Погрешности элементарных функций

5.1. Исходные числовые значения аргумента заданы цифрами, верными строгом смысле. Найти абсолютную и относительную погрешности функции. Определить количество верных цифр в строгом смысле по относительной погрешности в следующих элементарных функциях:

а) соs(0,47);

б) ;
в) ;

г) у = 1n (68,214).

Решение.

а) находим значение величины х. Оно будет равно 0,891568.

Абсолютная погрешность аргумента . Тогда абсолютная и относительная погрешности величины х равны:

;

Это означает, что в числе 0,891568 две цифры после запятой верны в строгом смысле.

Ответ:0,892.

б) находим значение величины у . Оно будет равно 0,0450492.

Абсолютная погрешность аргумента . Тогда абсолютные и относительные погрешности величины у равны:

Это означает, что в числе 0,0450492 одна цифра после запятой верна в строгом смысле.

Ответ:0,04.

в) Находим значение величины у . Оно будет равно 4,6378875.

Абсолютная погрешность аргумента . Тогда абсолютные и относительные погрешности величины у равны:

;

Это означает, что в числе 4,6378875 три цифры после запятой верны в строгом смысле.

Ответ:4,6378.

г) Находим значение величины у . Оно будет равно 4,2226498

Абсолютная погрешность аргумента . Тогда абсолютные и относительные погрешности величины у равны:

.

Это означает, что в числе 4,2226498 пять цифр после запятой верны в строгом смысле.

Ответ: 4,222649.

5.2. Вычислить значение величины с помощью метода строгого учета границ абсолютних погрешностей после каждой операции:

, если а=12,34, b=14,3.

Решение.

При пооперационном строгом учете ошибок промежуточные результаты после округления до одной запасной (с учетом вычисленной параллельно величины погрешности) и их погрешности заносят в табл.

Расчетная таблица для вычисления погрешности выражения

а	b				ln(a)	b+ln(a)	A
12,34	14,3	3,513	3,78	7,30	2,5129	16,81	0,434
0,005	0,05	0,00071	0,0066	0,0073	0,0004	0,05041	0,0017

Значения погрешностей для удобства округлим до двух значащих цифр по избытку и тоже занесем в таблицу. Цифры даны верными в строгом смысле, значит, , .

Найдем . Абсолютная погрешность равна (воспользуемся табл. выше):

Из полученного значения погрешности видно, что в результате верны две значащие цифры после запятой, т. е.

.

Это число внесем в таблицу.

Найдем абсолютную погрешность = 3,781534.

Она будет равна

Значит, в числе b будет одна верная цифра после запятой.

Аналогично, находим значения всех остальных действии и функции:

Округляя результат А до верной цифры, получаем окончательный ответ.

Ответ:А = 0,434 ±0,002.

6. Способ границ. Способ границ используется для точного определения границ искомого значения функции, если известны границы измерения ее аргументов.

6.1. Алюминиевый цилиндр с диаметром основания d=(3± 0,001) см и высотой h=(10±0,002) см весит р=(95,5±0,001) г. Определить удельный вес у алюминия и оценить предельную абсолютную погреш­ность найденного удельного веса.

Решение.

Способ.

Объем цилиндра равен: ,

Отсюда .

Из полученной формулы вытекает, что в области р>0, d>0, h>0 функция – возрастающая по аргументу р и убывающая по аргументам d и h.

Имеем:

2,999 <d<3,001;

9,998 < h < 10,002;

95,499<р< 95,501;

3,14159< <3,1416.

Тогда для значения у получим:

(нижняя граница)

(верхняя граница)

Взяв среднее арифметическое, получим значение у, равное у = (1,351 ±0,002) г/см³.

Ответ:у = (1,351 ±0,002) г/см³.

Способ.

Используя средние значения аргументов, получим:

Логарифмируя формулу для вычисления объема цилиндра, имеем:

. Взяв полный дифференциал, получим:

.

Далее находим:

.

Таким образом, имеем:

у = (1,351 ± 0,001) г/см³,

что очень близко совпадает с точной оценкой, найденной по способу границ.

Ответ:у = (1,351 ±0,001) г/см³.

6.2. Найти предельные абсолютную и относительную погрешности вычисле­ния объема шара по выражению , если d= 3,7±0,05 см, а = 3,14.

Решение.

Рассматривая d и как переменные величины, вычисляем частные производные:

Используя формулу для вычисления погрешности функции, зависящей от двух переменных:

,

Находим предельную абсолютную погрешность объема:

.

Поэтому, .

Отсюда предельная относительная погрешность определения объема:

.

Ответ: , .

6.3. Для определения модуля Юнга Е по прогибу стержня прямоугольного сечения применяется формула , где l – длина стержня; а и b – измерения поперечного сечения стержня; s – стрела прогиба; р – нагрузка. Вычислить предельную относительную погрешность при определении модуля Юнга E, если р=20 кг; , а=3 мм; ; b=44 мм; ; l=50 см; ; s=2,5 см; .

Решение.

.

Отсюда, заменяя приращения дифференциалами, будем иметь:

. Следовательно,

.

Таким образом, относительная погрешность составит не более 0,081, т.е. примерно 8% от измеряемой величины.

Ответ: .

6.4. Вычислить значение величины z с помощью Mathcad при заданных значениях а, b и с с систематическим учетом абсолютных погрешностей после каждой операции, если цифры верны в строгом смысле.

, а:=12,34; b:=14,3

Решение.

Алгоритм решения представлен на рисунках, приведенных ниже: