Пример построения эпюр ВСФ
Раздел 7.
Сложное сопротивление бруса
До сих пор изучались простые виды деформации бруса: 1) центральное осевое растяжение (сжатие); 2) чистый сдвиг; 3) плоский изгиб, когда 
; 4) кручение. Каждый вид этих деформаций вызывается своей нагрузкой.
На практике часто на конструкцию действует достаточно произвольная нагрузка, которая может вызвать несколько простых деформаций одновременно. В этом случае стержень (брус) будет испытывать сложную деформацию.
Определение внутренних силовых факторов (ВСФ)
При сложной деформации в поперечном сечении бруса могут возникнуть шесть компонент внутренних сил и моментов (ось 
всегда вдоль оси бруса, оси 
и 
– в поперечном сечении бруса и составляют правую систему координат 
): 
продольная сила, 
поперечная (перезывающая) сила вдоль оси 
, 
поперечная сила вдоль оси 
, 
изгибающий момент относительно (вокруг) оси , 
изгибающий момент относительно оси , 
крутящий (относительно оси 
) момент. Для их определения в произвольном сечении бруса используют «метод сечений», который дает полученные ранее (1.5) шесть уравнений, рассматривая одну из отсеченных частей бруса (левую или правую):
(7.1)
На рис. 7.1 показаны положительные направления всех ВСФ в сечении левой части бруса.
 Рис.7.1 | Левой отсеченной частьюусловно будем считать ту часть бру-са, у которой нормаль  к сечению (внешняя) направлена вдоль оси (у правой части нормаль направлена против оси ). В сечении левой части:  направлены вдоль осей  соответственно;  , если с |
концов осей 
и эти моменты видны против хода часовой стрелки или от этих моментов правый винт (буравчик) перемещается вдоль направлений осей и соответственно.
В сечении правой части бруса, отброшенной на рис. 7.1, положительные направления ВСФ по III закону Ньютона (действия и противодействия) направлены противоположно показанным на рис. 7.1 направлениям. Составляющие (компоненты) по осям внешних сил 
для левой и правой частей в уравнениях (7.1) положительны, если они направлены вдоль осей; внешние моменты от них в сечении бруса относительно осей 
и положительны, если от них правый винт (буравчик) перемещается вдоль направлений осей и (совпадают с направлениями 
и 
на рис. 7.1).
С учетом этих правил по формулам (7.1) можно построить эпюры (графики) всех ВСФ по длине бруса, по которым определяется опасное сечение бруса.
При построении эпюр по формулам (7.1):
 |
Рис.7.2
строится в любой плоскости ( 
или 
), обязательно указать знак; Эп. в плоскости , положительные значения откладывать вдоль направления оси ; Эп. 
в плоскости , 
вдоль оси ; Эп. 
строится в плос-кости изгиба бруса , 
вдоль оси ;
Эп. в плоскости , 
вдоль направления оси ;
Эп. в любой плоскости ( или ), желательно указывать знак.
Часто ось бруса состоит из отрезков прямых, соединенных под углами 90°(ломанный брус) и загружена произвольной нагрузкой. В этом случае брус разбивается на участки, границами которых служат точки излома оси бруса, точки приложения сосредоточенных нагрузок, начало и конец распределенных нагрузок. На каждом участке вводим правую систему координат 
(т. 
центр тяжести поперечного сечения бруса, оси 
и 
главные центральные оси сечения; оси правые, если кратчайший поворот оси 
к оси 
с конца оси 
виден против хода часовой стрелки).
Пример построения эпюр ВСФ
Рассмотрим «ломанный брус», показанный на рис. 7.2.
Исходные данные:
кН, 
кН, 
кН, 
кН/м, 
, 
, 
, 
, 
м
Из рис. 7.2 видно, что брус имеет четыре участка. За первый участок примем тот, который имеет свободный конец ( 
или 
). Выберем участок длиной 
. Ось 
вдоль оси бруса от т. а. На этом участке возьмем произвольное сечение с ц.т. 
