Парадокс пустого множества

Рассмотрим высказывание Тº{то, что я скажу, ложь}. Зададимся вопросом, истинно это утверждение или ложно? Если Т истинно, то по своему смыслу оно ложно. Если Т ложно, то отрицание лжи есть истинно. Таким образом, Т не является ни истинным, ни ложным. В чем суть противоречия?

Рассмотрим утверждение “Т” как аксиому и рассмотрим существование реализации R(T) мыслимой модели с аксиомой Т. Реализация есть пустое множество. В противном случае на этой реализации мы имеем некоторое свойство с его отрицанием. Поэтому не существует изоморфизма мыслимой модели Т ни на какую реализацию R(T).

Утверждение такого типа, когда мыслимые модели не имеют реальных моделей, можно называть бессмысленными.

Парадокс достижимости в натуральном ряде

Натуральный ряд N – это множество, определяемое системой аксиом Пеано, см. п.1.1. § 1. Элемент xÎN будем называть достижимым, если этот элемент х=S(...S(S(1))) получен конечным числом операций последования S из первого элемента “1”.

Вопрос: всякий ли элемент xÎN достижим? Для ответа воспользуемся аксиомой 5 “Математической индукции” аксиоматики Пеано (см. п.1.1. §1). Пусть М – множество всех достижимых элементов: 1ÎМ, S(1) ÎМ; если xÎМ, то S(х)ÎМ. Следовательно, по аксиоме 5, заключаем, что МºN, т.е. все элементы натурального ряда достижимы.

С другой стороны, как мы знаем (п.1.1. § 1), линейная цепь

Т = 1, 2, ... , n, ... ; ..., а_–2, а _–1, а₀, а₁, а₂, ... ; ... ,

является моделью натурального ряда (все аксиомы Пеано выполняются). В этой модели второй и следующие за ним блоки имеют вид

..., а_–2, а _–1, а₀, а₁, а₂, ...

и содержат недостижимые элементы. Получили противоречие с тем, что все элементы достижимы.

Покажем, что свойство достижимости (назовем его аксиомой Д) не зависит от аксиом Пеано, следовательно, не является логически выводимым в теории этой аксиоматики.

Пусть П= {П₁, ... ,П₅} – аксиоматика Пеано (п.1.1, §1).

Модель Сколема Т реализует систему аксиом П и отрицание аксиомы Д:Т=R₁{П,ùД}. Модель десятичного систематического представления N натурального ряда реализует аксиомы П и Д:N=R₂(П,Д). Следовательно, согласно достаточным условиям независимости системы аксиом (п.7.3., §7) заключаем, что аксиома Д не зависит от П.

Вывод

В теории аксиом Пеано свойство достижимости не доказуемо и не опровержимо, подобно тому, как в абсолютной планиметрии не доказуема и не опровержима аксиома параллельности.

8.8. “Одно и то же, но по–разному”

– именно так характеризуется аксиоматическая теория, имеющая две неизоморфные модели. Напомним, п.7.4 §7, что такие аксиоматики, аксиоматические теории и структуры называются некатегоричными, и рассмотрим примеры.

Вначале напомним, что система 15 аксиом (часть аксиом Гильберта) определяет геометрию e² плоскости Евклида. Если заменить аксиому параллельности Евклида на аксиому параллельности Лобачевского, то получим систему 15 аксиом планиметрии Лобачевского с моделью Пуанкаре L_2. Напомним также, что обе эти геометрии образуют дедуктивно полные и категоричные аксиоматические теории. Теперь сформулируем пример.

Пример 1

Из 15 аксиом планиметрий Е² и L₂ удалим аксиомы параллельности. Оставшиеся 14 аксиом составляют Теорию абсолютной планиметрии. Эта теория не категорична, так как L₂ не изоморфна R². Эта теория дедуктивно не полна, т.к. аксиома параллельности не выводима из остальных аксиом.

Таким образом, одна и та же система аксиом абсолютной планиметрии в разных моделях имеет различные “визуальные” эффекты. Например, в плоскости L_2, (см. §5) мы “видим” два равных треугольника по трем равным углам, а также две прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Этого “увидеть” в плоскости R² мы не можем.

