Задача 2.7. Найти точку, равноудаленную от трех данных точек .

Прямая на плоскости

Основные теоретические сведения

1. Общее уравнение прямой на плоскости в декартовой системе координат

, (1.1)

А и В одновременно не равны нулю. Прямая перпендикулярна нормальному вектору (рис. 2.1).

2. Частные случаи для (1.1):

, (рис. 2.2).

Рис. 2.1

Рис. 2.2

, (рис. 2.3).

Рис. 2.3

Рис. 2.4

, (рис. 2.4).

– прямая совпадает с осью Ох (абсцисс).

– прямая совпадает с осью Оу (ординат).

3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

(1.2)

, – наименьший угол между положительным направлением оси Ох и прямой; b– отрезок, отсекаемый прямой от оси ординат (рис. 2.1).

Для прямой (1.1)

4. Уравнение прямой в отрезках

, (1.3)

а и b – абсцисса и ордината точек пересечения с осями Ох и Оу, т.е длины отрезков, отсекаемых прямой от координатных осей с учетом знаков (рис. 2.5)

Рис. 2.5

Рис. 2.6

5. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом

. (1.4)

Пучком прямых на плоскости называется вся совокупность прямых, проходящих через данную точку (центр пучка), все прямые отличаются значениями k (рис. 2.6).

6. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки с координатами и (рис. 2.7)

. (1.5)

Рис. 2.7

Если прямая параллельна оси Ох ( ) или оси Оу , то уравнение (1.5) примет вид или .

Если прямая проходит через точку или параллельно направляющему вектору , то уравнение примет вид

. (1.6)

Уравнение (1.6) называется каноническим уравнением прямой.

7. Нормальное уравнение прямой

, (1.7)

где p – расстояние от начала координат до прямой, – направляющие косинусы нормального вектора .

Уравнение (1.1) приводиться к виду (1.7) путем умножения на нормирующий множитель , знак выбирается обратным знаку свободного члена С в уравнении (1.1), т.е (sgn – сокращение от латинского signum – знак).

8. Расстояние от точки до прямой

. (1.8)

9. Угол между прямыми, заданными уравнениями вида (1.2):

, (1.9)

.

За принят угловой коэффициент той из прямых, которая, вращаясь вокруг точки пересечения прямых против часовой стрелки «заметает» угол (рис. 2.8).

Рис. 2.8

10. Взаимное расположение прямых на плоскости:

- прямые пересекаются или ;

- если пресекаются под прямым углом, то из формулы (1.9), следует

- прямые параллельны при ;

- прямые совпадают .

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 2.1. Какая из точек лежит на прямой 2x–y+4=0.

Решение: Подставим координаты точек в уравнение прямой:

т. , точка не принадлежит прямой;

т. т. принадлежит прямой;

т. , т. принадлежит прямой.

Задача 2.2. Вычислить угол между прямыми 6x–2y+5=0 и 4x+2y–7=0, и найти точку пересечения .

Решение: Запишем уравнения прямых с угловым коэффициентом: 2y=6x+5, , , 4x+2y–7=0, , ,

.

Найдем точку пресечения прямых:

Сложим уравнения системы: , 10x=2, .

Из 2-го уравнения системы: .

Координаты точки пересечения .

Ответ. , .

Задача 2.3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

Решение: Используем уравнение пучка прямых (1.4):

где .

Из условия перпендикулярности (пункт 10):

Запишем данную прямую в виде (1.2)

, тогда ;

или .

Ответ. .

Задача 2.4. Дана прямая . Через точку провести прямую под углом к данной.

Решение: – уравнение данной прямой. Найдем ее угловой коэффициент (из пункта 3), (рис. 2.9).

Рис. 2.9

;

или ;

, тогда ; ;

или .

Ответ. , .

Задача 2.5. Дан треугольник с вершинами . Составить уравнение его сторон и найти длину высоты (рис. 2.10).

Рис. 2.10

Решение: Уравнение стороны АВ:

или .

Уравнение стороны ВС имеет вид , т.к. ординаты точек В и С равны. Уравнение стороны АС имеет вид , т.к. абсциссы точек равны. Длину высоты найдем как расстояние т. С до прямой АВ:

.

Задача 2.6. Какие из уравнений являются нормальными в декартовой системе координат?

1. . 4. .

2. . 5. .

3. . 6. .

Решение: Нормальные уравнения 3, 5 и 6, так как для них и .

Задача 2.7. Найти точку, равноудаленную от трех данных точек .

Решение: Такой точкой будет пересечение серединных перпендикуляров.

Рис. 2.11

Уравнение прямой PQ:

.

Точка М– середина отрезка PQ:

, .

Прямая ОМ – серединный перпендикуляр отрезка PQ:

;

,

.

Уравнение прямой RQ: или .

Точка N – середина отрезка RQ:

, .

Уравнение прямой NO: .

или

.

Найдем точку пересечения прямых ON и OM:

Вычтем из второго первое уравнение: . Из второго уравнения тогда . Равноудаленная точка имеет координаты (2;2).

Ответ. (2;2).