Задача 3. Построение логарифмических частотных характеристик и годографа АФЧХ

1. Построить асимптотическую логарифмическую амплитудно-частотную характеристику (ЛАЧХ) и логарифмическую фазочастотную характеристику ЛФЧХ для линейной системы САУ, состоящей из четырех последовательно включенных звеньев:

одного реального дифференцирующего звена с передаточной функцией W₁(р) = К₁∙(Т₁∙р + 1);

двух апериодических звеньев первого порядка с передаточными функциями W₂(р) = К₂/(Т₂∙р + 1) и W₃(р) = К₃/(Т₃∙р + 1);

одного идеального интегрирующего звена с передаточной функцией К₄/р.

Исходные данные приведены в табл. 3.

Таблица 3

Номер варианта	Последняя цифра шифра	Предпоследняя цифра шифра
К	Т1, с	Т2, с	Т3, с
		0,125	0,2	0,02
		0,1	0.2	0.01
		0.2	0,5	0,01
		0,5	1,0	0,05
		0,8	1,5	0,05
		0,5	2,0	0,1
		0,8	5,0	0,2
	0,5	0,5	5,0	0,1
	0,2	0,4	4,0	0,04
		0,1	2,0	0,5

По условиям задачи передаточная функция заданной линейной САУ имеет следующий вид:

, (12)

где К = К₁∙ К₂∙ К₃∙ К₄.

2. Построить годограф АФЧХ W(jω) заданной САУ.

Пример. Найдем выражение для логарифмической АЧХ и ФЧХ, для чего сначала определим АФЧХ системы по ее передаточной функции W(р), заменяя в ней оператор Лапласа р на комплексную переменную jω.

W(jω) = , (13)

где: Н(ω) = - амплитудно-частотная характеристику (АЧХ) системы САУ;

φ(ω) = [- 90^о + arctg(ω∙T₁) - arctg(ω∙T₂) - arctg(ω∙T₃)] – аргумент частотной передаточной функции, представляющий собой фазочастотную характеристику (ФЧХ) системы САУ.

По известной АЧХ определим выражение для ЛАЧХ L(ω):

L(ω) = 20∙lgH(ω) =

= , дБ (14)

Асимптотическую ЛАЧХ строим путем замены непрерывной кривой ЛАЧХ несколькими прямыми отрезками, которые сопрягаются между собой в точках, соответствующих круговым частотам ω_с (сопрягающим частотам), численно равным обратной величине от постоянных времени, входящих в выражение (14). В нашем примере имеем три сопрягающие частоты:

ω_с1 = 1/Т₁, рад/с; ω_с2 = 1/Т₂, рад/с; ω_с3 = 1/Т₃, рад/с.

Расположим сопрягающие частоты в порядке возрастания при следующих исходных данных нашего примера: К = 10; Т₁ = 0,4 с; Т₂ = 2 с; Т₃ = 0,02 с.

Учитывая, что чем больше значение постоянной времени, тем меньше значение сопрягающей частоты, можем написать следующее неравенство:

ω_с2 = 0,5 < ω_с1 = 2,5 < ω_с3 = 50 рад/с.

Выбираем масштаб для одной декады частот так, чтобы в этом масштабе на оси абсцисс (частот) разместить три декады логарифмической шкалы. Если значения всех сопрягающих частот больше или равно 1 (ω_с ≥ 1рад/с), то в качестве границ декад выбираем круговые частоты 1, 10, 100 и 1000 рад/с. В том случае, когда значение хотя бы одной из сопрягающих частот находится в диапазоне 0,1 ≤ ω_с < 1, то границы декад необходимо сместить влево на одну декаду, т.е. выбрать 0,1, 1, 10 и 100 рад/с.

В пределах каждой декады можно выделить промежуточные значения частот, используя для этих целей логарифмическую шкалу. Затем на логарифмической оси частот отмечаем точки, соответствующие сопрягающим частотам ω_с1, ω_с2, ω_с3, и проводим через них вертикальные пунктирные линии. Ось ординат проводим через частотную отметку 1 рад/с и выбираем соответствующий масштаб, исходя из значения величины 20∙lgK, так, чтобы можно было отложить значения (20∙lgK + 20) и (20∙lgK - 40), дБ.

