Устойчивость и теория катастроф

Классическая физика (от Ньютона до общей теории относительности) – это по существу теория плавного поведения. Первый, приходящий в голову пример – движение планет вокруг Солнца, внушающее трепет своей непрерывностью, неторопливостью и чрезвычайной регулярностью. Даже колебания земной оси, из-за которых пришлось отказаться от вращения Земли как от эталонных часов, и те происходят плавно. Но изменения совершаются и скачками. Вдруг закипает вода. Начинает таять лед. Сотрясаются земли и луны. Рушатся дома. Происходят биржевые крахи.

Такого рода изменения гораздо хуже поддаются анализу и предсказанию, чем движение небесных тел, и различные науки (от физики до экономики) еще только накапливают аналитические средства, которые бы им позволили управляться со скачкообразным поведением.

Природа скачков бывает самой различной. Есть силы, которые постепенно нарастают до тех пор, пока их уже больше не может сдержать трение. Есть критическая плотность популяции, ниже которой особи развиваются как кузнечики, а выше – как саранча. Вот почему, если саранча появляется, она появляется тучей.

Многое здесь еще не поддается анализу. Многое уже проанализировано, причем применялось великое множество математических методов. В этой главе мы будем иметь дело с одним математическим подходом, в рамки которого единообразно укладывается обширная область явлений такого рода.

Методы, которые при этом используются, были развиты французским математиком Ренэ Томом и стали широко известными благодаря его книге «Структурная устойчивость и морфогенез», где они были предложены в качестве математической основы для биологии.

Катастрофы, что это такое? Те внезапные изменения, о которых тут идет речь, были окрещены Томом катастрофами, для того чтобы выразить ощущение резкой перемены. Это слово, к сожалению, несет в своем значении оттенок бедствия, который в большинстве приложений неуместен. Но весь предмет с тех пор получил известность как теория катастроф – словосочетание, дающее большую свободу толкования, в зависимости от принятой точки зрения.

Эти методы наиболее применимы к системам, в которых в каждый момент на фоне изменяющейся ситуации минимизируется некоторая функция, например, энергия или энтропия соответственно. Хорошим примером служит шарик, катящийся по неровной поверхности. Он «старается» при посредстве силы тяжести найти положение, если и не самое низкое из всех возможных, то хотя бы самое низкое из всех других поблизости. Тем временем меняется и сама поверхность.

Те специальные геометрические образования, которые возникают при такой постановке задачи, называют элементарными катастрофами, имея в виду элементы как фундаментальные сущности (подобно химическим элементам); их применением, занимается элементарная теория катастроф. В смысле, аналогичном «элементарной арифметике. Для некоторых систем могут происходить более сложные вещи, которые классифицируются как обобщенные катастрофы.

Машина катастроф Зимана. Мы начнем с машины, изобретенной первой. Ее придумал в 1969 г. Э. К. Зиман из Уорикского университета. Поэкспериментировав недели три с резиновыми полосками и канцелярскими скрепками, он усовершенствовал первоначальную идею до того варианта, который излагается ниже.

Основной частью машины является лежащее на доске колесико (рисунок 1.25), которое может свободно вращаться вокруг своей оси. Оно должно быть не слишком тяжелым: если трение, замедляющее движение, или инерция, поддерживающая его, окажутся слишком большими, то это затемнит как раз те черты в поведении колесика, которые нас интересуют.

Рисунок 1.25 - Машина Зимана

К точке В на краю колесика прикрепляются две резинки. Второй конец из них закреплен на доске в точке А достаточно далеко от центра О колесика таким образом, чтобы резинка ВА всегда была натянутой. Второй конец другой резинки (точка С) прикрепляется к указке, которую держат в руке. Благодаря этому возможно управлять концом С с небольшого расстояния, не заслоняя его от себя. Удобен такой выбор размеров: радиус колесика 3 см, длина отрезка АО 12 см, длина каждой резинки 6 см.

Независимо от того, как выбраны радиус колесика, длины и резинок ВА и ВС (в нерастянутом состоянии) и расстояние ОА (лишь бы оно было больше, чем ), качественная картина явления неизменной.

В этом факте проявляется свойство «структурной устойчивости», когда изменения параметров не приводит к существенным качественным изменениям в поведении системы. Тем не менее, мы будем иметь в виду машину, для которой приняты определенные размеры.

Если конец указки С, держа его на одной высоте с А над доской, помещать над точками, лежащими вне четырехугольной области <> (см. рисунок), то колесико под действием резинок останавливается лишь в одном положении. Если вы повернете его в другое положение и отпустите, то оно «прыгнет» обратно. Это единственное положение зависит от С, и плавное перемещение С приводит к плавному изменению положения колесика.

Если же ввести конец указки внутрь области <>, то оказываются возможными два положения равновесия. При плавном входе в область <> с одной стороны колесико плавно приходит в одно из этих положений. При входе с другой стороны колесико после подведения конца указки С к той же точке окажется в другом из двух возможных положений.

Лишь если вы чисто умозрительно сможете решать, что произойдет, если ввести указку слева через верхнюю или нижнюю сторону области <> и вывести ее затем направо через верхнюю или нижнюю сторону (всего четыре возможности), вам не нужно изготавливать машину, чтобы понять, как она работает.