Случайные величины и независимы. Найти дисперсию случайной величины , если из- известно, что , . 1 страница

Решение. Так как величины и независимы, то незави- независимы также и величины и . Используя свойства дисперсии (дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых; постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат), получим

.

Случайные величины и независимы. Найти дисперсию случайной величины , если известно, что , .

Решение.

Так как величины и независимы, то независимы также и величины и . Используя свойства дисперсии получим:

.

№210 Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:

Решение:

Дисперсию можно вычислить, исходя из ее определения, однако мы воспользуемся формулой

,
которая быстрее ведет к цели.

Найдем математическое ожидание :

Напишем закон распределения

Найдем математическое распределение

Найдем искомую дисперсию:

.

Найдем искомое отклонение: .

№211 Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины , заданной законом распределения:

a)

б)

Решение:

Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой:

Найдем математическое ожидание

а)

б)

Напишем закон распределения для :

a)

б)

Найдем математическое ожидание

а)

б)

Найдем искомую дисперсию:

а)

б)

Найдем искомое среднее квадратическое отклонение:

a)

б)

№212 Дискретная случайная величина Х имеет только два возможных значения х1 и х2, причем равновероятных. Доказать, что дисперсия величины Х равна квадрату полуразности возможных значений;

.

Решение:

найдем математическое ожидание Х, учитывая, что вероятности возможных значений и х2 и, следовательно, каждая из них равна ½;

.

Найдем математическое ожидание ;

,

Найдем дисперсию Х:

.

Найти дисперсию дискретной случайной величины —числа появлений события в пяти независимых испытаниях, если вероятность появления событий А в каждом испытании равна 0,2.

Решение.

Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях (с одинаковой вероятностью появления события в каждом испытании) равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события:

.

По условию, ; ; .

Искомая дисперсия

Ответ: 0,8

Найти дисперсию дискретной случайной величины – числа отказов элемента некоторого устройства в десяти независимых опытах, если вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0,9.

Решение:

Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях(с одинаковой вероятностью появления события в каждом испытании) равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события:

.

По условию, ; ; .

Искомая дисперсия

Ответ: 0,9

Рудченко Олег

№215 Найти дисперсию дискретной случайной величины — числа появлений события в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что .

Решение.

Первый способ: Возможные значения величины таковы: (событие не появилось), (событие появилось один раз) и (событие появилось два раза).

Найдем вероятности возможных значений по формуле Бернулли:

P₂(0)=q²; ; P₂(2)=p²;

Напишем закон распределения :

Возможные значения вероятности 2pq

Найдём

В силу условия , т. е. . Отсюда и, слеследовательно, .

Искомая дисперсия

Второй способ: Воспользуемся формулой . По условию, ; . Следовательно, . Отсюда и, значит, .

Найдем искомую дисперсию:

№216 Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что М(Х)=0.9.

Решение.

Ответ: 0.495.

№217 Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти вероятность появления события А, если дисперсия числа появлений события в трех независимых испытаниях равна 0,63.

Решение:

Дисперсия равна:

p²-p+0,21=0

Решим квадратное уравнение.

Искомая вероятность появления события А равна:

№218 Сумма вероятностей всех возможных значений дискретной случайной величины равна единице, поэтому вероятность того, что примет значение
, равна

Напишем закон распределения Х:

{1}

Для отыскания и надо составить два уравнения, связывающие эти числа. С этой целью выразим известные математическое ожидание и дисперсию через и .

Найдём

По условию, , следовательно {2}

Для того, чтобы получить второе уравнение, выразим известную дисперсию через и .

Напишем закон распределения

найдём

Найдём дисперсию

Подставляя , после элементарных преобразований получим

Объединяя {2} и {3}, получим систему уравнений

Решив эту систему, найдём 2 решения

По условию , поэтому задаче удовлетворяет лишь первое решение , {4}

Подставив {4} в {1}, получим искомый закон распределения

№219 Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x₁ и x₂, причем x₁<x₂. Вероятность того, что X примет значение x₁, равна 0,2. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M(X)=2,6 и среднее квадратическое отклонение σ(X)=0,8.

Решение:

Напишем закон распределения Х (вероятность х₂ получим из формулы о сумме вероятностей всех возможных значений дискретной случайной величины):

Нам известно математическое ожидание, тогда:

Так как Т.е. , отсюда

Объединяя, получим систему уравнений (умножим каждое на 5):

Решивсистему, получим:

Ответ:

№220 Дискретная случайная величина имеет только три возможных значения: , , причем . Вероятности того, что примет значения и соответственно равны 0,3 и 0,2. Найти закон распределения

величины , зная ее математическое ожидание и дисперсию .

№221 Брошены n игральных костей. Найти дисперсию суммы числа очков, которые могут появиться на всех выпавших гранях.

Решение:

Обозначим через X дискретную случайную величину— сумму числа очков, которые выпадут на всех гранях, через — число очков, выпавших на грани i-й кости. Тогда

Очевидно, все величины X имеют одинаковое распределение, следовательно, одинаковые числовые характеристики и, в частности, одинаковые дисперсии,
т. е.

. (*)

Так как рассматриваемые случайные величины независимы, то дисперсия их суммы равна сумме дисперсий слагаемых:

.

В силу (*) получим

. (**)

Таким образом, достаточно вычислить дисперсию случайной величины , т. е. дисперсию числа очков, которые могут выпасть на «первой» кости.

Напишем закон распределения

p

Найдем

Напишем закон распределения

p

Найдем и

(***)

Найдем искомую дисперсию, для чего подставим (***) в (**):

Ответ: .

№222 Вероятность наступления события в каждом испытании равна p . Испытания производятся до тех пор, пока событие не наступит. Найти:

А) математическое ожидание дискретной случайной величины X – числа испытаний, которые надо произвести до появления события;

Б) дисперсию величины X.

Решение.

А) Составим закон распределения величины X – числа испытаний, которые надо произвести, пока событие не наступит:

				…		…
				…		…