Кирхгоф заңдары және олардың тізбектерді есептеуде қолданылуы

Электр тізбектеріндегі негізгі заңдылық Кирхгоф заңдары болып есептеледі. Олай болу себебі - тізбектерге жүргізілген қандай да талдау немесе есептеулер болмасын олардың барлығы Кирхгоф заңдарына сүйенеді. Сондықтан тізбектерді есептеудің түрлі тәсілдерін қарап жатпай, Кирхгоф заңдарын тікелей қолдануды қарастырса жеткілікті.

Г.Р.Кирхгоф (1824-1887) неміс физигі, аталмыш заңдарды 1847 жылы тапқан.

Тізбектерді есептеу деп олардың белгісіз параметрлері мен электрлік шамаларын табуды айтады. Әдетте ЭҚК не толық кернеу және кедергілер белгілі де, оларды пайдаланып тізбек элементтерінің токтарын, кернеулерін және қуаттарын анықтау керек болады.

Қарастырып отырған тізбекте (3-сурет) ЭҚК-тің және кедергілердің сан мәндері белгілі екен делік. Тізбекті құрастырғаннан және ЭҚК көзіне қосқан кейін тармақтармен ток жүре бастайды. Электр тогын зарядтардың (ұйықтардың) бір бағыттағы тәртіптелген қозғалысы деп түсінсек қанша заряд түйінге келіп жетсе, сонша заряд түйіннен кетіп отырады: түйінге келіп жеткен зарядтар онда тоқталып немесе жиналып қалмайды. Міне осы факт Кирхгофтың бірінші заңы болып есептеледі. Оны математика тілінде былай жазуға болады:

(1)

яғни түйінде тоғысқан токтардың алгебралық қосындысы нөлге тең.

Тізбектің (3-ші сурет) а түйінде

Мұнда түйнге бағытталған ток І₁ плюс таңбасымен, ал түйіннен шығып жатқан токтар І₂ және І₃ минус таңбасымен алынған.

Элементтермен ток жүрген кезде олардың бастапқы және соңғы нүктелерінің потенциалдарының айырымы, яғни кернеуі, элементтердің параметрінің қосындысы, яғни бастапқы және соңғы нүктелерінің патенциалдар айырымы, ЭҚК-ке тең болады.

Мысалы, сыртқы өңбой cE₁abR₄c үшін

(2)

мұндағы φ_е, φ_а, φ_b, φ_c, - нүктелердің потенциалдары.

Міне осы факт Кирхгофтың екінші заңы болып есептеледі. Оны былай жазуға болады:

не (3)

яғни тұйықталған өнбойда (контурда) ЭҚК-тердің алгебралық қосындысы кернеулердің түсіунің алгебралық қосындысына тең.

Тізбектерді Кирхгоф заңдарын пайдаланып есептеу тәртібі төмендегідей:

1. Схемада токтардың бағыты еркінше тандап алынады. Әдетте ЭҚК-тің бағытымен сәйкес алынады.

2. Өнбойды жүріп өту бағыты қалауынша алынады.

3. Кирхгофтың бірінші заңы бойынша бір түйіннен басқа түйіндердің барлығы үшін теңдеулер жазылады. Егер барлық түйіндер үшін де теңдеулер жазса, онда олардың біреуі басқалармен үйлесімді болады.

4. Жетіспеген теңдеулер (теңдеулер саны белгісіз шамалардың санына тең болуы керек) Кирхгофтың екінші заңы бойынша өзара тәуелсіз өнбойлар үшін жазылады.

5. Осы құрылған теңдеулер жүйесін шешіп, белгісіз токтарды анықтайды.

6. Токтың нақты бағыты анықталады, өйткені есепті шешу кезінде кейбір ток теріс мән алуы мүмкін. Минус таңбасы токтың еркінше таңдап алынған бағытының қателегін, яғни, оның бағытының керісінше екендігін көрсетеді. Егер ЭҚК көзінде ЭҚК-тің бағыты мен токтың бағыты сәйкес келмесе, онда бұл ЭҚК энергия көзі емес, керісінше электр қабылдағыш ретінде жұмыс істеп, электр энергиясын тұтынып тұр деп есептелінеді.