на расстоянии 
от т.а и проведем оси 
и 
так, чтобы с осью они составили правую систему координат 
. Для записи уравнений (7.1) выгоднее рассмотреть часть бруса 
с известными нагрузками 
. Внешняя нормаль 
к сечению этой части направлена вдоль оси , поэтому эта часть считается «левой» при использовании формул (7.1). Правую часть рассматривать невыгодно, т.к. она более сложная и содержит в заделке «k» шесть опорных реакций (которые предварительно придется найти). Далее оси поступательно, без вращения вокруг оси (поворачиваются вокруг оси х), перемещаются на второй участок 
и в сечении 
оси 
и ось 
. Проще рассмотреть участки 
и эта часть бруса считается тоже левой, т.к. нормаль 
в сечении направлена вдоль оси . Положение сечения определим расстоянием 
, причем 
. Далее оси перемещаем на III участок 
и в сечении 
проводим оси 
и 
. Положение сечения определим расстоянием 
( 
) и рассмотрим правую часть 
, т.к. нормаль 
в сечении направлена против оси 
. На IV участок оси переводим из положения 
поворачивая их в т. С вокруг оси , ось 
вдоль стержня 
. Проводим произвольно сечение в т. 
, в котором располагаем оси 
и 
. Рассмотрим всю переднюю часть, поэтому сечение определим расстоянием 
( 
), эта часть бруса будет «левой», т.к. 
направлена вдоль оси (для правой части надо определить 6 опорных реакций в заделке «k»).
Для каждого участка бруса запишем формулы (7.1), по которым построим все эпюры ВСФ:
I участок 
(левая часть)
кН 
кН
кН
– линейная зависимость:
Считаем : 
Считаем 
По этим данным строим эпюры (графики) всех ВСФ на I участке на рис.7.3 по вышеуказанным правилам.
II участок (левая часть)
кН
кН
– линейная зависимость
Считаем : 
квадратная парабола
Считаем 
Считаем
Строим эпюры на II участке
III участок (правая часть)
Считаем 
Считаем 
.
Строим эпюры на III участке.
IV участок (левая часть)
линейная зависимость
Считаем 
линейная зависимость
Считаем 
Эпюры всех внутренних силовых факторов приведены на рис. 7.3 (1÷6).
По эпюрам можно определить тип сложного сопротивления бруса, найти опасное (расчетное) сечение на каждом участке «ломанного» бруса и величины всех ВСФ в них.
Рис.7.3
Типы сложного сопротивления бруса:
Косой изгиб: обязательно 
.
Изгиб с кручением: обязательно 
или 
или оба 
.
Внецентренное растяжение (сжатие): обязательно 
, 
.
Другие комбинации ВСФ относятся к общему случаю сложного сопротивления бруса.
Определим тип сложного сопротивления, найдем опасное (расчетное) сечение на каждом участке бруса из анализа полученных эпюр рис. 7.3.
I участок: Здесь косой изгиб и сжатие. Опасное сечение при 
, где: 
, 
, 
, 
, 
, 
.
II участок: Здесь косой изгиб с кручением и растяжением. Опасное сечение при 
, где: 
, 
, 
, 
, 
, 
.
III участок: Здесь косой изгиб. Опасное сечение 
, где: 
, 
, 
, 
, 
.
IV участок: Здесь косой изгиб с кручением и растяжением. Опасное сечение при 
, где: 
, 
, 
, 
, 
, 
.
Т.к. в опасном сечении , то расчет этого сечения можно вести по формулам плоского изгиба.
Определение напряжений
Ранее получены формулы для определения 
от и : 
, 
. По аналогии можно записать формулу для 
от 
(а). В этих формулах х и у координаты точки сечения бруса, где определяется . Очевидно, что при 
(сжатие) получается. Поэтому в формуле (а) стоит знак минус. При одновременном действие в сечении бруса , и суммарные напряжения в любой точки сечения с координатами х и у можно определить так
(7.2)
Это одна из основных формул сопротивления материалов. В (7.2) , , и координаты точки сечения х и у надо подставлять со своими знаками. Если 
получится, значит в этой точке сечения – растяжение, если 
то сжатие. Это важно при оценке прочности хрупких материалов.
