Виды симметрии периодических функций

Общие определения

Как известно, в электроэнергетике в качестве стандартной формы для то­ков и на­пря­жений принята синусоидальная форма. Однако в реальных условиях формы кривых токов и напряжений могут в той или иной мере отличаться от синусоидальных. Искажения форм кривых этих функций у приемников приво­дят к дополнительным потерям энергии и сниже­нию их коэффициента полез­ного действия. Синусоидальность формы кривой напряжения генератора явля­ется одним из показателей качества электрической энергии как товара.

Возможны следующие причины искажения формы кривых токов и на­пряжений в сложной цепи:

1) наличие в электрической цепи нелинейных элементов, параметры ко­торых за­висят от мгновенных значений тока и напряжения [R, L, C=f(u,i)], (на­пример, выпрямитель­ные устройства, электросварочные агрегаты и т. д.);

2) наличие в электрической цепи параметрических элементов, пара­метры кото­рых изменяются во времени[R, L, C=f(t)];

3) источник электрической энергии (трехфазный генератор) в силу кон­структивных особенностей не может обеспечить идеальную синусоидальную форму выходного напряжения;

4) влияние в комплексе перечисленных выше факторов.

Нелинейные и параметрические цепи рассматриваются в отдельных гла­вах курса ТОЭ. В настоящей главе исследуется поведение линейных электриче­ских цепей при воздей­ствии на них источников энергии с несинусоидальной формой кривой.

Разложение периодических несинусоидальных функций

В гармонический ряд Фурье

Из курса математики известно, что любая периодическая функция вре­мени f(t), удов­летворяющая условиям Дирихле, может быть представлена гар­моническим рядом Фурье:

.

Здесь А₀ – постоянная составляющая, - k-я гармониче­ская составляю­щая или сокращенно k-я гармоника. 1-я гармоника называется основной, а все последующие - выс­шими.

Амплитуды отдельных гармоник А_к не зависят от способа разложения функции f(t) в ряд Фурье, в то же время начальные фазы отдельных гармоник зависят от выбора начала отсчета времени (начала координат).

Отдельные гармоники ряда Фурье можно представить в виде суммы си­нусной и ко­си­нусной составляющих:

.

Тогда весь ряд Фурье получит вид:

.

Соотношения между коэффициентами двух форм ряда Фурье имеют вид:

.

Если k-ю гармонику и ее синусную и косинусную составляющие заменить ком­плекс­ными числами, то соотношение между коэффициентами ряда Фурье можно предста­вить в комплексной форме:

.

Если периодическая несинусоидальная функция времени задана (или мо­жет быть вы­ражена) аналитически в виде математического уравнения, то коэф­фициенты ряда Фурье оп­ределяются по формулам, известным из курса матема­тики:

,

,

,

.

На практике исследуемая несинусоидальная функция f(t) обычно задается в виде гра­фической диаграммы (графически) (рис. 118) или в виде таблицы ко­ор­динат точек (таблично) в интервале одного периода (табл. 1). Чтобы выпол­нить гармонический анализ такой функции по приведенным выше уравнениям, ее необходимо предварительно заменить математиче­ским выражением. Замена функции, заданной графически или таблично математическим уравнением, по­лучила название аппроксимации функции.

Т а б л и ц а 1

m					…	…	…	…	M
tm	t0	t1	t2	t3	…	…	…	…	T
fm	f0	f1	f2	f3	…	…	…	…	f0

В настоящее время гармонический анализ несинусоидальных функций времени f(t) выполняется, как правило, на ЭВМ. В простейшем случае для ма­тематического представле­ния функции применяется кусочно-линейная аппрок­симация. Для этого вся функция в ин­тервале одного полного периода разбива­ется на M=20-30 участков так, чтобы отдельные уча­стки были по возможности ближе к прямым линиям (рис. 1). На отдельных участках функция аппроксими­руется уравнением прямой f_m(t)=a_m+b_m×_×t, где коэффициенты аппроксимации (a_m, b_m) определяются для каждого участка через координаты его конечных то­чек, например, для 1-го участка получим:

; .

Период функции Т разбивается на большое число шагов интегрирования N, шаг ин­тегрирования , текущее время t_i=h×i, где i - порядковый номер шага интегриро­вания. Определенные интегралы в формулах гармониче­ского анализа заменяются соответст­вующими суммами, их подсчет выполня­ется на ЭВМ по методу трапеций или прямоуголь­ников, например:

.

Для определения амплитуд высших гармоник с достаточной точностью число шагов интегрирования должно составлять не менее 100k, где k - номер гармоники.

В технике для выделения отдельных гармоник из несинусоидальных на­пряжений и токов применяют специальные приборы, называемые гармониче­скими анализаторами.

Виды симметрии периодических функций

Различают следующие виды симметрии периодических несинусоидаль­ных функций.

1) Нечетная симметрия: функция симметрична относительно начала ко­ординат и удовлетворяет условию (рис. 119).

Функции, обладающие нечетной симметрией, получили название нечет­ных. В раз­ло­жении таких функций содержатся только синусные составляющие отдельных гармоник B_k и отсутствуют постоянная составляющая A₀ и косинус­ные составляющие отдельных гармо­ник С_k:

.

При определении коэффициентов ряда Фурье нечетной функции интегри­рование в формуле достаточно выполнить за половину периода T/2:

.

2) Четная симметрия: функция симметрична относительно оси ординат и удовлетво­ряет условию (рис. 3).

Функции, обладающие четной симметрией, получили название четных. В разложе­нии таких функций содержатся только постоянная составляющая А₀ и косинусные состав­ляющие отдельных гармоник C_k и отсутствуют синусные со­ставляющие отдельных гармоник В_к:

.

При определении коэффициентов ряда Фурье четной функции интегри­рование в формулах достаточно выполнить за половину периода:

,

.

2) Косая симметрия: функция симметрична относительно оси абсцисс при смещении ее положительной части [f(t)>0] или отрицательной части [f(t)<0] на отрезок времени и удовлетворяет условию (рис. 121):

Функции, обладающие косой симметрией, получили название кососим­метричных. В разложении таких функций содержатся только нечетные гармо­ники (синусные и косинусные составляющие):

.

Докажем это утверждение методом от обратного. Предположим, что ко­сосиммет­рич­ная функция содержит в разложении все члены ряда Фурье:

Добавим к аргументу функции T/2:

Равенство выполняется при условии A₀=0, A₂=0, A₄=0,…, что тре­бо­валось доказать.

Коэффициенты ряда Фурье кососимметричной функции определяются по общим пра­вилам.

Функция f(t) может обладать одновременно двумя видами симметрии, на­пример, не­четной и косой или четной и косой, но не может быть одновременно нечетной и четной. При разложении конкретной функции в ряд Фурье начало отсчета следует выбрать так, чтобы получить желаемый вид симметрии функ­ции.

Пример. Требуется разложить в ряд Фурье периодическую прямоуголь­ную функ­цию и (рис. 122).

При выбранном начале отсчета (точка 0) функция будет обладать одно­временно двумя видами симметрии (нечетной и косой) и ее гармонический со­став будет иметь вид:

Коэффициенты ряда Фурье определяются по формуле для нечетной функ­ции:

Тогда ряд Фурье исследуемой функции получит вид: