M(XY) – M(X)×M(Y) = 0,3 – 2,4×0,2 = – 0,18.

3) Согласно (11) и результатам пункта 1 получим условные вероятности

Таким образом, условный закон распределения случайной компоненты X при Y = 3 можно представить таблицей:

X
p(X /Y = 1)	0,45	0,22		0,33

(столбец с вероятностью равной 0 можно опустить).

Найдем математическое ожидание

M (X /Y = 1) = 1×0,45 + 2×0,22 + 3×0 + 4×0,33 = 2,21.

4) Значения случайной величины T = 3X + 1 получаются при подстановке значений случайной величины X в формулу для Т; а их вероятности совпадают с соответствующими вероятностями значений случайной величины Х:

Т
р(Т)	0,25	0,3	0,25	0,2

Найдем М(Т) и D(T):

5) Для определения закона распределения случайной величины Z = X + Y предварительно составим таблицу возможных значений Z, задаваемых значениями x_i + y_j, и вероятностей этих значений, равных p(Х=x_i; Y=y_j)= p_ij:

xi
yj	–1	–1	–1	–1
xi + yj
pij		0,1	0,1	0,05	0,05	0,1	0,15		0,2	0,1		0,15

Упорядочим запись закона распределения случайной величины Z, причем вероятности одинаковых значений необходимо сложить:

Z
p(Z)		0,15	0,4	0,3		0,15

(столбцы с нулевыми вероятностями можно опустить).

Найдем M(Z) и D(Z):

M(Z) = 1×0,15 + 2×0,4 + 3×0,3 + 5×0,15 = 2,6 или

M(Z) = М(X + Y) = M(X) + M(Y) = 2,4 + 0,2 = 2,6;

D(Z) = 1²×0,15 + 2²×0,4 + 3²×0,3 + 5²×0,15 – 2,6² = 1,44.

6) Используя полученный закон распределения случайной величины Z, построим график (рис. 3) интегрального закона распределения F(z)=p(Z<z) с учетом того, что функция F(z) принимает значения: