Общие понятия теории массового обслуживания

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7

ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ.

Общие понятия теории массового обслуживания.

Основной задачей теории массового обслуживания является установление количественных зависимостей между числом приборов обслуживания, характеристиками входящего потока требований (заявок) и качеством обслуживания. При этом под качеством обслуживания понимается, насколько своевременно проведено обслуживание поступивших в систему требований, насколько полно загружены обслуживающие приборы, не велик ли уход из системы не обслуженных требований, не создается ли большая очередь.

Каждая СМО состоит из какого – то количества обслуживающих единиц, которые называются каналами обслуживания (это станки, транспортные тележки, роботы, линии связи, кассиры, продавцы и т.д.). Всякая СМО предназначена для обслуживания какого – то потока заявок (требований), поступающих в какие – то случайные моменты времени.

Обслуживание заявки занимает случайное время , после чего канал освобождается и готов к приему следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времени обслуживания может привести к тому, что в какие – то периоды времени на входе СМО скапливается излишне большое количество заявок (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО необслуженными). В другие же периоды СМО будет работать с недогрузкой или вообще простаивать.

Предмет теории массового обслуживания – построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, их производительность, правила работы, характер потока заявок) с показателями эффективности СМО. Эти показатели описывают способность СМО справляться с потоком заявок. Ими могут быть: среднее число заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени; среднее число занятых каналов; среднее число заявок в очереди; среднее время ожидания обслуживания и т.д.

Классификация систем массового обслуживания

По своему составу СМО делятся на системы с одним обслуживающим прибором (каналом) и многими приборами обслуживания, называющимися соответственно одноканальными и многоканальными.

Многоканальные системы могут состоять из однотипных или разнотипных приборов.

По времени пребывания требований в системе до начала обслуживания СМО делятся на:

- системы с отказами

- системы с неограниченным временем ожидания

- системы смешанного типа (с ограниченным временем ожидания).

В системах с отказами всякое поступившее требование, застав все приборы занятыми, покидает систему.

В системах с неограниченным временем ожидания поступившее в систему требование и обнаружившее все приборы занятыми вынуждено ожидать своей очереди до момента освобождения какого-нибудь (или определенного прибора).

В системах смешанного типа поступившие требования, застав все приборы занятыми, становятся в очередь. Но в ней они находятся ограниченное время, по истечении которого покидают систему. К смешанным системам относятся также системы с ограниченной длиной очереди.

Поток событий – последовательность однородных или неоднородных событий, которые наступают через случайные промежутки времени. Случайные временные интервалы между наступлениями событий в потоке в потоке могут подчиняться различным законам распределения. В большинстве работ по теории массового обслуживания, особенно прикладного характера, рассматривается пуассоновский (простейший) поток, в котором вероятность поступления в промежуток времени t ровно k требований задается формулой Пуассона.

где λ – плотность потока требований.

Простейший поток теории массового обслуживания играет такую же роль, как нормальный закон распределения случайных величин в теории вероятностей.

Простейший поток обладает тремя основными свойствами: стационарностью, отсутствием последействия и ординарностью.

Случайный поток называется стационарным, если вероятность поступления определенного количества требований в течение определенного отрезка времени зависит от его (отрезка) величины и не зависит от начала его отсчета на оси времени, то есть зависит от величины времени τ и не зависит от положения этого интервала на временной оси.

Отсутствие последействия состоит в том, что вероятность поступления за отрезок времени τ определенного числа требований не зависит от того, сколько требований уже поступило в систему, т.е. не зависит от предыстории изучаемого явления. Отсутствие последействия предполагает взаимную независимость протекания процесса в не перекрывающиеся между собой промежутки времени. Другими словами, это означает, что события, образующие поток, появляются в те или иные моменты времени независимо друг от другаи вызваны каждое своими собственными причинами.

Ординарность потока требований означает практическую невозможность появления двух и более требований в один и тот же момент времени.

Важной характеристикой потока является его интенсивность, которая определяется как математическое ожидание числа требований, поступающих за единицу времени. Интенсивность потока событий– это среднее число событий, приходящееся на единицу времени.

Показатели эффективности обслуживающих систем.

Показатели эффективности завися от 3 групп факторов: характеристик качества и надежности системы; экономических показателей (стоимости системы, трудовых затрат обслуживающего персонала, убытков, связанных с несвоевременным обслуживанием и т.д.); особенностей ситуации, в которой обслуживается система (параметров потока требований, ограничений на длину очереди и т.д.).

В зависимости от условий эксплуатации системы и принятого показателя эффективности выбирается математическая модель процесса.

Наиболее часто применяемые показатели:

- вероятность потери требования (p_n);

- вероятность того, что обслуживанием занято к приборов (p_k);

- среднее число занятых приборов, характеризующая степень загрузки СМО:

;

- среднее число свободных приборов:

- коэффициент простоя приборов

- коэффициент занятости оборудования:

- среднее время ожидания требований в очереди до начала обслуживания:

где

где P_k(t_ож>t) – условная вероятность того, что время ожидания больше t, при условии, что в момент поступления требования в ней обслуживались к требований.

- вероятность того, что время ожидания в очереди не продлится больше определенной величины:

- средняя длина очереди:

где p_k – вероятность того, что в системе находится к требований.

Кроме указанных, могут использоваться стоимостные показатели, такие как: стоимость обслуживания каждого требования, стоимость потерь, связанных с простаиванием требований в очереди в единицу времени, стоимость убытков, связанных с уходом требований из очереди, стоимость эксплуатации приборов в единицу времени, стоимость единицы времени простоя прибора.

Используются следующие экономические показатели качества:

1. Стоимость потерь для систем с ожиданием:

где

q_ож – стоимость потерь, связанных с ожиданием в очереди в единицу времени;

q_пр – стоимость единицы времени простоя прибора;

q_busy – стоимость эксплуатации прибора в единицу времени;

Для системы с отказами:

Для смешанной системы: