Определение дифференциала функции f(x ) в точке x0

Дифференциалом ф-ии наз-ют выражение .

21. Теорема о производной сложной функции.

Если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке и , то сложная функция также дифференцируема в и выполняется следующее равенство

22. Теорема о производной обратной функции.

Если функция имеет обратную функцию и в точке производная , то обратная функция дифференцируема в точке и

23. Геометрический смысл производной и дифференциала.

Геометрический смысл производной состоит в том, что – это тангенс угла наклона касательной к графику в точке

Дифференциал функции соответствующей данным значениям x и Δx, равен приращению ординаты касательной к функции в данной точке х.

24. Уравнение касательной.

25. Определение эластичности функции.

Если – дифференцируемая функция, то ее эластичностью в точке называется предел

26. Теорема Лопиталя. Правило Лопиталя.

Предположим, что функции и дифференцируемы в окрестностях точки и будем считать, что аргумент стремится к , где под понимается число или символ бесконечности. Тогда, если или , то

27. Производные и дифференциалы высших порядков.

Результат -кратного дифференцирования функции обозначают и называют производной порядка .

28. Формула Тейлора. Формула Маклорена.

Формула Тейлора

Формула Маклорена

29. Признак монотонности дифференцируемой функции.

Если , то функция убывает, если , то функция возрастает.

30. Определение локального экстремума функции одной переменной.

Точку называют точкой локального максимума (минимума) функции , если существует некоторая окрестность этой точки, в которой для всех выполняется неравенство . Точки локального максимума и минимума называют точками локального экстремума.

31. Необходимое условие локального экстремума функции одной

переменной.

Пусть – точка локального экстремума функции , дифференцируемой в некоторой окрестности точки . Тогда

32. Точка перегиба функции.

Точку называют точкой перегиба функции , если в этой точке выгнутость меняется на вогнутость или наоборот.

33. Необходимое условие точки перегиба.

Пусть – точка перегиба функции , дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки . Тогда

34. Определение асимптот графика функции.

Асимптотой функции называют прямую, к которой приближаются точки графика функции при бесконечном удалении их от начала координат.

35.Определение первообразной для функции f (x) на промежутке X .

Функция называется первообразной для функции на промежутке X, если для любого значения из этого промежутка выполняется равенство

36. Определение неопределенного интеграла.

Множество всех первообразных функции называют неопределенным интегралом от этой функции и обозначают

37. Свойства неопределенного интеграла.

1) Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

2) Неопределенный интеграл равна от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е.

3) Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла, т.е. для любого числа k

4) Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых, т.е.

38.Формула замены переменной в неопределенном интеграле.

где – обратимая дифференцируемая на рассматриваемом промежутке функция

39. Формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

40. Определение определенного интеграла Римана.

Пусть на отрезке определена вещественнозначная функция .

Рассмотрим разбиение отрезка - конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок на n отрезков , i=1…n. Длина наибольшего из отрезков , называется шагом разбиения, где — длина отрезка.

Отметим на каждом отрезке разбиения по точке . Интегральной суммой называется выражение .

Если при стремлении шага разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора , то это число называется интегралом функции на отрезке , т.е. .

В этом случае, сама функция называется интегрируемой (по Риману) на ; в противном случае является неинтегрируемой (по Риману) на отрезке .