Основные теоретические положения

Прямая линия вполне определена двумя своими точками (не совпадающими). Проекциями прямой линии в общем случае являются также прямые линии (рис.10).

Рис.10.

Виды прямых. Прямая, произвольно расположенная в пространстве, носит название прямой общего положения. Прямые, определенным образом расположенные по отношению к плоскостям проекций носят название прямых частного положения, среди которых следует выделить (рис.11):

- прямая, параллельная плоскости p₁ – горизонтальная прямая (горизонаталь);

- прямая, параллельная плоскости p₂ – фронтальная прямая (фронталь);

- прямая, параллельная плоскости p₃ – профильная;

- проецирующие прямые – прямые, перпендикулярные плоскостям проекций.

Рис.11.

Принадлежность точки прямой линии. Если точка принадлежит прямой в пространстве, то проекции этой точки на эпюре будут принадлежать одноименным проекциям прямой (точка С на рис.11). При ортогональном проецировании сохраняется свойство пропорциональности длин: в каком отношении точка делит отрезок прямой в пространстве, в таком же отношении ее проекции делят одноименные проекции отрезка.

Только для горизонтальных, фронтальных, а также проецирующих прямых длину отрезка и углы его наклона к плоскостям проекций можно определить по эпюру. Прямая, параллельная плоскости проекций, проецируется на эту плоскость без искажения.

Для определения длины отрезка прямой общего положения, а также профильной прямой используют метод прямоугольного треугольника, согласно которому величина отрезка прямой определяется гипотенузой прямоугольного треугольника, одним из катетов которого является одна из проекций отрезка, а вторым – разность удаления концов отрезка от той плоскости на которой взята проекция.

Взаимное положение прямых. Прямые в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися. если прямые в пространстветпараллельны, то на эпюре одноименные проекции этих прямых параллельны. Если прямые пересекаются, то на эпюре одноименные проекции прямых пересекаются и проекции точки пересечения лежат на одной линии связи. Если две прямые в пространстве скрещиваются, то их одноименные проекции могут пересекаться в точках, не лежащих на одной линии связи.

Прямой угол проецируется без искажения, если хотя бы одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекций (теорема о проецировании прямого угла).

Примеры решения задач.

1. Определить натуральную величину отрезка прямой и углы его наклона к плоскостям проекций (метод прямоугольного треугольника).

Дано: Решение:

Рис.12.

Строим прямоугольный треугольник, взяв за один катет горизонтальную (или фронтальную) проекцию отрезка - проекцию А₁В₁ (рис.12), а за другой –разность удалений концов отрезка от горизонтальной плоскости проекций Dz=z_В-z_А (или соответственно от фронтальной плоскости проекций - Dy=y_В-y_А). Величину Dz можно определить, проведя вспомогательную линию через один из концов отрезка перпендикулярно линии связи. Гипотенуза прямоугольного треугольного треугольника А₁В₁В_о и будет равна истинной величине отрезка АВ. Угол между гипотенузой и катетом, равным горизонтальной проекции отрезка, определяет величину угла наклона j заданного отрезка к горизонтальной плоскости проекций. Для определения угла наклона y к фронтальной плоскости проекций необходимо еще раз построить истинную величину отрезка с помощью прямоугольного треугольника А₂А₀В₂. При этом |А₀А₂|=|А₁В₀|. Если по условию задачи требуется определить только истинную величину отрезка прямой, достаточно построить прямоугольник на одной из проекций.

2. Разделить отрезок АВ точкой С в отношении 2:3 (рис.13).

Дано: Решение:

Рис.13.

Для того, чтобы построить точку С, делящую отрезок в заданном отношении, достаточно одну из проекций отрезка (на рис. 13 горизонтальная проекция) разделить в этом отношении, а затем построить вторую проекцию искомой точки, используя линию связи. Деление проекции А₁В₁ произведено с помощью теоремы Фалеса. Для этого из любого конца проекции А₁В₁, например из точки А₁ проводим луч под произвольным углом, на котором откладываем 2+3=5 равных отрезков произвольной длины. Соединяем точки В₀В₁, затем проводим через С₀ прямую С₀С₁||B₀B₁.

Пример 4. Достроить отрезок АВ, если длина его равна 50 мм (рис.14).

Задача является обратной к определению истинной величины отрезка прямой.

Дано: Решение:

Рис.14.

Для того, чтобы достроить фронтальную проекцию точки A(A₂) необходимо знать разность удалений концов отрезка АВ от плоскости p₁: Dz=z_В-z_А, значение которой можно узнать, построив прямоугольной треугольник, взяв за один из катетов известную горизонтальную проекцию отрезка АВ. Треугольник построен по известному катету и гипотенузе (известной истинной величине отрезка АВ). Из прямоугольного треугольника А₁В₁В₀ находим, что Dz=|В₁В₀|. Задача имеет два решения (две точки A₂ и A'₂).

