Основные принципы матричного метода перемещений (ММП)

Компьютерные методы обучения.

1. Общие сведения о численных методах расчета. 3

1.1 Основная терминология. 3

1.2 Основные принципы матричного метода перемещений (ММП). 4

1.2.1 Основные гипотезы ММП: 4

1.2.2 Разрешающая система уравнений. 9

1.2.3 Порядок расчета ММП: 9

1.3 Основные принципы метода конечных элементов (МКЭ). 11

1.3.1 Атрибуты конечного элемента. 11

1.3.2 Особенности МКЭ. 12

1.3.3 Порядок подготовки и ввода исходных данных для МКЭ: 14

1.3.4 Матрицы жесткости типовых стержневых элементов (плоская задача): 16

1.3.5 Принцип формирования общей матрицы жесткости конструкции. 19

1.3.6 Определение перемещений и усилий в элементах. 21

1.4 Основные расчеты, выполняемые на основе МКЭ: 21

1.5 Основные принципы выбора расчетных схем. 23

1.5.1 Особенности работы с крупноразмерными задачами. 24

1.5.2 Оценка точности. 25

1.5.2 Контроль исходных данных и результатов расчета. 25

2. Общие принципы работы с ПК STARK ES. 26

2.1 Основные размерности. 26

2.2 Используемые системы координат. 27

2.3 Окно графического ввода. 27

2.4 Команды просмотра. 28

2.5 Планка переключателей 1. 29

2.6 Планка переключателей 2. 30

2.7 Работа с командами меню «Фрагмент». 31

3 Работа c FEA-проектами. 32

3.1 Расчет плоских рам на статическую нагрузку. 32

3.1.1 Ввод исходных данных. 32

3.1.2 Статический расчет рамы и просмотр результатов. 46

3.1.3 Задание для самостоятельного расчета по теме рамы. 48

3.1.4 Особенности работы рамы в пространственной постановке. 49

3.1.5 Задания для самостоятельного расчета. 53

4. Ввод плоской плиты. 53

4.1 Ввод геометрии плиты при помощи позиций. 53

4.2 Ввод несущих стен. 56

4.3 Ввод отверстий. 59

4.4 Расчет плиты и вывод результатов. 59

4.4.1 Подготовка к расчету. Частичные и полные проекты. 59

4.4.2 Задание опорных закреплений. 61

4.4.3 Статический расчет плиты. 61

4.4.4 Просмотр результатов расчета. 62

4.4.5 Способы вывода результатов расчета: 62

4.5 Ввод плиты при помощи DXF-файла. 67

4.5.1 Ввод и расчет плиты. 67

4.5.2 Подбор арматуры в плите. 75

4.6 Ввод плиты при помощи растра. 80

4.6.1 Ввод плиты. 80

4.6.2 Ввод балок. 87

4.6.3. Расчет арматуры балок. 91

4.7 Ввод упругого основания. 98

5 Расчет средней рамы железобетонного каркаса одноэтажного промышленного здания. 101

5.1 Задание геометрии каркаса, особенности моделирования ферм и колонн. 105

5.2 Задание нагрузок на раму каркаса, работа с нагружениями. 117

5.3 Общий расчет рамы каркаса и определение РСУ в колоннах. 124

5.4 Расчет армирования элементов. 130

3.3.5 Расчет армирования элементов. 134

6. Расчет стальной фермы покрытия одноэтажного промышленного здания. 139

6.1 Ввод расчетной схемы, особенности моделирования стальных ферм. 142

6.2 Задание нагрузок на ферму. 150

6.3 Статический расчет фермы. 152

6.4 Определение РСУ и расчет элементов ферм по несущей способности. 154

5.6 Задание для самостоятельной работы (по двум темам). 160

7. Расчет арок. 162

Задания на зачет. 174

Расчет рам. 174

Расчет ферм из стальных профилей. 176

Расчет железобетонных ферм. 177

Общие сведения о численных методах расчета.

Современное архитектурно-строительное проектирование трудно представить без использования компьютерных технологий. Компьютер и программное обеспечение к нему не только оказывают неоценимую помощь в работе инженера, но и позволяют рассматривать задачи, решение которых ранее не представлялось возможным.

Расчетные задачи, встречающиеся при проектировании несущих строительных конструкций, можно условно разделить на два класса:

1. задачи строительной механики по определению напряженно-деформированного состояния конструкций при действии нагрузок и воздействий;

1. задачи по определению параметров конструктивных решений в соответствии с указаниями используемых норм проектирования.

Основная терминология.

Строительная конструкция – часть здания или строительного сооружения, выполняющая определенные несущие, ограждающие или эстетические функции.

Основание – часть массива грунта, воспринимающая воздействия, передаваемые через фундамент.