Белгісіз токтарды табу үшін Кирхгофтың бірінші заңы бойынша жазылған теңдеулер жүйесі:

а түйінде (4)

b түйінде (5)

Тізбекте бес ток бар. Бұл токтарды табу үшін тәуелсіз бес теңдеу құру керек. Ендеше қалған үш теңдеу Кирхгофтың екінші заңы бойынша тәуелсіз контур үшін жазылады (контурларды жүріп өту бағыты сағат тілімен бағыттас алынған):

І контурда (6)

ІI контурда (7)

IIІ контурда (8)

Құрылған теңдеулер жүйесі (4) ...(8) Крамер өрнектері бойынша, Жордан-Гаусс немесе матрица әдістері қолданылып шешіледі. Көп белгісізді теңдеулер жүйесін электронды есептеу машинасының көмегімен шығару үшін матрицалық әдіс қолайлырақ.

Иллюстрация ретінде бірнеше мысалдар есептерін қарастырылған.

Тапсырма 1.

4 суреттегі схемада (сұлбада) токтардың таратылуын табу, егер кірістегі қойылған кернеуі U=230В, ал участкелердегі кедергілері r₁ = r₂ = 0,5 Ом; r₃ = 8 Ом; r₄ = 12 Ом; r₅ = r₆ = 1 Ом; r₇ = 2 Ом; r₈ = 15 Ом; r₉ = 10 Ом; r₁₀ = 20 Ом.

Шешуі:

Бұл схема қиынсияқты көрінгеніменен, қарапайым электр тізбектерге жатады. Берілген схемада кез-келген тармақта токты тікелей табуға болмайды, өйткені әр-бір участкелерде кернеудің таралуы белгісіз. Сондақтан ең алдымен схеманың эквиваленттік кедергісін анықтау керек, осы кезде тізбектің тармақталмаған жағының тогін табуға мүмкіндік туады, ол r₁ және r₂ кедергілер арқылы ағатын ток. Тізбектің эквиваленттік кедергісі, схеманы жайлап баламалау жолымен табады. Ол үшін кірістен ең алыс жайласқан участке бөліктердің кедергілерін эквиваленттік кедергіге ауыстырады:

Ом;

Ом;

Ом;

Ом;

Ом

және сонымен толық тізбектің эквиваленттік кедергісі:

Ом.

Демек, тізбектің тармақталмаған жағында ток І = I₁ = I₂, және токтың санын осы қатынаспен анықтауға болады Енді А және В түйінді нүктелер аралығындағы кернеуді табуға болады:

в,

ал r₃ участкедегі ток

а.

Кирхгофтың бірінші заңын А түйінге қолдана отырып І₅ мәнін табуға болады

а.

Әрі қарай С және D түйінді нүктелер аралығындағы кернеу мен токты анықтайды.

в;

а;

С түйінге Кирхгофтың бірінші заңы бойынша

а.

Жоғарыда көрсетілгендей есепті жалғастыра отырып табылады

в;

а;

а, немесе а.

Тапсырма 2.

Бір контурлы тізбекке (сурет 5) потенциалды диаграмманы құрастыру. Мұнда көздердің э.қ.к - тері Е₁ = 10 в және Е₂ = 50 в, олардың ішкі кедергілері r₀₁ = r₀₂ = 1 ом, тізбектегі кедергілері r₁ = 4 ом; r₂ = 3ом; r₃ = 7 ом.

Шешуі:

Тізбектегі токтың оң бағыты Е₂ эқк-тің бағытымен сәкес болады, өйткені ол Е₁-ден молшері коп. Кирхгофтың екінші заңы бойынша осы контурда: сонда

Жерге қосылған А нүктенің потенциалы, φ_А = 0.

Енді контурды сағат жүріс бағытымен айналамыз. Тізбектегі пассивті элементтерде кернеу мен токтың айналу бағыты сағат бағытына сәйкес болады, оны оң бағыты дейді. Сондықтан А нүктеден В нүктеге бағытталған, І тогі бар r₁ - ден өтетін молшер, φ_В потенциалы , φ_А потенциалдан r₁I көлемге аз болады, демек в.

В және С^/ нүктелердің аралығанда Е₁- дің эқк қарама-қарсы әсері бар. Бұл өту кезде потенциал Е₁ көлемге кемиді. в.

Көздің ішкі кедергісінде ток бағытында потенциал құлайды, сондықтан в.

С және D нүктелері аралығында потенциалдың одан әрі төмендеуі орын алады: в.

D нүктеден Н^/ нүктеге өткен кезде, Е₂ эқк-нің әсері, оң бағытымен сәйке болғаны, нәтижесінде потенциал Е₂ көлемге жоғарлайды:

в.

r₀₂ кедергіде потенциал төмендейді: в.