Пример 5. На прямой a (a₁,a₂) от точки А отложить отрезок АС, длиной 30 мм (рис.15).

Дано: Решение:

Рис.15.

На прямой а зададимся произвольным отрезком АВ. С помощью прямоугольного треугольника А₁В₁В₀ определим истинную величину отрезка АВ. Далее от точки А₁ откладываем вдоль гипотенузы заданный отрезок 30 мм. Определяем искомую точку С(С₁,С₂), используя положение о пропорциональности деления отрезка, при этом С₀С₁||В₀В₁.

Пример 6. (Задача на профильные прямые). Достроить прямую NM, параллельную прямой КL (рис.16).

Замечание. Задачи на профильные прямые могут быть решены различными методами, в частности, с помощью построения третьей проекции этих прямых, либо с помощью методов косоугольного параллельного проецирования путем построения, так называемых, вспомогательных прямых. К этому типу задач следует отнести задача по определению взаимного положения профильных прямых, построения точки пересечения профильных прямых, а также ряд позиционных задач, связанных с построением точек пересечения профильной прямой и плоскости. Приведем решение задачи на профильные прямые методом построения вспомогательных прямых.

Дано: Решение:

Рис.16.

Для того, чтобы построить недостающую фронтальную проекцию N₂ точки N, воспользуемся методом вспомогательных прямых. Суть его заключается в следующем. Для исходных профильных прямых методом косоугольного проектирования строятся вспомогательные прямые. По взаимному положению вспомогательных прямых судят о взаимном положении соответствующих им профильных прямых: если вспомогательные прямые параллельны, то параллельны соответствующие профильные прямые, если вспомогательные пересекаются, то исходные прямые или пересекаются или скрещиваются. Построим вспомогательную прямую для прямой KL. Для этого из точек K₁ и K₂ проведем лучи произвольного направления до пересечения в точке K₀. Точка К₀ – является вспомогательной для точки К. Аналогично строим точку L₀ – вспомогательную для точки L. При этом [L₁L₀)|| [K₁K₀), [L₂L₀)|| [K₂K₀). Прямая К₀L₀ является вспомогательной для прямой KL. Так как точка M, принадлежащая второй профильной прямой определена однозначно (известны обе ее проекции), построим вспомогательную ей точку М₀, при построении которой должна быть соблюдена параллельность проецирующих лучей на соответствующих проекциях: [М₁М₀)|| [K₁K₀)|| [L₁L₀) и [М₂М₀)|| [K₂K₀)|| [L₂L₀). Так как исходные прямые должны быть параллельны, поэтому через построенную точку М₀ зададим направление вспомогательной прямой М₀N₀, параллельно прямой K₀L₀. Для нахождения точки L₀ проведем проецирующий луч из точки L₁, параллельно лучам на горизонтальной проекции до пересечения с прямой, проведенной из точки M₀. Точка пересечения L₀будет являться вспомогательной для точки L, с помощью которой отыскивается неизвестная фронтальная проекция L₂ точки L.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1. Достроить недостающую проекцию точки С, принадлежащей отрезку АВ, а также определить истинную величину отрезка АВ и углы его на клона к плоскостям проекций (рис.17 а, б).

а) б)

Рис. 17.

Задача 2. Построить на эпюре и в аксонометрии изображение прямой, проходящей через точки А(50,40,10) и В(25,10,30). Определить истинную величину отрезка АВ.

Задача 3. Определить относительное положение прямой а и точек А, В, С и D (рис.18).

Рис.18

Задача 4. Построить проекции точек А, В и С, принадлежащих прямой а, если z_A=15, z_B=y_A, z_C=y_C.(рис.19).

Рис.19.

Задача 5. Определить взаимное положение прямых а и b (рис.20).

Рис.20.

Задача 6. Задана прямая m||p₂. На расстоянии 30 мм от m построить прямую n||m. (При решении использовать теорему о проецировании прямого угла)(рис.21).

Рис.21.

Задача 7. Пересечь прямые a и b прямой, параллельной p₂ и отстоящей от фронтальной плоскости проекций на 20 мм (рис.22).

Рис.22.

Задача 8. Построить проекции прямой, проходящей через точку С и пересекающей прямые а и b. Определить положение прямой b относительно плоскостей проекций (рис.23). Для прямой b определить видимость точек, ограничивающих отрезок этой прямой.

Рис.23.

Задача 9. Через точку С провести прямую DE, пересекающую прямую а и перпендикулярную ей (а||p₂) (рис.24).

