Расчет надежности сложной системы
Он базируется на оценке типа связи элементов в системе и оценке функционального назначения каждого из них по отношению к остальным элементам. Согласно основным принципам теории надежности элементы в сложных системах могут быть соединены последовательно или параллельно. Элемент считается подсоединенным к сообществу элементов последовательно, если при его отказе следует отказ всего данного сообщества элементов. Это положение графически представлено на рисунке 7.1, а.
Если отказ элемента не вызывает отказа соответствующего сообщества элементов, то этот элемент по отношению к сообществу считается подключенным параллельно (рисунок 7.1, б). Принцип оценки "последовательно" или "параллельно" существенно зависит от конструктивных и функциональных особенностей элементов и других факторов.
Рисунок 7.1 - Структурные схемы надежности сложных систем
В расчетах надежности системы используются следующие основные правила теории вероятности. Если А и В - два независимых события, вероятности которых F(A) и F(B), то вероятность того, что имеют место оба события одновременно, равна произведению вероятности их раздельного появления:
F(AB) = F(A) × F(B). (7.1)
Если достаточно, чтобы из двух совместимых событий А и В произошло хотя бы одно (или А или В) или же оба вместе, то
F(A^В) = F(A) + F(B) - F(A)×F(B). (7.2)
Предполагая отказы элементов системы как независимые события, получаем следующие основные формулы для расчетов надежности системы [7].
Система с последовательно соединенными элементами. По определению такая система выходит из строя (т.е. отказывает) при отказе любого (одного или одновременно нескольких) входящего в систему элемента. Это положение подпадает под правило, отраженное уравнением (7.2). Помня, что вероятность отказа связана с вероятностью безотказной работы уравнением F(t)+P(t)=l, можем записать:
F(A^B)=F(A) + F(B) - F(A)×F(B) = 1 - P(A)+ 1 - P(B) - (1-P(A))×(1-P(B)) =
= 1 - P(A) + 1 - P(B) - 1 + Р(В) + Р(А) - Р(А)-Р(В) = 1 - Р(А)×Р(В). (7.3)
Так как F(А^В) = 1 - Рс(А^В), то Рс(А^В)=Р(А)×Р(В). В общем виде вероятность безотказной работы системы из последовательно соединенных элементов может быть рассчитана по уравнению:
. (7.4)
Иначе, вероятность безотказной работы системы с последовательно соединенными элементами равна произведению вероятностей безотказной работы элементов. Следствием уравнений (4.15) и (7.4) может быть равенство:
, (7.5)
которое, например, для экспоненциального закона принимает вид:
lс= li +l2 + l3 +... + li.. (7.6)
Полученные уравнения позволяют сделать заключение, что надежность системы с последовательно соединенными элементами всегда ниже надежности самого ненадежного элемента в этой системе. Это обстоятельство обязывает обеспечивать чрезвычайно высокий уровень надежности для составляющих систему элементов.
Система с параллельно соединенными элементами. По определению при параллельном соединении элементов условие отказа системы может быть записано на основании правила, отраженного уравнением (7.1):
F(AB) = F(A) × F(B) = (1-P(A))×(1-P(B)),
F(AB) = 1 - P(AB). (7.7)
Тогда P(AB) = 1 - (1-P(A))-(1-P(B)), или, переходя к многофункциональной системе:
Pc(t)=1- (l-P1(t))×(l-P2(t))×... ×(l-Pi(t)). (7.8)
Нетрудно видеть, что при параллельном соединении надежность системы всегда выше надежности самого надежного элемента. Это свойство параллельного соединения элементов используется для повышения надежности и выражается в виде наличия дублирующих функциональных элементов (например, спаренные элементы уплотнений на валах, раздельная система смазки, многоременной привод и т.п.).
Реальные технические системы обычно представляются в виде комплексных схем, имеющих как последовательно, так и параллельно соединенные группы элементов или элементы (рисунок 7.2).
Расчет надежности сложных систем выполняется в определенной последовательности. Она предусматривает сведение системы любой конфигурации к системе с последовательно соединенными элементами.
Рисунок 7.2 – Структурная схема надежности сложной системы
Например, для системы элементов, представленной на рисунке 7.2, порядок расчета надежности безотказной работы должен выполняться в следующей последовательности. Записываем выражение для расчета параметра надежности элементов 2,3. Оно имеет вид:
Р2,3 = 1 - (1-Р2)×(1-Рз).
Находим параметр надежности элементов 2,3,4:
Р2,3,4 = Р4×[1-(1-Р2)×(1- Р3)].
Рассчитываем параметр надежности элементов 2,3,4,5:
Р2,3,4,5 = 1 - (1-P5)×{1- Р4×[1-(1-Р2)×(1- Р3)]}.
Окончательно записываем уравнение для расчета надежности системы:
Рc =Р1×Р6×{1 - (1-Р5)×{1- Р4×[1-(1-Р2)×(1- Р3)]}}.