От 
в сечении бруса возникают 
, определяемые по известной формуле Журавского 
. Аналогично, от 
возникают 
, определяемые по формуле 
. От кручения круглых валов возникают 
, определяемые известной формулой 
. Направления касательных напряжений от , и были выяснены раньше. В каждой точки сечения эти напряжения надо суммировать геометрически (векторно), т.е. суммарные напряжения
 |
Рис.7.4
, и в т.В круглого сечения бруса. Определив в этой же точке «В» от 
по (7.2), можно оценить прочность в точке «В» сечения по одной из теорий прочности. Например, по III теории прочности получим 
Рассмотрим подробнее частные случаи сложного сопротивления бруса.
I. КОСОЙ ИЗГИБ
Здесь в поперечных сечениях бруса могут быть 
, , 
, а 
. Косой изгиб может быть чистым, когда вдоль бруса отсутствуют = 
и поперечным, когда 
и 
, а переменны по длине бруса. Косой изгиб может быть плоским, когда вся внешняя нагрузка лежит в одной плоскости и не плоским, когда нагрузки в плоскостях и изменяются произвольно по длине бруса.
Величины и знаки , , 
и в любом сечении бруса определяются из эпюр. Введем понятие полный изгибающий момент, определяемый так
(7.3)
Если и представить в виде векторов (длина векторов определяет величину и , а направления по правилу правого «буравчика»), то 
есть геометрическая сумма и , что показано на рис. 7.5. Положение удобно определять углом 
, который он составляет с осью ( 
отсчитывается от оси против хода часовой стрелки). Из рис. 7.5 видно:
 Рис.7.5 |  (1) Отсюда  (2) Нормальное напряжение в любой точки сечения с координатами и определяется по формуле (7.2), полагая в ней   (7.4) |
С учетом (1) 
(7.5)
 Рис.7.6 | В формулы (7.4) и (7.5) все надо подставить со своими знаками: знаки  и берутся из эпюр,  всегда. Величина и знак определяется из формулы (2). Во многих случаях известны величина и направле-ние поперечной нагрузки (  или  ), направлениях их будем определять углом  , отсчи-тываемый от оси (рис. 7.6), |
против хода часовой стрелки. В произвольном сечении балки на расстоянии 
от торца от возникнет 
, который с направлением составляет угол 90°, а с осью угол , т.е. 
. Зная и , можно вычислять по (7.5). Но проще силу разложить по осям и , т.е. 
, 
(видно из рис. 7.6). От 
строят эпюру , а от 
эпюру и далее определяют по формуле (7.4). Аналогично и от погонной нагрузки 
: 
, от 
эпюру , от 
эпюру .
Нейтральная ось (Н.О)
Нейтральная ось – линия в сечении балки, относительно которой сечение поворачивается, оставаясь плоским (гипотеза Бернулли). Обозначим координаты точек на нейтральной оси через 
. Согласно определения Н.О в этих точках 
. Подставляя , 
в (7.5), сокращая на получим
(3)
Это уравнение Н.О. Видно, что это уравнение прямой линии проходящей через начало координат, т.к. при 
должно быть 
. Положение Н.О удобно определять через угол ее наклона к одной из осей координат. Обозначим 
угол наклона Н.О к оси (рис. 7.7), 
против хода часовой стрелки.
 Рис.7.7 | Из рис. 7.7 видно  (4) Из (3) следует  (5) С учетом (4) получим  (7.6) Плоскость изгибающей нагрузки перпендику-лярна  , а плоскость изгиба (прогибов) пер- |
пендикулярна Н.О. При 
эти плоскости не совпадают 
, поэтому эту деформацию и назвали «косой изгиб». При 
(сечение квадратное, круглое и т.д.) 
и косого изгиба не будет.
