Шаг 4. Интегрирование простейших рациональных дробей

Простейшие дроби, полученные при разложении произвольной правильной рациональной дроби, интегрируются с помощью следующих шести формул:

1.

2.

У дробей с квадратичным знаменателем сначала необходимо выделить полный квадрат:

где Затем применяются следующие формулы:

3.

4.

5.

Интеграл может быть вычислен за k шагов с помощью формулы редукции

6.

4. Интегрирование иррациональных функций.

5. Интегрирование тригонометрических функций.

В данном разделе мы рассмотрим 8 специальных классов интегралов от тригонометрических функций. Для каждого класса применяются определенные преобразования и подстановки, позволяющие получить аналитическое решение.

1. Интегралы вида

Для решения данных интегралов применяются формулы преобразования произведения тригонометрические функций в сумму или разность:

·

·

·

2. Интегралы вида

Здесь и везде ниже предполагается, что m и n - натуральные числа. Для вычисления таких интегралов используются следующие подстановки и преобразования:

1. Если степень косинуса n - нечетная (при этом степень синуса m может быть любой), то используется подстановка .

1. Если степень синуса m - нечетная, то используется подстановка .

1. Если степени m и n - четные, то сначала применяются формулы двойного угла

чтобы понизить синуса или косинуса в подынтегральном выражении. Затем, если необходимо, применяются правила a) или b).

3. Интегралы вида

Степень подынтегрального выражения в данном интеграле можно понизить с помошью тригонометрического соотношения и формулы редукции

4. Интегралы вида

Здесь степень подынтегрального выражения понижается с помошью соотношения и формулы редукции

5. Интегралы вида

Данный тип интеграла упрощается с помощью следующей формулы редукции:

6. Интегралы вида

Аналогично предыдущим пунктам, интеграл упрощается с помощью формулы

7. Интегралы вида

1. Если степень секанса n - четная, то c помошью соотношения секанс выражается через тангенс. При этом множитель отделяется и используется для преобразования дифференциала. В результате весь интеграл (включая дифференциал) выражается через функцию tg x.

1. Если обе степени n и m - нечетные, то отделяется множитель sec x tg x, необходимый для преобразования дифференциала. Далее весь интеграл выражается через sec x.

1. Если степень секанса n - нечетная, а степень тангенса m - четная, то тангенс выражается через секанс с помощью формулы . Затем вычисляются интегралы от секанса.

8. Интегралы вида

1. Если степень косеканса n - четная, то c помошью соотношения косеканс выражается через котангенс. При этом множитель отделяется и используется для преобразования дифференциала. В результате подынтегральная функция и дифференциал выражаются через ctg x.

1. Если обе степени n и m - нечетные, то отделяется множитель ctg x cosec x, необходимый для преобразования дифференциала. Далее интеграл выражается через cosec x.

1. Если степень косеканса n - нечетная, а степень котангенса m - четная, то котангенс выражается через косеканс с помощью формулы . Далее вычисляются интегралы от косеканса.

6. Определенный интеграл и его свойства. Теорема Ньютона-Лейбница

1. .Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Теорема о независимости интеграла от выбора первообразной (док-во). Следствие. Теорема существования.

Пусть функция f(х) определена на отрезке и a=x₀<x₁<…<x_n=b — произвольное разбиение этого отрезка на n частей. Сумма вида

где

называется интегральной суммой функции f(x) на отрезке [а, b].

Предел интегральной суммы S_n при условии, что число разбиений отрезка [а, b] неограниченно увеличивается, , а наибольшая из разностей (длин частичных отрезков разбиения) стремится к нулю, называется определенным интеграломот функции f(х) на отрезке [а, b] и обозначается символом

т.е.

где f(x) — подынтегральная функция;

а — нижний предел интегрирования;

b - верхний предел интегрирования.

Формулой Ньютона - Лейбница называется равенство вида:

При этом предполагается, что подынтегральная функция f(x) непрерывна при всех значениях x, удовлетворяющих условиям

a £ x £ b.