І ток бағытында r₃ кедергіде потенциал r₃I көлемге төмендейді:

Осы жағыдайды алдын ала білуге болады, өйткені контур бойы толық айналым жасағанда, біз қайта шыққат А нүктеге оралдық, осы кезде потенциал нөльге тең.

Контурдың нәтижелік кедергісі ом.

Потенциалды диаграмманы құрған кезде, алдымен, кернеулердің масштабын ғып таңдайды. Кедергілерді горизонталды (көлделең) ось бойынша орналастыратын тәртібі сондай, қалай олар тізбекте айналым жасағанда кездеседі.

Алып белгілініп отырған потенциалдарға, нүктелерінің тік бағытына (потенциалдың алдында тұрған белгісіне тауелді жоғары немесе төмен), - ге тең масштаб таңдалады. Есеб мәліметі бойынша потенциалды диаграмма құрылды (сурет 6). Тізбекте кез келген пассивті элементте Ом заңы орындалады (мысалы, ). Сондықтан осындай элементте токты сәйкес тізу кескінінің (осы сәтте АВ) тангенс бұрышының көлбеуін абссцисса осьна қарай анықтауға болады. Бір контурлы (таралмаған) тізбекте токтың бір мәнде болғанда, барлық пассивті элементтердің бойында өзгеруін анықтайтын, тізулердің көлбеуі бірдей. Қарастырылған мысалда Е₁ энергия көзі қабылдағыш болып саналады, ал Е₂ электр энергия көзі болады. Сол себептен тізбектің ВС участкесінде потенциал құлауы әльде неше көп болып көрсетілген, пассивті элементтерге қарағанда. DH участкеде эқк Е₂ = 50 в, бұл жерде Ir₀₂ = 2,5 в потенциал құлауы 20 есе асады. Сондақтан диаграммада түзуі тіп-тік жоғарыға бағытталған.

№ ДӘРІС

Электр тізбектеріндегі энергиялық теңдестік (баланс)

Кедергі бойынша ток жүргенде, онда жылу бөлініп шығатыны белгілі. Энергияның сақталу заңы бойынша, схемадағы кедергілерде бір өлшем уақыт ішінде бөлініп шығатын жылудың мөлшері, сол уақыт ішінде қоректендіру көзі арқылы жеткізілетін энергияға тең болуы керек.

Егер Е - эқк-нің көзі арқылы жүретін І - тогының бағыты эқк - нің бағытымен сәйкес келсе, онда эқк-і көзінің уақыт бірлігі ішінде жеткізітетін (қуаты) ЕІ - ге тең болады. Демек, ЕІ - көбейтіндісі энергиялық теңдестік теңдеуіне оң таңбамен кіреді.

Егер Е - эқк-нің көзі арқылы жүретін І - тогының бағыты эқк - нің бағытымен сәйкес келмесе (қарсы бағытталса), онда эқк-нің көзі энергия жеткізбейді, бұл жағыдайда, ол энергияны тұтынушыға (мысалы, аккумулятор зарядталады) айналады. Сондықтан ЕІ көбейтіндісі энергиялық теңдестіктің теңдеуіне теріс таңбамен енеді.

Тек қана эқк-і көзінен қоректену болған жағыдайда энергиялық теңдестік теңдеуі мына түрде болады:

(9)

Қанша, схема тек эқк-і көзінен қоректеніп қоймай, ток көзінен де қорек алса, былайша айтқанда, жекеленген түйндерге ток көзінен токтар келіп және кетіп жатса, онда энергиялық теңдестіктің теңдеуін құрғанда ток көзінің жеткізетін энергиясын да есепке алу қажет. Айталық, схеманың а-түйініне J-тогы ток көзінен келіп тұр дейік, ал в-түйінінен осы ток кетіп жатсын. Ток көзінің жеткізетін энергиясын да есепке алу қажет. Ток көзінің жеткізетін қуаты U_abJ-ге тең болады. Схеманың тармақтарындағы U_ab-кернеуді және токтарды есептегенде, энергия көзінен келетін токтың шамасы ескерілуі керек. Соңғысын түйіндік потенциалдар әдісімен жасау оңай (түйіндік потенциалдар әдісі). Энергиялық теңдестіктің теңдеуінің жалпы түрі:

(10)

Электр тізбектерін практикалық тұрғыдан есептеу, Кирхгоф заңы бойынша тізбекті есептеу әдісінен гөрі, уақыт шығыны және еңбек тұрғысынан алғанда, экономикалық жағынан тиімді жетілдірілген әдістер болып табылады.