Доказательство. Из условия (1) вытекает, что

Из условия (1) вытекает, что . Тогда , так как при . Теорема доказана.

Следствие 1. Условие (2) можно записать в следующей форме: .

Следствие 2. Если функция f дифференцируема в точке , то представление (1) или (2) единственно, то есть числа A_i, равные частным производным, определяются единственным образом.

Теорема 2. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство.В самом деле, из условия (1) дифференцируемости вытекает, что , а это означает, что функция непрерывна в точке .

3. Геометрический смысл условия дифференцируемости функции двух переменных. Достаточные условия дифференцируемости

Мы уже обратили внимание, что из существования функции всех частных производных в точке не вытекает её непрерывность в этой точке, и тем более, дифференцируемость. Докажем следующую теорему.

Теорема 3. Если функция f имеет все частные производные в некоторой окрестности точки и все эти частные производные непрерывны в точке , то функция f дифференцируема в точке .

Доказательство. Для сокращения записи проведем доказательство для функции двух переменных u=f(x,y). Итак, пусть обе частные производные существуют в окрестности точки (x₀,y₀) и непрерывны в этой точке. Взяв приращения и столь малыми, чтобы не выйти из указанной окрестности, рассмотрим приращение Выражение можно рассматривать как приращение функции одной переменной x на отрезке . Тогда согласно теореме Лагранжа найдется такое ,
что . Аналогично, .

Так как и непрерывны в точке (x₀,y₀), то , , где α и β – бесконечно малые при и функции. Используя это, получим: . Это равенство означает дифференцируемость функции f в точке (x₀,y₀). Теорема доказана.

4. Дифференцирование сложной функции

Рассмотрим сложную функцию , где (3)

Теорема 4. Пусть функции (3) дифференцируемы в точке , а функция u=f(x₁,x₂,…,x_m) дифференцируема в точке , где Тогда сложная функция дифференцируема в точке , при этом частные производные вычисляются по формулам

Доказательство. Возьмем приращения . Им соответствуют приращения функций (3) в точке . Приращениям, в свою очередь, соответствует приращение функций u=f(x₁,x₂,…,x_m) в точке . Так как функция f дифференцируема в точке , то . В силу дифференцируемости функций (3) в точке

Подставив последние равенства, получим:

Осталось доказать, что последние две суммы представляют собой величину . Очевидно, что . Далее, . Так как , то .

Итак, , что означает дифференцируемость сложной функции, причем . Теорема доказана.

Замечание. Рассмотрим важный частный случай, когда . Тогда .

5. Дифференциал функции многих переменных. Инвариантность формы первого дифференциала.

Определение. Дифференциалом дифференцируемой в точке функции u=f(x₁,x₂,…,x_m) называется главная линейная относительно приращений аргументов часть приращения этой функции в точке , то есть .

Используя теорему 1, перепишем .

Введем понятие дифференциала независимой переменной . Под дифференциалом независимой переменной можно понимать любое число. Будем брать это число, равным приращению независимой переменной . Тогда (4)

Докажем, что формула (4) справедлива и в том случае, когда аргументы x₁,x₂,…,x_m сами являются дифференцируемыми функциями некоторых новых переменных t₁,t₂,…,t_k. Это свойство называют свойством инвариантности формы первого дифференциала.

Пользуясь теоремой 4, получим

Свойство инвариантности формы первого дифференциала позволяет установить следующие правила дифференцирования. Пусть u и v – дифференцируемые функции. Тогда

Докажем, например, справедливость третьего равенства. Рассмотрим функцию двух переменных u и v. Тогда В силу инвариантности формы первого дифференциала выражение будет дифференциалом функции и в случае, когда u и v сами являются дифференцируемыми функциями каких-либо переменных.

Задание. Доказать остальные равенства.

6. Производная по направлению. Градиент.

Начнем с рассмотрения функции трех независимых переменных . Пусть эта функция определена в некоторой окрестности точки M₀(x₀,y₀,z₀) и дифференцируема в этой точке.

Рассмотрим всевозможные лучи, выходящие из точки M₀(x₀,y₀,z₀). Каждый такой луч задается единичным вектором .

Взяв на прямой, содержащей этот луч, точку M(x,y,z), рассмотрим вектор , где l – длина отрезка M₀M. С другой стороны, . Сопоставляя эти равенства, получим:

и рассмотрим сложную функцию одной переменной l .

Определение. Производную указанной сложной функции по переменной l, взятой в точке l=0, называют производной функции u=f(x,y,z) в точке M₀(x₀,y₀,z₀) по направлению вектора , и обозначают символом .

Согласно теореме 4, . (5)

Определение.Градиентом функции u=f(x,y,z) в точке M₀(x₀,y₀,z₀) называют вектор с координатами . Вектор градиент обозначают символом grad u.

Итак, . Тогда производная по направлению является скалярным произведением вектора и вектора : . Так как , где φ – угол между векторами и , а , то . Тогда максимальное значение получается при , то есть при совпадении направления с направлением , причем в этом направлении .