В нашем случае откладываем на оси ординат следующие точки:

20∙lg10 = 20; 20∙lg10 + 20 = 40; 20∙lg10 – 40 = -20 дБ.

С целью удобства построения асимптотической ЛАЧХ выбираем масштаб 1 см на 10 дБ. Проводим через точку 20∙lgK вправо от оси ординат прямую линию с наклоном -20 дБ на декаду, для чего соединяем эту точку с точкой (20∙lgK - 20), расположенной на частотной отметке 10 рад/с. Так как в нашем примере первая по порядку следования сопрягающая частота ω_с2 < 1, то продолжим эту прямую влево от оси ординат до пересечения с вертикальной пунктирной линией, исходящей из точки 0,1 рад/с на оси частот. Очевидно, что ордината точки пересечения равна (20∙lgK + 20) = 40 дБ.

На отрезке логарифмической оси частот 0,1 ≤ ω ≤ ω_с2 асимптотическая ЛАЧХ описывается выражением: L(ω) = 20∙lgK - 20∙lgω и представляет собой отрезок проведенной ранее прямой с наклоном -20 дБ/дек, соединяющий точки ее пересечения с вертикальными пунктирными линиями, проведенными из точек 0,1 и ω_с2 и имеющими ординаты, соответственно: L(0,1) = 20∙lg10 - 20∙lg0,1 = 40 дБ и L(ω_с2) = L(0,5) = 20∙lg10 - 20∙lg0,5 = (40 - 20∙lg5) дБ.

Первая сопрягающая частота ω_с2 принадлежит инерционному звену, поэтому после этой частоты асимптотическая ЛАЧХ на отрезке частотной оси ω_с2 ≤ ω ≤ ω_с1 описывается выражением: L(ω) = 20∙lgK - 20∙lgω - 20∙lg(ω∙Т₂) и, следовательно, ее наклон увеличивается на -20 дБ/дек и становится равным -40 дБ/дек. Соединяя ординаты (40 - 20∙lg5) в точке ω_с2 = 0,5 рад/с с ординатой (- 20∙lg5) в точке ω = 10∙ω_с2 = 5 рад/с пунктирной линией получим отрезок прямой с наклоном -40 дБ/дек, который пересекает вертикальную пунктирную линию, соответствующую круговой частоте ω_с1 = 2,5 рад/с, в точке с ординатой L(ω_с1) = L(2,5) = 20∙lg10 - 20∙lg2,5 - 20∙lg(2,5∙2) = (20 - 20∙lg12,5) = (-20 lg1,25) дБ. Соединяя ординату L(ω_с2) = (40 - 20∙lg5) дБ сплошной прямой линией с ординатой L(ω_с1) = (-20∙lg1,25), соответствующей точке пересечения наклонной пунктирной линии с вертикальной пунктирной линией), получим на отрезке логарифмической оси частот ω_с2 ≤ ω ≤ ω_с1 очередную асимптоту ЛАЧХ с наклоном -40 дБ/дек.

Вторая сопрягающая частота ω_с1 принадлежит дифференцирующему звену, поэтому после этой частоты асимптотическая ЛАЧХ на отрезке частотной оси ω_с1 ≤ ω ≤ ω_с3 описывается выражением: L(ω) = 20∙lgK - 20∙lgω - 20∙lg(ω∙Т₂) + 20∙lg(ω∙Т₁) и, следовательно, ее наклон уменьшается на 20 дБ/дек и становится вновь равным -20 дБ/дек. Соединяя пунктирной линией ординаты (-20∙lg1,25) в точке ω_с1 = 2,5 рад/с с ординатой (-20 - 20∙lg1,25) в точке ω = 10∙ω_с1 = 25 рад/с получим отрезок прямой с наклоном -20 дБ/дек. Продолжим эту наклонную прямую до пересечения с вертикальной пунктирной линией, соответствующей круговой частоте ω_с3 = 50 рад/с, в точке с ординатой L(ω_с3) = L(50) = 20∙lg10 - 20∙lg50 - 20∙lg(50∙2) + 20∙lg(50∙0,4) = (-40 + 20∙lg4) дБ. Соединяя ординату L(ω_с1) = (-20∙lg1,25) дБ сплошной прямой линией с ординатой L(ω_с3) = (-40 + 20∙lg4), соответствующей точке пересечения наклонной пунктирной линии с вертикальной пунктирной линией), получим на отрезке логарифмической оси частот ω_с1 ≤ ω ≤ ω_с3 очередную асимптоту ЛАЧХ с наклоном -20 дБ/дек.