Пример 2

Рассмотрим теорию, определяемую следующими 7 аксиомами:

Аксиома рефлексивности: "х(х£х).

Аксиомы антисимметричности: "х,у(х£у Ù у£х Þ х=у).

Аксиома транзитивности: "х,у,z(х£у Ù у£z Þ х£у).

Аксиома линейности: "х,у(х£у Ú у£х).

Аксиома плотности: "х,у$z(х¹у Þ х<z<у Ú y<z<x)

Аксиома отсутствия наименьшего элемента: "х$z (z<y).

Аксиома отсутствия наибольшего элемента: "х$z (z>y).

Эта система аксиом дедуктивно полна (см., например, [11]) но не категорична, так как имеет две неизоморфные модели: Q – множество рациональных чисел и R – множество действительных чисел.

Заключение

Мы закончили экскурс в математику кратким анализом текстовых парадоксов. Любой парадокс является интеллектуальным продуктом. Как противоречие он обнаруживается при построении изоморфизмов моделей и выражается в виде текста символьного и описательного языков. Поэтому все парадоксы можно в определенном смысле считать текстовыми.

Язык изложения нашего чрезвычайно краткого курса по алгоритмичности не выходит за рамки школьной программы, но по культуре мышления требует дополнительных интеллектуальных усилий.

По возможности мы демонстрировали язык геометрического формализма и геометрических моделей. Этот язык максимально приближен к наглядности. Наглядность – это визуальное представление информации. Строгость такого представления не “ниже”, чем в абстрактной символьной модели. Строгость языка рассмотренных геометрических моделей определяется свойствами непротиворечивости, независимости, категоричности и дедуктивной полноты аксиоматик Гильберта, Вейля и Лобачевского.

Таким образом, уровень строгости языка определяется свойствами выразимости и не зависит от степени “наглядности” или абстрактности.

Примеры п.8.8 §8 показывают, что “дефекты” выразимости присущи как визуальным, так и абстрактным аксиоматическим системам.

Какой мы сделаем вывод в конце нашего краткого курса?

Напомним три основные функции естественного языка: 1) отслеживание мысли, 2) формирование умозаключений и 3) средство коммуникаций.

Первые две функции в естественном языке используются для построения мыслимых моделей и являются инструментом процесса мышления (интеллекта). Третья функция использует знаковые системы для связи субъекта с внешним миром и является инструментом для реализации продукта мышления. Поскольку интеллект есть процесс или продукт мыслительной деятельности, то язык является единственным инструментом интеллекта.

Математический язык – это искусственный язык, который позволяет оптимально кодировать, хранить и передавать информацию. Например, 20 аксиом геометрии вместе с заданием точек, прямых, плоскостей и отношениями (принадлежности, порядка, конгруэнтности, параллельности и непрерывности) образуют геометрический язык и позволяют «хранить» в геометрической структуре около 20.000 утверждений, которые составляют предмет геометрической теории и могут быть выведены в рамках этой теории.

Язык геометрии строился несколько тысячелетий. Можно предположить, что основные геометрические структуры, изученные нами, являются каноническими моделями, по образу и подобию которых строятся многие естественно–научные модели и теории. Мы видели, что визуальность евклидовой геометрии не делает ее «менее строгой», чем чисто логические построения. Действительно, геометрические аксиоматики обладают свойствами совместности, независимости (при условии, что этими свойствами обладают действительные числа) и дедуктивной полнотой, которая следует из категоричности. Поэтому можно считать, что качество модели, иллюстрирующих какие–либо явления, также определяются наличием свойств совместности, независимости и дедуктивной полноты системы аксиом, определяющих эти модели.

Рассмотрим пример. Компьютерную игру назовем «Абсолютная геометрия». Ее правила – законы структуры планиметрии без аксиомы параллельности. Результат игры состоит в правильном ответе “да” или “нет” на любое утверждение, сформулированное на языке геометрических отношений, задаваемых 14 аксиомами планиметрии без аксиомы параллельности (см. замечание 2, п. 2 §2).

Вопрос: Равны или нет два треугольника по трем равным сторонам?

Ответ : Да.

Действительно, этот признак равенства треугольников не зависит от аксиомы параллельности.

Вопрос: Равны два треугольника по трем равным углам?

