Задача 10: . Как изменилась покупательная способность населения?

Товар подешевел на 20%. На сколько процентов больше можно купить товара за те же деньги?

Решение:

Товар подешевел на 20% .Следовательно, весь ранее купленный товар можно было бы купить истратив 80% денег, а на оставшиеся 20% можно купить еще часть товара, что составляет 25%.

Ответ: на 25%

Задача 11: Сушеные грибы. Влажность свежих грибов - 99%, сушёных - 98%. Как изменился вес грибов после подсушивания?

Решение:

Пусть вес свежих грибов 100х кг, тогда вес сухого вещества в них х кг. После подсушивания, вес сухого вещества не изменился и стал составлять 2% (на одну пятидесятую) от веса грибов. Вес сухих грибов – 50х кг, а значит уменьшился в два раза.

Ответ: уменьшился в два раза.

Задача 12: На конференции. 85% делегатов конференции знают английский язык, а 75% - испанский. Какая часть делегатов знает оба языка?

Решение:

Заметим, что 85%+75% = 160%, что на 60% превышает общее число делегатов конференции. За счет кого образовался излишек? За счет тех людей, которые знают оба языка - их мы посчитали дважды. Таким образом, оба языка знают не менее 60% делегатов конференции.

Ответ: не менее 60%.

Задача 13: На туристском слете собрались все участники двух туристических походов (некоторые были в двух походах, некоторые только в одном). В первом походе было 60% мужчин, во втором - 75%. Докажите, что на встречу пришло не меньше мужчин, чем женщин.

Решение:

Пусть в первый поход ходило а человек, а во второй b человек. Тогда, в первый поход ходило 0,6а мужчин и 0,4а женщин, а во второй - 0,75b мужчин и 0,25b женщин. При этом, количество женщин не превышает 0,4а + 0,25b, а количество мужчин не меньше, чем наибольшее из чисел 0,6а и 0,75b. Пусть 0,6а>0,75b. Тогда 0,6а>0,4а+0,25b (так как 0,2а>0,25b). Случай, когда наибольшее - 0,75b, разбирается аналогично

Задача 14:Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов пресной воды надо добавить к 40 кг морской воды, чтобы держание соли составляло 2%?

Решение:

. В 40 кг морской воды содержится 40·0,05 = 2(кг) соли, что в новом растворе составляет 2%, следовательно, раствора должно быть 2:0,02 = 100 (кг).

Ответ: следует добавить 60 кг пресной воды.

Задача 15:Вера и Аня посещают математический кружок, в котором больше 91% мальчиков. Найти наименьшее возможное количество участников кружка.

Решение:

.Пусть х - число участников кружка, а у - число девочек. Тогда, согласно условиям задачи, 0,09x>y или 9х>100у, где х и у - натуральные числа. Решая задачу перебором, убедимся, что наименьшее возможное решение при у=2 достигается при х=23. Таким образом, в кружке не менее 23 человек.

Ответ: в кружке не менее 23 человек.

Задача 16:Объём строительных работ увеличивается на 80%. На сколько процентов нужно увеличить число рабочих, если производительность труда будет увеличена на 20%?

Решение:

1) 100% + 80% = 180 = 1,8 (объём строительных работ по сравнению с первоначальным).

2) 100% + 20% = 120 = 1,2 – производительность труда по сравнению с первоначальной.

3) 1,8 : 1,2 = 1,5 = 150% - составляет количество рабочих, необходимых теперь по сравнению с первоначальным, т.е. на 50% надо увеличить число рабочих.

Ответ: на 50%

Задача 17:В бассейн проведена труба. Вследствие засорения её приток воды уменьшился на 60%. На сколько процентов вследствие этого увеличится время, потребное для заполнения бассейна?

Решение:

1) 100% - 60% = 40% = 0,4 – такую часть составляет оставшийся приток воды.

2) 1 : 0,4 = 2,5 (раза) – во столько раз увеличится время, необходимое для наполнения бассейна, т.е. увеличится на 150%

Ответ: на 150%.

Задача 18:Заработок рабочего повысился на 20%, а цены на продукты и другие товары снизились на 15%. На сколько процентов рабочий теперь на свой заработок может купить больше продуктов и товаров, чем прежде?