Третья сопрягающая частота ω_с3 принадлежит интегрирующему звену, поэтому после этой частоты асимптотическая ЛАЧХ на отрезке частотной оси ω ≥ ω_с3 описывается выражением: L(ω) = 20∙lgK - 20∙lgω - 20∙lg(ω∙Т₂) + 20∙lg(ω∙Т₁) - 20∙lg(ω∙Т₃) и, следовательно, ее наклон вновь увеличивается на -20 дБ/дек и становится равным -40 дБ/дек. Соединяя сплошной линией ординаты (-40 + 20∙lg4) в точке ω_с3 = 50 рад/с с ординатой (-80 + 20∙lg4) в точке ω = 10∙ω_с3 = 500 рад/с получим асимптоту ЛАЧХ с наклоном -40 дБ/дек.

На рис. 1 показан график асимптотической ЛАЧХ, построенный в соответствии с вышеприведенным алгоритмом.

Рис. 1 Логарифмические асимптотическая амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики

Для построения логарифмической ФЧХ воспользуемся выражением

φ(ω) = [- 90^о + arctg(ω∙T₁) - arctg(ω∙T₂) - arctg(ω∙T₃)].

Задаваясь численными значениями круговой частоты от 0,1 до 100 рад/с (при ω_с2 < 1) или от 1 до 1000 рад/с (при ω_с2 ≥ 1), заполнить соответствующий столбец табл. 4 значениями частотной функции φ(ω) и выполнить ее построение так, как показано применительно к нашему примеру на рис. 1.

Для построения годографа АФЧХ необходимо также заполнить соответствующие столбцы табл. 4, для чего необходимо произвести расчет модуля Н(ω) частотной передаточной функции W(jω) и его проекций на мнимую (М(ω) = Н(ω)∙sin[φ(ω)]) и действительную (N(ω) = Н(ω)∙cos[φ(ω)]),

Н(ω) =

а также использовать данные выполненного ранее расчета фазочастотной характеристики.

Таблица 4

ω, рад/с	Н(ω)	N(ω)	М(ω)	φ(ω), град
0,1	98,04	-16,40	-96,66	-99,63
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
	4,816	-3,270	-4,05	-132,77
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
	0,285	-0,109	-0,263	-112,48
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
	0.0089	-0,008	-0,0052	-154,57

Так как значение модуля Н(ω) АФЧХ обратно пропорционально круговой частоте, то для построения годографа следует брать более высокие частоты с наиболее близкими относительно малыми значениями модуля. Так, например, в нашем примере это частоты в диапазоне от 1 до 10 рад/с.

Откладываем на отрицательной действительной полуоси комплексной плоскости значения проекции N(ω) модуля Н(ω), а на отрицательной полуоси - значения проекции М(ω) этого модуля, выбрав предварительно наиболее удобный масштаб. Затем через отложенные точки проводим вертикальные или горизонтальные линии параллельно противоположным координатным осям. Соединив точки пересечения этих линий с началом координат, получим векторы АФЧХ, соответствующие частотам, при которых вычислялись проекции их модуля на координатные оси. Соединив точки пересечения этих линий между собой и с началом координат, получим фрагмент годографа АФЧХ, представляющего собой кривую, которую описывает конец вектора W(jω) при изменении частоты в выбранном диапазоне частот.

Другой способ построения годографа АФЧХ основан на использовании полярных координат, для чего на комплексной плоскости через начало ее координат проводят ряд линий под углами, взятыми из табл. 4 для соответствующих частот, и на этих линиях откладывают в произвольно выбранном масштабе значения модуля Н(ω) АФЧХ. Соединяя затем концы векторов между собой и с началом координат, получим искомый фрагмент годографа АФЧХ.

Фрагмент годографа АФЧХ, построенного на основании данных табл. 4, показан на рис. 2.

