Випадок неоднорідного рівняння

Якщо в однорідному ізотропному нескінченому стержні діють джерела тепла інтенсивності Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru то температура Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru повинна бути розв’язком неоднорідного рівняння теплопровідності

Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru (23)

Розв’язок задачі Коші (23), (21), якщо функції Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru і Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru є неперервними і обмеженими відповідно в Ω та на осі Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru шукається у вигляді суми Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru де функції Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru і Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru – розв’язки наступних задач Коші:

1) Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru 2) Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru

Розв’язок першої задачі дається формулою Пуассона (22):

Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru

Згідно принципу Дюгамеля функцію Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru шукаємо у вигляді інтеґрала: Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru де Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru визначається із задачі Коші

Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru

і дається формулою Пуассона

Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru

Тоді розв’язок задачі Коші (23), (21) буде мати вигляд

Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru (24)

4. Змішані задачі для напівнескінченого стержня з теплоізольованою бічною поверхнею

При дослідженні процесів поширення тепла в напівнескінченому стержні з теплоізольованою бічною поверхнею, кінець якого розміщений у початку координат, ми приходимо до однієї з наступних змішаних задач:

в області Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru знайти розв’язок рівняння

Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru (25)

який справджує початкову умову

- 19 -

Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru (26)

та одну з крайових умов на кінці стержня:

1) Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru (задана температура); (27)

2) Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru (заданий тепловий потік); (28)

3) Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru (заданий теплообмін по закону Ньютона з навколишнім середовищем, температура якого рівна μ3(t)).

Універсальним методом інтеґрування змішаних задач такого вигляду є метод інтеґрального перетворення Фур’є (див. [6], стор. 263-265, а також 312-316). Проте в деяких частинних випадках вдається знайти розв’язок за допомогою простіших методів (при цьому функції Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru і Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru вважаємо обмеженими і неперервними відповідно в областях Ω, Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru та Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru ). Зокрема, це стосується випадків, коли кінець стержня теплоізольований (μ2(t)≡0) або підтримується при нульовій температурі (μ1(t)≡0).

1) Метод непарного продовження. Змішана задача

Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru

(кінець стержня підтримується при нульовій температурі) при Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru еквівалентна задачі Коші

Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru

(задаємо непарне продовження початкової функції). Тоді розв’язок змішаної задачі Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru де Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru знаходиться за допомогою формули Пуассона (22).

2) Метод парного продовження. Змішана задача

Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru

(кінець стержня теплоізольований) при Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru еквівалентна задачі Коші

Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru

(задаємо парне продовження початкової функції). Тоді знову розв’язок змішаної задачі Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru де Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru знаходиться за допомогою формули Пуассона (22).

- 20 -

Зауваження 1. Якщо у змішаній задачі (25), (26), (27) μ1(t)≡0 (або у змішаній задачі (25), (26), (28) μ2(t)≡0), то розв’язок можна знайти, застосувавши принцип Дюгамеля аналоґічно до задач Коші. Інший спосіб – задати парне (непарне) продовження не тільки початкової функції, а й інтенсивності джерел тепла: тоді розв’язок еквівалентної задачі Коші знаходиться за допомогою формули (24).

Зауваження 2. Якщо у змішаній задачі для напівнескінченого стержня крайова умова неоднорідна, то її завжди можна звести до однорідної, підібравши деяку обмежену допоміжну функцію, котра справджує цю крайову умову. Зокрема, підстановкою Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru зодноріднюється крайова умова (27), а підстановкою Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru – крайова умова (28).

ПРИКЛАД.Знайти розподіл температури в однорідному ізотропному напівнескінченому стержні з теплоізольованою бічною поверхнею, кінець якого підтримується при нульовій температурі, якщо початкова температура стержня рівна Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru а всередині стержня діють джерела тепла інтенсивності Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru

Розв’язання. Математична модель задачі:

Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru

Розв’язок шукаємо у вигляді суми Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru де

1) Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru 2) Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru

До першої змішаної задачі застосуємо метод непарного продовження: Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru де

Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru

Згідно формули Пуассона (22)

Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru

де Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru – “інтеґрал помилок”.

- 21 -

Згідно принципу Дюгамеля розв’язок другої змішаної задачі будемо шукати у вигляді інтеґрала Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru де

Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru

Початкова функція є непарною, тому можна одразу застосувати формулу (22). Одержимо:

Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru

Тоді розв’язок вихідної змішаної задачі буде (для всіх Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru )

Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

1.Які фізичні процеси приводять до змішаних задач для рівнянь параболічного типу?

2.Запишіть рівняння теплопровідності, якщо

а) бічна поверхня стержня теплоізольована, а всередині його діють джерела тепла інтенсивності Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru

б) через бічну поверхню стержня проходить вільний теплообмін із навколишнім середовищем, температура якого рівна Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru

3.Запишіть крайові умови, якщо

а) кінці стержня підтримуються при нульовій температурі;

б) кінці стержня теплоізольовані;

в) на лівому кінці підтримується температура Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru а до правого підводиться тепловий потік Випадок неоднорідного рівняння - student2.ru

г) на кінцях стержня проходить теплообмін із навколишнім середовищем, температура якого рівна нулеві.

4.У чому полягає основна ідея методу відокремлення змінних?

5.Як будується розв’язок змішаної задачі для однорідного ізотропного стержня при наявності внутрішніх джерел тепла?

6.Наведіть метод побудови розв’язку змішаної задачі для рівняння теплопровідності у випадку

а) загальної змішаної задачі;

- 22 -

б) задачі зі стаціонарними неоднорідностями.

7.Як ставиться задача Коші для одновимірного рівняння теплопровідності?

8.При яких умовах формула Пуассона дає розв’язок задачі Коші для одновимірного рівняння теплопровідності?

9.Як будується розв’язок задачі Коші у випадку неоднорідного рівняння теплопровідності?

10.Наведіть методи побудови розв’язку змішаної задачі для напівнескінченого стержня, якщо

а) кінець стержня підтримується при нульовій температурі;

б) кінець стержня теплоізольований.

11.Наведіть фізичну інтерпретацію фундаментального розв’язку однорідного рівняння теплопровідності та формули Пуассона.

12.Сформулюйте принцип максимуму для розв’язків рівняння теплопровідності.

13.Сформулюйте теореми про єдиність розв’язку змішаних задач для рівняння теплопровідності та його неперервну залежність від початкової та крайових умов.

14.Сформулюйте теореми про єдиність розв’язку задачі Коші для рівняння теплопровідності та його неперервну залежність від початкової функції та інтенсивності внутрішніх джерел тепла.

15.Запишіть крайову умову, яку справджує інтеґрал Пуассона (22), якщо початкова функція є:

а) непарною;

б) парною.

Наши рекомендации