Равнобокая (равнобедренная) трапеция

Углы равнобокой (равнобедренной) трапеции

Задача.
Найдите углы равнобокой трапеции, если один угол на 30 градусов больше второго.

Решение.
Для решения задачи воспользуемся следующей теоремой:
Для выпуклого n-угольника сумма углов равна 180°(n-2).

Таким образом, сумма углов равнобокой (равнобедренной) трапеции равна:
180 ( 4 - 2) = 360 градусов.

Исходя из свойств равнобокой трапеции о том, что ее углы попарно равны, обозначим одну пару углов как х. Поскольку один угол на 30 градусов больше второго, то сумма углов равнобокой трапеции равна:
х + (х + 30) + х + ( х + 30 ) = 360
4х + 60 = 360
х = 75

Ответ: углы равнобокой (равнобедренной) трапеции равны 75 и 105 градусов попарно.

Задача.
Найдите углы равнобокой трапеции, если один угол на 30 градусов больше второго.

Решение.
Для решения задачи воспользуемся следующей теоремой:

Равнобокая трапеция

Примечание. Это часть курса обучения с задачами по геометрии (раздел равнобокая трапеция). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ или sqrt(), при чем в скобках указано подкоренное выражение.

Задача

Основания равнобедренной (равнобокой) трапеции равны 8 и 20 сантиметров. Боковая сторона равна 10 см. Найдите площадь трапеции, подобной данной, которая имеет высоту 12 см.

Решение.
Из вершины B трапеции ABCD опустим высоту BM на основание AD. Из вершины C на основание AD опустим высоту CN. Поскольку MBCN является прямоугольником, то

AD = BC + AM + ND

Треугольники, получившиеся в результате того, что мы опустили из меньшего основания равнобокой трапеции на большее две высоты - равны. Таким образом,

AD = BC + AM * 2
AM = (AD - BC) / 2
AM = ( 20 - 8 ) / 2 = 6 см

Таким образом, в треугольнике ABM, образованном высотой, опущенной из меньшего основания трапеции на большее нам известны катет и гипотенуза. Оставшийся катет, который одновременно является высотой трапеции, найдем по теореме Пифагора:

BM² = AB² - AM²
BM² = 102 - 62
BM = 8 см

Поскольку высота трапеции ABCD равна 8 см, а высота подобной трапеции - 12 см, то коэффициент подобия будет равен

k = 12 / 8 = 1,5

Поскольку в подобных фигурах все геометрические размеры пропорциональны друг другу с коэффициентом подобия, найдем площадь подобной трапеции. Произведение полусуммы оснований подобной трапеции на высоту выразим через известные геометрические размеры исходной трапеции и коэффициент подобия:

Sпод = (AD * k + BC * k ) / 2 * ( BM * k )
Sпод = ( 20 * 1,5 + 8 * 1,5 ) / 2 * (8 * 1,5) = ( 30 + 12 ) / 2 * 12 = 252 см²

Ответ: 252 см²

Задача

В равнобокой трапеции большее основание 36см,боковая сторона 25см, диагональ 29см.найти площадь трапеции.

Решение.

Из вершины B трапеции ABCD опустим высоту BM на основание AD. Для получившихся прямоугольных треугольников ABM и BMD справедливо следующее:
AB² = BM² + AM²
AD² = BM² + MD²

Поскольку высота равнобокой трапеции одновременно равна
BM² = AB² - AM²
BM² = AD² - MD²

Таким образом,
AB² - AM² = AD² - MD²
25² - AM² = 29² - MD²

Так как AD = AM + MD, то
AM + MD = 36
MD = 36 - AM

Откуда
25² - AM² = 29² - (36 -AM)²
625 - AM² = 841 - (36 -AM)²
625 - AM² = 841 - (1296 - 72AM + AM² )
625 - AM² = 72AM - 455 - AM²
625 = 72AM - 455
AM = 15

Откуда MD = 36 - 15 = 21

Поскольку AM = 15, то величина меньшего основания равнобокой трапеции будет равна 36 - 15 *2 = 6 см

Высоту равнобокой трапеции найдем по теореме Пифагора:
BM² = AB² - AM²
BM² = 625 - 225
BM = 20

Площадь равнобокой трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту трапеции.
S = 1/2 (36 + 6 ) * 20 = 420 см² .

Ответ: 420 см² .

Равнобокая трапеция (часть 2)

Примечание. Это часть курса обучения с задачами по геометрии (раздел равнобокая трапеция). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ или sqrt(), при чем в скобках указано подкоренное выражение.

Задача.

В равнобедренной трапеции ABCD меньшее основание BC = 5 см, угол ABC = 135 градусов, высота трапеции равна 3 см. Найдите большее основание.

Решение.
Опустим из вершины B на основание AD высоту BE.

В результате угол ABC равен сумме градусных мер углов ABE и EBC. Поскольку основания трапеции параллельны, то угол EBC равен 90 градусов. Откуда угол ABE = 135 - 90 = 45 градусов.

Поскольку BE - высота, то треугольник ABE - прямоугольный. Зная угол ABE, определим, что угол EAB равен 180º - 90º - 45º = 45º . Откуда следует, что треугольник ABE - равнобедренный, то есть AE = BE = 3 см.

Поскольку трапеция ABCD - равнобокая, то большее основание равно 5 + 3 + 3 = 11 см.

Ответ: большее основание равнобокой трапеции равно 11 см.

Задача

Найти среднюю линию равнобокой трапеции, диагональ которой является биссектрисой острого угла, боковая сторона 5, а одно из оснований в 2 раза больше другого.

Решение.
Поскольку основания трапеции параллельны, то угол ADB равен углу DBC, как внутренние накрест лежащие углы. Так как по условию диагональ является биссектрисой, то углы ADB и BDC равны. Откуда следует, что углы CBD и CDB равны.

Из сказанного выше следует, что треугольник BCD - равнобедренный. Таким образом, поскольку боковая сторона равна 5 см, то основание BC также равно 5 см.

Согласно условию, второе основание больше в два раза, то есть равно 10 см.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Откуда средняя линия трапеции равна ( 5 + 10 ) / 2 = 7,5 см

Ответ: Средняя линия трапеции равна 7,5 см.

Задача

Две окружности с радиусами a и b касаются внешним образом. К ним проведены общие внешние касательные. Найти площадь четырехугольника, вершинами которого служат точки касания.

Решение.
Как видно из рисунка, четырехугольник, образованный касательными, является равнобокой (равнобедренной) трапецией.
Площадь трапеции найдем по формуле (1):

Длины верхнего и нижнего оснований равны двойным радиусам соответствующих окружностей, а высота - сумме радиусов.
Откуда:

S = ( 2a + 2b ) ( a + b ) / 2
S = ( a + b )²

Ответ: S = (a + b)² .