Итак, мы доказали два утверждения:

1. производная функции u=f(x,y,z) в точке (x₀,y₀,z₀) по направлению, определенному градиентом этой функции в указанной точке, имеет максимальное значение по сравнению с производной в этой точке по любому другому направлению;

2. значение производной по направлению, определенному градиентом этой функции в данной точке, равно , то есть длине вектора в данной точке.

Для выполнения геометрического смысла вектора введем понятие поверхностей уровня функции u=f(x,y,z). Множество точек, удовлетворяющих уравнению f(x,y,z)=c=const, называется поверхностью уровня.

В каждой точке (x₀,y₀,z₀) поверхности уровня f(x,y,z)=c нормальным вектором к касательной плоскости будет являться вектор , другими словами, вектор ортогонален к поверхности уровня.

Аналогичные выводы можно сделать относительно производной по направлению и вектора для функции m переменных, в частности для функции двух переменных.

Задание. Провести выкладки самостоятельно.

Частные производные и дифференциалы высших порядков

7. Частные производные высших порядков

Пусть частная производная функции u=f(x₁,x₂,…,x_m), определенной на области G, существует в каждой точке этой области. Таким образом, представляет собой функцию переменных x₁,…,x_m, также определенную на области G. Если эта функция имеет частную производную по переменной x_k в некоторой точке М области, то указанную частную производную называют частной производной второго порядка функции f в точке М сначала по переменной x_i, а затем по переменной x_k и обозначают одним из следующих символов: . При этом если , то частная производная .

Предположим, что уже введено понятие (n-1)-ой частной производной . Тогда если эта (n-1)-я частная производная имеет в точке М частную производную по переменной , то указанную частную производную называют n-й частной производной функции f в точке М, т.е. .

Если не все индексы совпадают между собой, то эта частная производная называется смешанной.

Таким образом, мы ввели понятие n-й частной производной индуктивно.

Далее мы выясним достаточные условия независимости смешанных производных от порядка дифференцирования.

Сначала введем важное понятие.

Определение. Пусть n=2,3,… Назовем функцию n-дифференцируемой в точке , если эта функция (n-1)-дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки и все её частные производные порядка (n-1) являются дифференцируемыми в точке функциями.

Заметим, что при этом для любого k, удовлетворяющего условию , любая её частная производная порядка k будет (n-k) дифференцируемой в этой точке. Принято также считать функцию 0-дифференцируемой в точке, если она непрерывна в этой точке.

Для того, чтобы функция f была n-дифференцируема в точке достаточно, чтобы все её частные производные n-ого порядка существовали в окрестности точки и являлись непрерывными в этой точке функциями.

Справедливость этого утверждения вытекает из определения n-дифференцируемости и теоремы 3 о достаточных условиях дифференцируемости.

Теорема 1. Пусть функция u=f(x,y) 2-дифференцируема в точке M₀(x₀,y₀). Тогда в этой точке частные производные и равны.

Доказательство. Так как функция f 2-дифференцируема в точке M₀(x₀,y₀), то частные производные и определены в некоторой -окрестности точки M₀ и дифференцируемы в этой точке.

Рассмотрим выражение , где h достаточно мало, так что точка M₀(x₀+h,y₀+h) находится в указанной -окрестности точки M₀. Выражение Ф можно рассматривать как приращение дифференцируемой на отрезке функции одной переменной x. Поэтому по формуле Лагранжа найдется такое, что, Так как дифференцируема в точке M₀, то , где - бесконечно малые при функции. Тогда , где - бесконечно малая при функция.

С другой стороны, рассматривая как приращение , аналогично предыдущему получим выражение для Ф: , где - бесконечно малая при функция. Тогда . Перейдя к пределу при , получим . Теорема доказана.

Докажем еще одну теорему о равенстве смешанных производных.

Теорема 2. Пусть в некоторой окрестности точки M0(x0,y0) функция f имеет частные производные и производные и непрерывны в точке M0. Тогда .

Доказательство. Воспользуемся выражением Ф из доказательства предыдущей теоремы . Применяя к этой разности формулу Лагранжа по переменной y на отрезке [y₀,y₀+h], получим: , где . В силу непрерывности в точке M₀(x₀,y₀) получим , где при . Следовательно, , и перейдя к пределу при , получим . Теорема доказана.

Докажем теперь теорему о независимости значения любой смешанной производной от порядка дифференцирования.

Теорема 3. Пусть функция u=f(x1,x2,…,xm) n-дифференцируема в точке . Тогда в этой точке значение любой смешанной производной n-ого порядка не зависит от порядка дифференцирования.

Доказательство.Очевидно.

Достаточно доказать равенство .

Рассмотрим функцию как функцию двух переменных и . Тогда в силу теоремы 1 . Остальное очевидно. Теорема доказана.

Отметим, что любую частную производную n-го порядка можно записать в виде , где - целые числа, удовлетворяющие условиям: .