Рис.24.

b1

Задача 10. Через точку С провести прямую, параллельную отрезку АВ (рис.25).

а) б)

Рис.25

Задача 11.Построить прямую, отсекающую на отрезках CD и EF участки CK и EF участки СK и EN, длиной 35 мм каждый (рис.26).

Рис.26.

Задача 12. Достроить проекции треугольника АВС, если истинная величина сторон АВ=60 мм, ВС=50 мм. Определить угол наклона стороны АС к плоскости p₁ (рис.27).

Рис.27.

D2

D2

Задача 13. Определить расстояние от точки С до прямой m (m₁, m₂)(рис.28).

Рис.28.

Задача 14. Достроить равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС (рис.29).

Рис.29.

Пример 15. Через точку К, принадлежащую отрезку АВ, провести прямую КL, пересекающую отрезок АВ, параллельную плоскости p₁ и наклоненную к p₂ под углом 45⁰ (рис.30).

Рис.30.

3. ПЛОСКОСТЬ. ПРЯМАЯ И ТОЧКА В ПЛОСКОСТИ.

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ.

3.1.Основные теоретические положения.

Плоскость в пространстве однозначно определена тремя точками, не лежащими на одной прямой. В связи с этим существует несколько способов задания плоскости на эпюре, среди которых отметим следующие (рис.31):

1) тремя точками, не принадлежащими одной прямой (рис.31,а);

2) любой плоской фигурой, например, треугольником (рис.31,б);

3) прямой, и не принадлежащей ей точкой (рис.31,в);

4)

двумя пересекающимися прямыми (рис.31,г);

5) двумя параллельными прямыми (рис.31,д).

Рис.31

Виды плоскостей. Плоскость, произвольно расположенная в пространстве (по отношению к плоскостям проекций), называется плоскостью общего положения. Все плоскости, изображенные на рис.31 являются плоскостями общего положения.

Плоскость, перпендикулярная одной или двум плоскостям проекций, называется плоскостью частного положения, причем плоскость перпендикулярная одной из плоскостей проекций носит название проецирующей плоскости: горизонтально проецирующей если a^p₁ или фронтально-проецирующей a^p₂ (рис.32). На эпюрах проецирующие плоскости задаются своим следом на соответствующей плоскости проекций.

Рис.32.

Прямая принадлежит плоскости, если:

а) имеет, по крайней мере, две общие с плоскостью точки (прямая b, рис.33) ;

б) когда она имеет одну общую точку и параллельна какой-либо прямой в этой плоскости (прямая aêê(BC), рис.33).

Рис.33.

Через любую точку плоскости можно провести главные линии плоскости – фронталь и горизонталь, прямые, лежащие в плоскости и параллельные либо p₁ либо p₂ соответственно. Таких линий в плоскости можно провести сколько угодно.

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости.

Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой. Если параллельны две проецирующие плоскости, то на эпюре параллельны из одноименные следы.

Две плоскости пересекаются по прямой линии. Для построения линии пересечения двух плоскостей достаточно построить две точки, принадлежащей одновременно двум заданным плоскостям. Для построения линии пересечения двух плоскостей общего положения обычно используют метод вспомогательных секущих плоскостей.

Пример1. Достроить плоский четырехугольник (рис.34).

Дано: Решение:

Рис.34.

Решение задачи сводится к построению недостающей проекции точки D, принадлежащей плоскости, заданной точками А,В,C. Зададим эту плоскость треугольником АВC, для чего соединим точки В и C прямой линией на обеих проекциях. Проведем фронтальную проекцию диагонали четырехугольника А₂D₂. Затем достроим вторую ее проекцию, для чего из точки пересечения фронтальных проекций диагоналей (точка О₂) опустим линию проекционной связи на прямую D₁C₁. Прямая А₁О₁ задаст направление диагонали четырехугольника на горизонтальной проекции. Пересекаем Прямую А₁О₁ с соответствующей линией связи (из D₂), получаем искомую проекцию точки С. Точка С принадлежит плоскости треугольника АВС, т.к. принадлежит прямой АО, лежащей в этой плоскости. Прямая принадлежит плоскости треугольника АВС, т.к. имеет с ней две общие точки (А и О). Следовательно, достроенный четырехугольник – плоский.

Пример 2. Достроить точку А, если она принадлежит плоскости D ВСD (рис.35).

Дано: Решение:

Рис.35.