Ответ: Ни да, ни нет!

Действительно, в арифметической модели евклидовой плоскости R² ответ: “нет”; в модели Пуанкаре плоскости Лобачевского ответ: “да!” Такая неопределенность ответа связана с дедуктивной неполнотой абсолютной планиметрии. Следовательно, абсолютная планиметрия “некачественная” модель плоскости, так как некоторые вопросы не имеют определенного ответа.

Геометрическая визуальность – понятие относительное. Действительно, стоило нам поменять аксиому параллельности Евклида на аксиому Лобачевского, и мы получили абстрактную планиметрию Лобачевского. Визуальность практически исчезает, но высшая “степень качества” геометрической модели остается.

Мы выяснили, что объектами математического языка являются только математические структуры. Основу Теории математических структур составляют те же три функции, которые выделяют в естественном языке. Поэтому математике отводится роль имитации мыслительных процессов в формализованной знаковой системе. Можно считать, что математика создает искусственный интеллект, который развивается параллельно естественному интеллекту и в определенном смысле оптимизирует работу последнего.

Формы познания человеком окружающей действительности имеет единую сущность, которая выражается в законах самоорганизации сложных систем. В знаковых системах, используемых человеком для создания мыслительного образа, его преобразования и реализации в виде модели, концентрируются законы, по которым организуется любое мыслительное познание мира. Применяя математику как языковой инструмент исследования, в любом случае, мы накапливаем интеллектуальный опыт и концентрируем его в знаковой системе по закону математической структуры. Отношение интеллектуального опыта к реальности определяется различными реализациями, возникающими в человеческой практики.

Обозначения.

В тексте используются следующие общепринятые обозначения:

Þ – знак логического следствия “отсюда следует, что”;

Û – знак эквивалентности утверждений “тогда и только тогда, когда”;

Ç – знак пересечения множеств;

È – знак объединения множеств;

аÎА, (аÏА) – знак принадлежности (не принадлежности) элемента “а” множеству А;

Ù – знак конъюнкции “и”;

Ú – знак дизъюнкции “или”;

"х, у(Р(х,у)) – для всякого х, для всякого у, обладающих свойством Р(х,у);

$ z(Р(z)) – существует z со свойством Р(z);

"х $ у Р(х,у) Þ Q(х,у)) – для всякого х существует у такое, что из свойства Р(х,у) следует Q(х,у);

« – знак взаимно–однозначного соответствия;

а, АВ – векторы;

L( ) – изоморфизм;

а (х₁, ...,х_n) – координаты вектора;

Еⁿ, (n=1,2,3) – арифметическая модель n–мерного векторного пространства;

Rⁿ – арифметическая модель n–мерного евклидова пространства;

eⁿ – геометрическая модель n–мерного евклидова пространства;

L₂ – модель Пуанкаре плоскости Лобачевского;

|| – знак параллельности;

~ – знак отношения эквивалентности;

Æ – пустое множество;

Т_S – аксиоматическая теория;

S_T – аксиоматическая структура;

Т – система аксиом;

R(Т) – реализация системы аксиом Т.

ЛИТЕРАТУРА

Клайн М. Математика. Утрата определенности. – М.: Мир, 1988.

Орлов Ю.К. Невидимая гармония. Число и мысль. – М.: 1980. Вып.3.-c. 73/

Квантитативная лингвистика и семантика. Сборник научных трудов. вып.1.– Новосибирск, изд–во НГПУ,1999.

Бухштаб А.А. Теория чисел. – М.:1960.

Гильберт Д., Кон–Фоссен. Наглядная геометрия. – М.: Наука, 1981.

Хинчин А.Я. Цепные дроби. – М.: ФМ, 1961.

Ефимов Н.В. Высшая геометрия. – М.: Наука, 1978.

Пуанкаре А. О науке. – М.: Наука, 1983.

Александров А.Д. Основание геометрии. – М.: Наука, 1987.

Биркгофф Г. Математика и психология. – М.: Советское радио, 1977.

Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Введение в математическую логику. – М.: Изд-во МГУ, 1982.

Мандельброт. Б. Теория информации и психолингвистика: теория частот слов. //Математические методы в социальных науках. – М.: Прогресс, 1973,-с. 316–337.