Воздействия – нагрузки, изменение температуры, влияние на строительный объект окружающей среды, действие ветра, осадка оснований, смещение опор, деградация свойств материалов во времени и другие эффекты, вызывающие изменение напряженно-деформированного состояния строительных конструкций. При проведении расчетов воздействия допускается задавать как эквивалентные нагрузки.

Конструктивная система – совокупность взаимосвязанных строительных конструкций и основания.

Расчетная схема- модель взаимосвязи конструктивной системы и системы воздействий, используемая при проведении прочностных расчетов.

Расчетная схема (модель) – модель конструктивной системы, используемая при проведении расчетов.

Расчетная схема отражает фактическую работу конструкции только с определенной долей приближения. Основные отличия расчетной схемы от конструктивной:

1. Чаще всего основные элементы расчетной схемы, в отличие от конструктивной схемы, являются одномерными или двумерными (за исключением 3Dобъемных элементов). Остальные их характеристики (толщина, площадь поперечного сечения, моменты инерции и т.д.) задаются численно.
2. В расчетной схеме ненесущие элементы обычно учитываются только в виде нагрузок, а также могут удаляться и те несущие элементы, работа которых не оказывает существенного влияния на результаты расчета данного элемента или модели в целом.
3. Применяются существенные упрощения при задании внешних воздействий и нагрузок.
4. Вводятся упрощающие предпосылки и накладываются дополнительные ограничения, касающиеся работы конструкций. Факторы, незначительно влияющие на напряженно-деформированное состояние системы, не учитываются.

Расчетные схемы, которые применяются в конечно-элементных программных комплексах могут быть произвольными, и решения по их выбору принимаются пользователями комплексов. Проблема выбора адекватной расчетной схемы сооружения является одной из самых основных и сложных проблем, возникающих при расчете конструкций.

Конечно-элементная (КЭ) модель – расчетная схема в терминах метода конечных элементов.

Элемент - простейшая неделимая часть чего-либо (системы, модели).

Компонент - составная часть, элемент чего-либо (системы, модели).

Основные принципы матричного метода перемещений (ММП).

1.2.1 Основные гипотезы ММП:

1 Деформации растяжения сжатия малы по сравнению с деформациями изгиба, поэтому ими можно пренебречь, т.е. считать, что перемещения узлов происходят только за счет изгиба стержней;

2 Перемещения системы малы, поэтому пренебрегаем сближением концов стержней при изгибе. Т.е. длина стержня остается равной длине хорды, соединяющей его концы после искривления.

3 В шарнирно-стержневых системах (фермах) учитываются только деформации растяжения-сжатия.

За неизвестные в ММП принимаются возможные линейные перемещения узлов системы и возможные углы поворота жестких узлов.

Обозначим:

Z_i – возможные перемещения системы;

P_i – внешние узловые силы и моменты, приложенные в направлении возможных перемещений;

S_i – усилия в стержневых элементах: в фермах осевые силы, а в рамах моменты по концам стержней.

Рис. 1 Расчетная схема фермы

Рис. 2 Возможные перемещения узлов фермы.

Вектор внешних сил по возможным перемещениям: ;

Вектор усилий в стрежнях: , соответственно вектор деформаций: .

Статическая матрица А имеет размер m´n, где m число возможных перемещений узлов, а n - число столбцов, равное числу внутренних усилий.

1 При m > n – система изменяема. Число степеней свободы W = m – n.

2 При m = n – система неизменяема и статически определима, если ее определитель Det A ¹ 0. Если Det A = 0 – – система мгновенно изменяема[1].

3 При m < n – система неизменяема и статически неопределима.

Проведем кинематический анализ фермы на рис. 1[2]. Из уравнений статического равновесия:

Тогда

m < n – следовательно система статически неопределима.

Связь между перемещениями и деформациями определяется уравнениями неразрывности деформаций.

Рис. 3 Деформации элементов при перемещении Z₁.

Рис. 4 Деформации элементов при перемещении Z₂.

Отсюда:

В матричном виде:

,

где B – матрица деформаций, выражающая деформации элементов через перемещения ее узлов:

Статическая матрица А и матрица деформации В являются транспонированным друг относительно друга.

или

Доказательство:

Работа внешних сил на возможных перемещениях dZ равна:

Работа внутренних сил на возможных деформациях равна:

Работа внутренних сил всегда отрицательна, поскольку силы препятствуют деформациям. Закон сохранения энергии:

,

что и требовалось доказать

Связь между усилиями и деформациями системы определяется законом Гука:

S_n – вектор усилия в элементе;

e_n – вектор деформаций;

k_n - матрица жесткости элемента.

А) Шарнирный элемент.

Рис. 5 Деформации шарнирного элемента.

Осевая сила в элементе равна:

или