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости. Через известную проекцию точки А - точку А₁- проводим произвольную прямую. Строим вторую проекцию введенной прямой, которая должна лежать в заданной плоскости. Для этого фиксируем точки пересечения 1₂ и 2₂ со сторонами треугольника В₂D₂ и C₂D₂. Отыскиваем горизонтальные проекции точек 1 и 2 на соответствующих сторонах горизонтальной проекции треугольника ВСD. Строим горизонтальную проекцию прямой 12 (1₁2₁), пересечение которой с линией связи из точки А₂, определит искомую проекцию точки А.

Пример 3. Через заданную точку Е с помощью главных линий построить плоскость b(hÇf) параллельно заданной плоскости a(a||b). Построенную плоскость задать параллельными прямыми (рис.36).

Дано:

Решение:

Рис.36.

Построим вначале главные линии плоскости a. Построение главных линий начинают с проведения тех проекции, направление которых всегда известно (у горизонтали - это ее фронтальная проекция h'₂||OX ; у фронтали - ее горизонтальная проекция f''₁||OX ). На рис. 36 главные линии плоскости проведены через точку А, произвольно выбранной в плоскости a. Проведя затем через точку E параллельные прямые (h'₂||h₂ и f''₁|| f'₁), най­дем искомую плоскость b(hÇf) || a(a||b). Для того, чтобы перезадать плоскость b(hÇf) параллельными прямыми, достаточно через любую точку плоскости, например, через выбранную произвольно точку К, провести прямую m, параллельно любой прямой, лежащей в этой плоскости (в данном примере m||f, при этом m₁||f₁ и m₂||f₂). Плоскость b теперь задана параллельными прямыми m||f.

Пример 4. Построить линию пересечения двух плоскостей: плоскости общего положения a(aÇb) и фронтально-проецирующей плоскости b(b₂)(рис.37).

Дано: Решение:

Рис.37.

Линия пересече­ния двух плоскостей в данном случае определяется двумя точками пересече­ния следа фронтально-проецирующей плоскости b₂ с двумя прямыми а и с в пло­скости a. При этом прямая с(с₁,с₂) - дополнительная, проведенная произ­вольно в плоскости, но так, чтобы точка К линии пересече­ния получилась в поле заданного чертежа. Точки К и L являются общими для двух заданный плоскостей, а , следовательно, и определяют искомую линию пересечения: (КL)= a(aÇb) Ç b(b₂).

Пример 5. Построить линию пересечения двух плоскостей общего положения: a(DАВС) и b(а||b)(рис.38).

Дано:

Решение:

Рис.38.

При решении этой задачи используется метод секущих плоскостей. Так как две плоскости пересекаются по прямой линии, определяемой двумя точками, для построения необходимо ввести две дополнительные секущие плоскости. Порядок решения задачи:

1. Вводим дополнительную секущую плоскость d( d₂). В качестве секущей плоскости выбрана фронтально-проецирующая плоскость, заданная своим следом на фронтальной плоскости проекций. (В качестве секущей плоскости может быть выбрана произвольная проецирующая плоскость).

2. Строим линию пересечения фронтально-проецирующей плоскости d(d₂) с плоскостью общего положения a(DАВС) (см.пример 4): 12(1₁2₁;1₂2₁)= d( d₂) Ça(DАВС).

3. Строим линию пересечения фронтально-проецирующей плоскости d(d₂) с плоскостью общего положения b(а||b): 34(3₁4₁;3₂4₂)= d( d₂) Çb(а||b).

4. Строим точку М как точку пересечения прямых 12 и 34: М₁=1₁2₁ Ç3₁4₁ Вторая проекция точки М точка М₂, отыскивается на следе вспомогательной секущей плоскости d( d₂) с помощью лини проекционной связи. Точка М является искомой точкой, поскольку принадлежит одновременно трем плоскостям: вспомогательной d( d₂) и заданных a(DАВС) и b(а||b), и , следовательно, является точкой, принадлежащей линии пересечения двух исходных плоскостей.

5. Аналогично строится вторая точка, принадлежащая линии пересечения N. Для этого вводится еще одна вспомогательная секущая плоскость g(g₂). Плоскость g(g₂) также является фронтально-проецирующей плоскостью, кроме того, параллельной плоскости d( d₂). Это является необязательным, поскольку вспомогательные плоскости могут быть выбраны совершенно произвольно.

6. После построения точки N проводим прямую MN, которая является искомой линией пересечения двух исходных плоскостей.

Пример 6. Построить линию пересечения двух плоскостей общего положения a(DАВС) и b(DDEF) (рис.39).

Дано:

Решение:

Рис.39

Задача решается аналогично предыдущей. Для уменьшения количества вспомогательных построений в качестве секущих введены плоскости d( d₂) и g(g₂) через прямые, принадлежащие одной из плоскостей (DE и DF), следы секущий плоскостей совпадают соответствующими проекциями этих прямых.