8. Дифференциалы высших порядков

Чтобы дать определение дифференциалов высших порядков, введем еще одно обозначение первого дифференциала функции u=f(x₁,x₂,…,x_m) . То есть мы заменили на соответственно. В прежних обозначениях .

Правая часть равенства есть функция переменных x₁,x₂,…,x_m; и если функция f 2-дифференцируема в точке M(x₁,…,x_m), то можно рассмотреть её дифференциал .

Определение. Значение дифференциала от первого дифференциала, взятое при , называется вторым дифференциалом функции f (в данной точке М) и обозначается символом .

Итак, .

Дифференциал dⁿu любого порядка n введем по индукции.

Предположим, что определен дифференциал d^n-1u порядка n-1 и функция f n-дифференцируема в точке M(x₁,…,x_m), а её аргументы x₁,…,x_m являются либо независимыми переменными, либо n-дифференцируемыми функциями некоторых независимых переменных t₁,…,t_k.

.

При вычислении второго и последующих дифференциалов приходится различать два случая.

1) Пусть аргументы x₁,…,x_m являются независимыми переменными. Тогда , так как для всех точек M(x₁,…,x_m).

Следовательно,

(Мы воспользовались еще и тем, что смешанные производные 2-го порядка не зависят от порядка дифференцирования).

И далее по индукции .

Введем формальный символ . Тогда можно записать и (*)

2) Пусть аргументы x₁,…,x_m являются 2-дифференцируемыми функциями некоторых независимых переменных t₁,…,t_k. Тогда

Или (**)

Сравнивая формулы (*) и (**), делаем вывод, что второй дифференциал уже не обладает свойством инвариантности формы. Тем более не обладают этим свойством все последующие дифференциалы.

Замечание. Укажем важный частный случай, когда 2-дифференциал и последующие дифференциалы функции u=f(x₁,x₂,…,x_m) определяются той же самой формулой (*), что и для случая независимых переменных x₁,x₂,…,x_m.

Пусть переменные x₁,x₂,…,x_m являются линейными функциями независимых

переменных t₁,…,t_k: , где - постоянные.

Так как любая частная производная выше первого порядка от линейной функции равна нулю, то . Следовательно, n-дифференциал определяется формулой (*).

9. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

Пусть функция u=f(x,y) двух переменных n-дифференцируема в окрестности точки (x,y), и и достаточно малы, чтобы точка принадлежала указанной окрестности.

Тогда и отрезок с концами (x,y) и содержится в ней.

Рассмотрим сложную функцию , определенную на отрезке [0,1] и дифференцируемую на нем (в силу теоремы 4 о дифференцируемости сложной функции).

Имеем: . Далее по индукции получим, что

В аналогичной ситуации для функции u=f(x₁,x₂,…,x_m) имеем: и

Докажем важную теорему.

Теорема 4. Пусть и функция u=f(x₁,x₂,…,x_m) n-дифференцируема в некоторой окрестности точки , а отрезок содержится в ней. Тогда (2)

где (3)

Равенство (2) называют формулой Тейлора с достаточным членом (3) в интегральной форме.

Доказательство. Рассмотрим функцию . Тогда при в силу формулы Тейлора для функции одной переменной .

Полагая , получим: .

Подставляя в полученное равенство в соответствии с формулой (1) значения

, получаем утверждение теоремы.

Замечание 1. Если остаточный член формулы Тейлора для функции записать в форме Лагранжа, т.е. , где , то мы получим остаточный член формулы (2) в виде (4)

Эту форму, так же как и в случае функции одной переменной, называют формой Лагранжа остаточного члена формулы Тейлора.

Замечание 2. Формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа можно переписать в виде: , где в дифференциале функции f и

10. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

Теорема 5. Пусть функция u=f(x₁,x₂,…,x_m) n-дифференцируема в точке . Тогда существует непрерывная в точке функция такая, что и для всех имеет место равенство (5), где . Дифференцируемость n раз функции f в точке x₀ предполагает её (n-1)-дифференцируемость в некоторой окрестности точки x₀.

Доказательство.Положим для всех Нужно лишь доказать, что

Докажем по индукции.

Для n=0 и n=1 это следует из определения соответственно непрерывности и 1-дифференцируемости функции f в точке

Пусть , и пусть теорема верна для i=n-1. Докажем её для i=n.

Найдем производную . Предварительно убедимся, что для k=1,…,n при фиксированных x₂,x₃,…,x_m

При фиксированных x₂,x₃,…,x_m величину можно рассматривать как постоянную, поскольку символы используются для образования частных производных функции f в фиксированной точке . Поэтому Следовательно, Но это есть остаточный член в формуле Тейлора порядка n-1, примененной к функции По предположению индукции Совершенно аналогично получим, что для i=2,…,m Тогда взяв точку из указанной окрестности точки и заметив, что и применив формулу Тейлора порядка 1 с остаточным членом в форме Лагранжа будем иметь

Где - точка, промежуточная между и . Следовательно, Теорема доказана.

Замечание. Остаточный член формулы (5) в виде записывают короче в виде , где , и называют остаточным членом в форме Пеано.