Определение напряжений. Расчеты на прочность.
 |
Рис.7.8
в аксонометрии (Эп. 
) или в плоскости сечения (Эп. 
), используя формулы (7.4) или (7.5), эпюры показаны на рис. 7.8. Для построения эпюр вычисляют 
в угловых точках сечения ( 
) и откладывают их в масштабе с учетом знаков ( 
– растяжение, наружу от сечения, (–) – сжатие - противоположно). 
Далее точки соединяют прямыми линиями, т.к. из (7.4) и (7.5) видно, что линейны по координатам и . Итак, Н.О делит сечение на две зоны, растянутую и сжатую (–) (рис. 7.8).
Для построение эпюры перпендикулярно Н.О проводят линию 
. В т. « 
» в масштабе откладывают 
, а в т. «а» 
и далее соединяют их прямой линией.
Из эпюр видно, что экстремальные напряжения возникают в точках сечения, наиболее удаленных от Н.О. Это будут т.1 и т.3. В них 
и по (7.4)
где 
Итак, в т.1 и т.3 сечения равны по величине и противоположны по знаку
(7.7)
Здесь знак выбирают по физическому смыслу, в растянутой зоне, (–) в сжатой. Аналогично определяются 
в других сечения с выступающими углами.
Для балок из пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие, условие прочности в опасном сечении бруса можно записать так с учетом (7.7)
(7.8)
При подборе размеров сечения балки используем вторую формулу (7.8), при этом надо задать отношение 
с учетом рационального расположения сечения: для прямоугольника при 
(размер 
вдоль оси ) если 
то 
; если 
, то размер вдоль оси (т.е. повернуть на 90°) и 
. Условие прочности одно, а неизвестных два и , поэтому сами задаем отношение 
. Зная по (7.8) вычисляем необходимый 
, а по нему размеры и с учетом отношения . При подборе стандартных двутавров и швеллеров аналогично: если сечение располагаем вертикально, как в таблицах ГОСТа и берем: для двутавров 
, для швеллеров 
; если сечение располагаем горизонтально и для двутавров 
, для швеллеров 
. Далее по (7.8) находимый необходимый и по нему стандартный номер профиля (в первом случае 
, во втором 
). Определив номер профиля, делаем его проверку по первой формуле (7.8), подставляя табличные значения 
и 
из ГОСТа с учетом вышеуказанного в скобках. Можно учесть 
, добавив 
.
Для произвольного сечения условия прочности имеют вид 
: надо найти наиболее удаленные от Н.О точки сечения, найти в них 
и сравнить их с допускаемыми.
Для балок из хрупких материалов отдельно делается проверка прочности в растянутой (р) и сжатой (сж) зонах, т.к. для них 
. Размеры произвольного сечения определяются методом попыток (подбором). При каждой попытке необходимо уточнить положение Н.О и координаты точек сечения с .
Определение прогибов
Определяют закон изменения прогибов 
в плоскости как указано в разделе 5, используя известное уравнение 
и метод Клебша. Далее определяют прогибы 
в горизонтальной плоскости 
используя метод Клебша и аналогичное уравнение 
. Полный прогиб « 
» в любом сечении балки найдем геометрическим сложеним прогибов 
и 
в каждом сечении: 
. Вычислив « » в нескольких сечениях по длине балки, строят изогнутую ось балки и проверяют ее жесткость.
II. Внецентренное сжатие (растяжение)
 Рис.7.9 | Эта деформация возникает обычно в вертикальных брусьях и колоннах при действии на них продольных сил , приложенных в т. «Р» (полюс) не совпадающей с т. О – центром тяжести сечении (рис. 7.9). При переносе силы в т. О брус нагрузится продольной силой  и изгибающим моментом , причем все сечения бруса по его длине будут загружены одинаково. |
Определение напряжений
Пусть на брус в т. «Р» с координатами 
и 
действует растягивающая сила 
(рис. 7.9). Перенесем силу сначала на ось (плечо 
), а затем в т. О (плечо 
). В итоге в поперечном сечении бруса возникнут:
(6)
В произвольной точке «В» сечения с координатами 
и 
найдем по (7.2)
(7)
Подставляя (6) в (7) получим
(7.9)
Учитывая, что 
и подставляя в (7.9)
(7.10)
В произвольных случаях нагружения в формулы (7.9) и (7.10) 
и надо подставлять со своими знаками в заданных главных центральных осях и . 
