Решение задач на максимум и минимум

При решении задач на максимум и минимум по условиям задачи следует:

1. Составить функцию, приняв одну из переменных в качестве независимой. Интервал изменения независимой переменной определяется условиями задачи.

2. Выразить все остальные переменные, входящие в составленную функцию, через выбранную независимую переменную.

3. Получить аналитическое выражение функции через выбранную независимую переменную.

3. Исследовать эту функцию на экстремум в критических точках, принадлежащих области изменения независимой переменной.

4. Найти наибольшее и наименьшее значения полученной функции из значений на границах области изменения независимой переменной и в точках экстремума.

Пример 1: Объем цилиндра . Найти радиус основания, при котором цилиндр имеет наименьшую полную поверхность.

Решение: Полную поверхность цилиндра принимаем за функцию.

,

где - высота цилиндра, - радиус основания. Объем цилиндра . Отсюда . Исключая из выражения полной поверхности цилиндра, получим . Вычисляя производную по , получим . Приравнивая к нулю , находим, что минимум наименьшей полной поверхности будет при радиусе . Действительно, вторая производная при равна . То есть найденное значение радиуса определяет наименьшую полную поверхность.

1. Число 64 разложить на два таких множителя, чтобы сумма их квадратов была наименьшей. Ответ: 8;8.

2. Из углов квадратного листа железа со стороной нужно вырезать одинаковые квадраты так, чтобы, согнув лист, получить коробку наибольшей вместимости. Какова должна быть сторона квадрата?

Ответ: .

3. Среди всех равнобедренных треугольников, вписанных в данный круг, найти треугольник с наибольшим периметром.

Ответ: Равносторонний треугольник.

4. Определить размеры закрытой коробки объема с квадратным основанием, на изготовление которой расходуется наименьшее количество материала. Ответ: Высота коробки должна быть равна стороне основания, т.е. должна быть кубом с ребром .

5. Найти радиус основания цилиндра наибольшего объема, вписанного в шар радиуса . Ответ: .

Указания: Пусть - соответственно радиус основания и высота цилиндра, вписанного в шар радиуса , - объем цилиндра. Тогда .

6. Бак цилиндрической формы без крышки должен вмещать литров воды. Каковы должны быть его размеры, чтобы на его изготовление потребовалось наименьшее количество железа?

Ответ: .

7. Одна сторона прямоугольного участка земли площадью 800 примыкает к реке, остальные огораживаются забором. Каковы должны быть размеры участка, чтобы длина забора была наименьшей?

Ответ: 40 м, 20 м.

8. Какой из конусов, вписанных в шар радиуса , имеет наибольший объем? Ответ: .

9. Найти стороны прямоугольника наибольшей площади, вписанного в эллипс . Ответ: .