Рис. 2 Фрагмент годографа АФЧХ

Для построения ЛАЧХ, ЛФЧХ и годографа АФЧХ можно воспользоваться программой МАТЛАБ. Пример фрагмента годографа АФЧХ, построенного с применением этой программы, показан на рис. 3 для области частот 1 – 15 рад/с.

Рис. 3 Фрагмент годографа АФЧХ, построенного с

использованием программы МАТЛАБ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2

ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ

Для успешного выполнения контрольной работы студент должен иметь представление об основных формах записи линейных дифференциальных уравнений, передаточных функций, временных и частотных характеристик линейных систем автоматического управления (САУ), а также ознакомится с основными понятиями и определениями теории автоматического управления. Прежде, чем приступить к выполнению контрольной работы студент должен изучить соответствующие разделы основной [1 и 2] и рекомендованной литературы [3].

Цель контрольной работы – закрепить знания, полученные студентом при самостоятельном изучении дисциплины.

Необходимые чертежи и графики выполняются на белой бумаге стандартных размеров: 297х210 мм с использованием современных компьютерных технологий. Пояснительная записка пишется от руки или машинописно на одной стороне стандартного листа аналогичного формата. Все листы записки, в том числе графики и таблицы, должны быть сброшюрованы и иметь сплошную нумерацию, показанную в правом верхнем углу каждого листа. Для замечаний рецензента слева оставляют поля шириной 4 см. Исправления по замечаниям делаются на чистой оборотной стороне листа и сопровождают надписью «Работа над ошибками».

Контрольная работа содержит задание, состоящее из трех задач. Пояснительная записка должна содержать условия и исходные данные к каждой задаче согласно своему варианту. Ход решения задачи должен сопровождаться краткими пояснениями с приложением необходимых таблиц расчетных данных и графиков. Под графиками должно стоять конкретное его наименование, оси координат должны быть промасштабированы и обозначены с указанием принятой размерности функции и аргумента. Все чертежи с графиками вставляются в пояснительную записку сразу после той страницы, на которой имеется первая ссылка на него. Все пояснения к выполненной работе, а также приводимые формулы должны быть разборчивыми для чтения. Сокращения слов в тексте, кроме общепринятых, не допускается. Также не допускается ксерокопирование текста, графиков или рисунков.

В конце пояснительной записки рекомендуется приводить список использованной литературы.

ЗАДАНИЕ 1

ИССЛЕДОВАНИЕ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛЯТОРА СКОРОСТИ ДВИЖУЩЕГОСЯ ОБЪЕКТА ПРИ ВНЕШНИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ, НОСЯЩИХ ПОСТОЯННЫЙ ХАРАКТЕР.

В процессе выполнения задания 1необходимо:

– построить структурную схему модели автоматического регулятора скорости движущегося объекта с использованием типовых звеньев САУ;

– вычислить параметры используемых типовых звеньев;

– осуществить исследование функционирования автоматического регулятора скорости при воздействии заданных возмущающих факторов, используя для моделирования программный продукт МВТУ (Моделирование В Технических Устройствах) или пакет программ «Simulink» математической среды «Matlab system».

Для выполнения задания 1 необходимо использовать следующие исходные данные:

1) – значение скорости движения объекта на момент начала регулирования, км/ч;

2) – значение заданной скорости движения объекта, км/ч;

3) – статический коэффициент усиления апериодического звена в основной цепи регулятора, характеризующий взаимосвязь между текущим значением отклонения фактической скорости от заданной и величиной изменения регулируемой скорости в установившемся режиме;

4) – постоянная времени апериодического звена в основной цепи регулятора, характеризующая инерционность реализации управляющего воздействия, с;

5) – постоянная времени апериодического звена в цепи обратной связи, характеризующая инерционность цепи обратной связи устройства автоматического регулирования, с;

6) – максимальное приращение ΔV_в фактической скорости V_ф от периодически изменяющегося внешнего возмущающего воздействия, км/ч;

Вариант значений исходных данных для выполнения задания 1 выбирается студентом из табл. 1 в соответствии с последней и предпоследней цифрами своего шифра.

