Условия существования интегрирующего множителя
Интегрирующий множитель 
удовлетворяет дифференциальному уравнению:
Однако нет общего метода интегрирования такого уравнения. Рассмотрим частные случаи существования интегрирующих множителей вида: 
и 
Теорема 1. Пусть в некоторой области D выполнены условия:
1) 
непрерывны;
2) 
3) 
является функцией, зависящей только от переменной 
Тогда дифференциальное уравнение (1) имеет интегрирующий множитель, зависящий только от 
и вычисляемый по формуле:
Теорема 2.Пусть в некоторой области D выполнены условия:
1) непрерывны;
2) 
3) 
является функцией, зависящей только от переменной 
Тогда дифференциальное уравнение (1) имеет интегрирующий множитель, зависящий только от 
и вычисляемый по формуле:
Примеры с решениями
Пример 1. Решить уравнение:
Решение. В данном примере
откуда получим:
Значит, данное уравнение в полных дифференциалах. Поэтому существует функция 
для которой выполняется равенство:
Составим и решим систему уравнений:
Проинтегрируем по первое уравнение, считая постоянным:
(*)
Определим функцию 
используя второе уравнение системы:
где 
произвольная постоянная.
Подставим 
в равенство (*):
Таким образом, общим интегралом данного уравнения будет:
Ответ: 
Пример 2. Решить задачу Коши:
Решение. Проверим выполнение условия
и 
.
Следовательно, заданное уравнение в полных дифференциалах. Составим систему уравнений относительно неизвестной функции для которой выполняется равенство:
Тогда: 
(**)
Найдем функцию используя второе уравнение системы:
где произвольная постоянная.
Подставим найденную в (**):
Таким образом, общий интеграл данного уравнения можно записать:
Найдем число 
так, чтобы выполнялось условие: 
Следовательно, решение задачи Коши находится из общего решения при 
Ответ:
Пример 3. Решить уравнение:
Решение. Проверим условие 
Следовательно, это уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Проверим выполнение условий теоремы 1 существования интегрирующего множителя 
Таким образом, интегрирующий множитель вида 
существует и находится по формуле:
Умножим заданное уравнение на найденную функцию и получим уравнение в полных дифференциалах:
Поэтому существует для которой
(***)
где произвольная постоянная.
Подставим 
в равенство (***):
Тогда общий интеграл запишется в виде:
При переходе от заданного уравнения к уравнению в полных дифференциалах было потеряно решение 
(при делении на ). Но оно входит в полученное семейство при 
Ответ: 
Пример 4. Решить уравнение:
Решение. Проверим условие 
Следовательно, это уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Проверим выполнение условий теоремы 2 существования интегрирующего множителя 
Таким образом, интегрирующий множитель вида 
существует и находится по формуле:
Умножим заданное уравнение на 
и решим полученное уравнение в полных дифференциалах:
Поэтому существует для которой выполняется равенство:
(****)
где произвольная постоянная.
Подставим найденную функцию в выражение (****):
Тогда общий интеграл запишется в виде:
Следовательно, это общий интеграл заданного уравнения.
Ответ: 
Примеры
Решить ДУ или задачи Коши:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
Ответы
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 