Примеры решения задач. Пример 1. Точечный заряд q находится на плоской границе двух диэлектрических полупространств - с проницаемостями e1 и e2

Пример 1. Точечный заряд q находится на плоской границе двух диэлектрических полупространств - с проницаемостями e₁ и e₂. Найти величину векторов и .

Пусть j₁ – потенциал электрического поля в первом диэлектрике, j₂ – во втором. Потенциалы j₁ и j₂ удовлетворяют уравнению Лапласа:

Dj₁ = 0 и Dj₂ = 0.

В силу сферической симметрии задачи потенциалы j₁ и j₂ являются функциями только расстояния r от заряда q. Тогда в сферической системе координат

и .

Решения этих уравнений имеют вид:

и .

Принимая потенциал бесконечно удаленной точки равным нулю, получаем и .

Эти результаты справедливы для любого направления вектора , в том числе и вдоль границы раздела диэлектриков. Следовательно, условие непрерывности потенциалов на границе приводит к равенству:

и .

Таким образом, . Соответственно, .

Для нахождения постоянной С воспользуемся теоремой Гаусса – рассмотрим поток вектора электрической индукции через поверхность сферы произвольного радиуса r с центром в точке расположения заряда (см. рис.1.13):

.

Подставляя , получаем

и .

Тогда

Пример 2.Бесконечное однородное полупространство с диэлектрической проницаемостью e граничит с вакуумом, как показано на рис 1.14. Диэлектрик заряжен с объемной плотностью заряда . Определить потенциал и напряженность электрического поля в вакууме и в диэлектрике.

Потенциал j₁ поля в диэлектрике подчиняется уравнению Пуассона , а потенциал j₂ – уравнению Лапласа .

Из геометрии задачи видно, что потенциалы обеих областей зависят только от координаты х и, следовательно, оператор Лапласа . Тогда и .

Выполняя интегрирование, получаем: и .

Примем . Тогда С₄ = 0, С₂ = и

, .

Т.к. , то и .

Из условия непрерывности нормальных составляющих вектора электрической индукции на границе х = 0 следует, что .

Дополнительным условием для нахождения постоянных С₁ и С₂ может служить физически обоснованное требование обращения в нуль напряженности электрического поля при х ® ¥. Тогда С₁ = 0 и . Окончательно получаем

.

Таким образом, напряженность электрического поля в диэлектрике экспоненциально убывает с увеличением х, а поле в вакууме однородно.

Пример 3. Проводящая заземленная сфера радиуса R помещена в однородное электрическое поле напряженностью Е₀. Определить распределение плотности заряда, индуцированного на поверхности сферы.

При помещении проводящей сферы в однородное электрическое поле на «полюсах« ее поверхности индуцируются заряды противоположного знака, приводящие к искажению силовых линий поля, как показано на рис.1.7 к примеру 1 п.1.3.1.

Введем систему координат так, чтобы ось Оz декартовой системы координат совпадала с направлением вектора (рис.1.15). В силу осевой симметрии распределения поверхностных зарядов потенциал электрического поля зависит только от расстояния от центра сферы r и от азимутального угла q, т.е. . При этом потенциал внутри и на поверхности сферы равен нулю, а вне сферы удовлетворяет уравнению Лапласа

.

Подстановка решения в форме позволяет разделить переменные и записать два уравнения для функций R(r), Q(q):

,

,

где l - положительная постоянная величина.

Решением второго из уравнений при и l = 0, 1, 2,… являются полиномы Лежандра :

- для четных l и

- для нечетных l.

Подставляя значения l в уравнение для функции R(r), получаем уравнение Эйлера

,

которое приводится к дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами заменой переменной :

.

Решения уравнения имеют вид: . Таким образом, общим решением уравнения Лапласа является функция

.

Постоянные интегрирования С₁ и С₂, а также степень полинома l найдем из граничных условий – равенства потенциала нулю на поверхности сферы r = R и отсутствию искажения внешнего поля на бесконечности. Радиальная составляющая напряженности электрического поля

.

При r ® ¥ с одной стороны , а с другой - . Следовательно, .

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях cosq в левой и правой частях этого равенства, приходим к выводу, что l = 1. Таким образом,

,

Теперь , т.е. . Из условия равенства нулю потенциала на поверхности сферы получаем: , т.е. .

Окончательно получаем . Тогда на поверхности сферы .

С другой стороны, вблизи поверхности сферы . Следовательно, .