при растяжении бруса, 
при сжатии.
Эпюры в сечении строятся аналогично как при косом изгибе.
Нейтральная ось (Н.О)
Обозначим координаты точек на Н.О через 
. В этих точках 
. Подставляя 
и в (7.10) и сокращая на 
получим
(7.11)
Это уравнение Н.О. Видно, что это уравнение прямой ( 
и 
в первой степени), не проходящей через начало координат (т.к. при 
). Положение Н.О удобно определять отрезками 
и 
, которые Н.О отсекает на осях координат (рис. 7.9) и проходит через т. « 
» и т. « 
». Допустим пока, что 
и 
. Точка « » в этом случае имеет координаты 
. Подставляем это в (7.11) получим
Отсюда
(7.12а)
Аналогично т. « ». Подставляя 
найдем
Отсюда
(7.12в)
Из (7.12) видно, что при и получим 
и 
, т.е. наше допущение неверно и правильно Н.О показана на рис. 7.9.
Свойства нейтральной оси
Из формул (7.12) следует:
1. Положение Н.О не зависит от величины и знака .
2. Н.О и полюс т. «Р» лежат по разные стороны от центра тяжести сечения т. О.
3. При удалении полюса от т. О, Н.О приближается к нему и наоборот.
4. Если полюс расположен на одной из осей координат, то Н.О перпендикулярна к этой оси (при 
полюс на оси , 
, т.е. Н.О параллельна оси или перпендикулярна оси ).
5. При вращении Н.О вокруг произвольной точки « 
» на ней (рис. 7.9), полюс перемещается по прямой линии, не проходящей через т. О. Подставим в (7.11) 
. Получим уравнение, которое относительно координат 
и есть уравнение прямой не проходящей через т. О.
6. Н.О делит сечение на две зоны: растянутую и сжатую, заштрихованную на рис. 7.9 при .
Из соотношений (7.12) можно решить обратную задачу: зная положение Н.О (т.е. и ) найти положение полюса, т.е. и
(7.13)
Расчеты на прочность
Определив положение Н.О, проведем к контуру сечения касательные, параллельные Н.О. Получим т.1 с координатами 
и 
и т.2 с координатами 
и 
. Если в т. «Р» действует , то в т. 1 будут 
растягивающие (р), а в т. 2 
сжимающие (сж). Обычно колонны изготавливают из хрупких материалов, поэтому прочность проверяется отдельно в растянутой и сжатой зонах по формулам (7.9) или (7.10):
(8)
При действии на колонну сжимающей силы в т. 1 будут 
, в т. 2 
растягивающие.
Размеры сечения обычно определяются методом подбора: задают размеры, определяют положение Н.О, т.1 и т.2 и проверяют в них прочность по (8). Если эти условия не выполняются, меняют размеры сечения и снова проверяют.
Для брусьев с сечениями типа прямоугольника, двутавра или швеллера из пластичных материалов, у которых 
, первую попытку можно провести как при косом изгибе по второй формуле (7.8), определив 
и по (6), а пока не учитывать. Здесь подбор размеров сечения проводить так, как указано ниже формулы (7.8). Определив размеры сечения, делать проверку по (8) с учетом .
Ядро сечения
Для колонн из хрупких материалов (чугун, бетон, камень и т.д.), плохо работающих на растяжение желательно, чтобы от сжимающей силы во всех точках сечения были только сжимающие напряжения. Этого можно добиться, если Н.О не пересекает сечение колонны, а согласно свойства 3 Н.О. это получим, ограничивая удаление полюса «Р» от т. О.
 Рис.7.10 Наши рекомендации |
