Схема гибели и размножения

Термин « схема гибели и размножения » ведет начало от биологических задач, где численность популяции описывали схемой её изменения. Схема гибели и размножения очень часто встречается в теории массового обслуживания, поэтому полезно найти для неё предельные вероятности состояний.

Граф состояний для схемы гибели и размножения имеет вид:

Составим уравнения Колмогорова.

Для состояния S₀: .

Для состояния S₁: ,

учитывая, что , получим .

Для состояния S₂: ,

учитывая, что , получим .

И вообще, для состояния S_j: ,

где j пробегает значения от 0 до (n-1).

Итак, финальные вероятности P₀, P₁, P₂,…, P_n удовлетворяют системе:

Кроме того, надо учесть, что .

Решим эту систему уравнений. Из первого уравнения следует

Из второго уравнения получим .

Из третьего уравнения получим .

И вообще, для любого j+1уравнения - .

Таким образом, все предельные вероятности выражены через P₀

, , , ,…

. ( 9 )

Обратим внимание на последние записи. В числителе стоит произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо (сначала до состояния S_j ), а в знаменателе – произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа налево ( сначала до состояния S_j ).

Подставим предельные вероятности в равенство , получим: .

Отсюда получим выражение для P₀

. ( 10 )

Затем по формулам ( 9 ) легко вычислить P₁, P₂, P₃, , P_n-1, P_n.

Полученные формулы очень полезны при решении простейших задач теории массового обслуживания.

__________________________________________________________________

Формула Литтла.

Рассмотрим любую СМО и связанные с нею два потока событий: поток заявок, прибывающих в СМО, и поток заявок, покидающих СМО.

Если в системе установился предельный стационарный режим, то среднее число заявок, прибывающих в единицу времени, равно среднему числу заявок, покидающих её; оба потока имеют одну и туже интенсивность .

Обозначим: - число заявок, прибывающих в систему до момента ;

- число заявок, покинувших систему до момента . Обе функции являются случайными и изменяются скачком (увеличиваются на единицу) в моменты прихода и ухода заявок.

Для любого момента разность есть не что иное, как число заявок, находящихся в системе.

Рассмотрим большой промежуток времени T и вычислим среднее число заявок, находящихся в системе. Оно будет равно

,

где L_сист – среднее число заявок, находящихся в системе, обслуживаемых или стоящих в очереди. Этот интеграл равен площади заштрихованных фигур. Фигура состоит из прямоугольников ( высотой единица ), основание равное времени пребывания заявки в системе: первой, второй, третьей и т. д.

Обозначим эти промежутки времени через Можно считать

,

где k - число заявок, пришедших за время T. Тогда

.

Разделим и умножим правую часть на интенсивность , получим

.

Величина - среднее число заявок, поступивших за время . Если разделить сумму всех переменных на среднее число , то получим среднее время пребывания заявки в системе . Итак,

.

Из последнего равенства следует формула Литтла:

. ( 11 )

Формула Литтла гласит: среднее время пребывания заявки в системе равно среднему числу заявок в системе, делённому на интенсивность потока заявок.

Точно также выводится вторая формула Литтла, связывающая среднее время пребывания заявки в очереди и среднее число заявок в очереди

. ( 12 )