Закон изменения фактической скорости движения объекта имеет вид следующей функции:

,

где – изменение фактической скорости, вызванное периодически изменяющимся внешним возмущающим воздействием с амплитудой , км/ч;

– изменение фактической скорости, вызванное регулирующим воздействием апериодического звена в основной цепи регулятора.

Таблица 1

№ варианта	последняя цифра шифра студента	предпоследняя цифра шифра студента
						2π	0.001
			0.8	0.1	1.5	2.5 π	0.002
			0.6	0.15		3 π	0.004
			0.5	0.2	2.5	3.5 π	0.006
			0.4	0.25		4 π	0.008
			0.3	0.3		4.5 π	0.01
			0.2	0.35	1.5	5 π	0.012
			0.1	0.4		5.5 π	0.014
			0.08	0.45	2.5	6 π	0.016
			0.06	0.5		6.5 π	0.018

Используя приведенные ниже структурные схемы модели автоматического регулятора скорости с использованием программных средств Simulink и МВТУ, студент должен:

– вычислить статический коэффициент усиления К₂ цепи обратной связи;

– найти аналитическое выражение для передаточной функции W(p) замкнутой системы автоматического регулирования скорости (далее системы);

– используя программные средства Simulink или МВТУ, получить графики переходной функции замкнутой системы h(t) и сделать выводы об устойчивости системы;

– используя программные средства Simulink или МВТУ, получить графики логарифмической амплитудночастотной L(lgω) и фазочастной φ(lgω) характеристик замкнутой системы, и подтвердить сделанные ранее выводы об устойчивости замкнутой системы;

– произвести оценку основных показателей качества регулирования скорости при изменении постоянной времени Т₂ апериодического звена в цепи обратной связи автоматического регулятора скорости в следующих пределах: ; ;

– вывести на печать графики h(t), H_p(ω) и φ_p(ω);

– привести краткое пояснение хода выполнения работы и сформулировать выводы по результатам исследований.

2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 1

Общие сведения

Системой автоматического регулирования (САР) называется такая система, которая в течение достаточно длительного времени автоматически поддерживает требуемое неизменное значение некоторой физической величины (например, скорости линейного или углового перемещения объекта) в каком-либо процессе или изменяет это значение по заданной программе. САР, работающие на поддержание постоянного значения регулируемой величины, называют также системами стабилизации (например, стабилизаторы напряжения или тока).

Объект, параметры которого подлежат автоматической регулировке, называется объектом регулирования (ОР). В нашем случае, в качестве движущегося объекта регулирования может быть поезд, отдельный локомотив или любая другая подвижная единица.

Параметр, значение которого требуется регулировать, называется регулируемой величиной. В соответствии с заданием регулируемой величиной является фактическая скорость движения подвижной единицы.

Устройство, осуществляющее непосредственное регулирующее воздействие на объект регулирования, называют автоматическим регулятором, или просто регулятором. В нашем случае, мы имеем дело с регулятором скорости. Регулятор, как правило, содержит следующие основные узлы:

– измерительное устройство, чувствительный элемент которого реагирует на фактическое значение регулируемой величины;

– усилительно-преобразовательное устройство, преобразующее (как правило, по линейному закону) входную физическую величину одной природы в физическую величину другой природы (например, преобразует малую физическую величину электрической природы в большое механическое воздействие), используемую при формировании управляющего воздействия на исполнительное устройство;

– исполнительное устройство, предназначенное для оказания непосредственного регулирующего воздействия на объект регулирования.

Таким образом, САР есть совокупность автоматического регулятора и регулируемого объекта, и представляет собой замкнутую систему, в которой передача воздействий от одного ее звена к другому (внутренние воздействия) осуществляется по замкнутому контуру.

На САР могут поступать внешние воздействия, основным из которых является задающее воздействие, характеризующее требуемый (эталонный) характер протекания процесса. Оно поступает от внешнего задающего устройства. В нашем случае задающим воздействием является заданное значение линейной скорости перемещения подвижной единицы.

Совокупность задающего устройства и САР образует систему автоматического управления САУ, которая в общем виде может иметь несколько различных объектов регулирования (например, система автоматического управления движением поездов на некотором участке пути САУ ДП).

К внешним воздействиям на САР относятся также возмущающие воздействия на объект регулирования (например, изменение сопротивления движению движущегося поезда на участках пути с различным профилем).