Решение:

Примем для простоты вычислений прежний заработок рабочего за 10 руб., и пусть он покупает только один какой-то продукт по 1 руб. за килограмм, т.е. 10 кг. После повышения на 20% заработок рабочего стал 12 руб., а цена продукта после снижения цены на 15% - 0,85 руб. за 1 кг. Теперь рабочий может купить уже 12 : 0,85 14,1 кг, т.е. на 4,1:10 = 0,41 = 41% больше, чем прежде.

Ответ: на 41%.

Задача 19:На утреннем концерте 40% всех посетителей были школьники, 36% - женщины и остальные посетители – мужчины. На вечерний концерт пришло мужчин на 75 % больше, чем на утренний, женщин на 37,5% больше, а школьников на 75% меньше, чем на утренний концерт. Как и на сколько процентов число посетителей на вечерний концерт изменилось по сравнению с числом посетителей на утреннем концерте?

Решение:

1) 40% + 36% = 76% - составляют женщины и дети.

2) 100% - 76% = 24% - составляют мужчины.

3) 24% + 24% = 42% - составляют мужчины на вечернем концерте.

4) 40% - 40% = 10% - составляют школьники на вечернем концерте.

5) 36% + 36% = 49,5% - составляют женщины на вечернем концерте.

6) 42% + 49,5% + 10% = 101,5% от числа посетителей на утреннем концерте составляет число посетителей на вечернем концерте, т.е. на вечернем концерте посетителей было больше, чем на утреннем, на 1,5%.

Ответ: на вечернем концерте посетителей было больше, чем на утреннем на 1,5%.

Задача 20:5 литров сливок с содержанием жира 35% смешали с 4 литрами 20-процентных сливок и к смеси добавили 1 литр чистой воды. Какой жирности получилась смесь?

Решение:

1) 5 · 0,35 = 1,75 (л) жира в 5 л сливок.

2) 4 · 0,2 = 0,8 (л) жира в 4 л сливок.

3) 1,75 + 0,8 = 2,55 (л) жира в смеси.

4) 5 + 4 + 1 = 10 (л) – вес смеси.

5) 2,55 : 10 = 0,255 = 25,5% - жирность смеси.

Ответ: 25,5%.

Задача 21:Когда 40 рабочих цехавключились в молодёжную бригаду, продукция цеха увеличилась на 20%; когда же 60% всех рабочих цеха стали работать по-новому, продукция цеха увеличилась в 2,5 раза. Сколько рабочих в цехе и во сколько раз увеличится продукция цеха, когда все рабочие станут передовиками производства?

Решение:

1) 250% - 100% = 150% - на столько процентов увеличится продукция.

2) 40 рабочих увеличивают продукцию на 20%

х рабочих увеличивают продукцию на 150%

3) рабочих увеличивают продукцию на 150%, они же составляют 60% числа всех рабочих.

4) 300 : 0,6 = 500 рабочих было в цехе.

5) 500 рабочих – увеличение на у%

300 рабочих – увеличение на 150%

у = 250%

6) 250% + 100% = 350%, т.е. продукция увеличилась бы в 3,5 раза.

Ответ: 500 рабочих, продукция увеличилась бы в 3,5 раза.

Задача 22:Цена за вход на стадион 150 руб. с человека. Когда цену понизили, количество посетителей увеличилось на 50%, а сбор увеличился на 25%. На сколько рублей понижена плата?

Решение:

Входная плата за двух человек была 300 руб., теперь вместо каждых двух человек стадион посещают трое (число посетителей увеличилось на 50%) и платят 300 + 75 = 375 рублей (общий сбор увеличился на 25%), т.е. один билет стоит теперь 125 руб. (375 : 3), значит, плата понижена на 25 руб.

Ответ: на 25 рублей.

Задача 23:За 1 квартал завод выполнил 26% годового плана, а количество продукции, выполненное за 2, 3 и 4 кварталы, пропорционально числам 6,5:7,8:9,1. Определить, на сколько процентов перевыполнил завод план, если во 2 квартале завод дал продукции в раза больше, чем в первом.

Решение:

2 : 3 : 4 = 6,5 : 7,8 : 9,1 = 5 : 6 : 7

1) 26% = 32,5% годового плана дал завод во втором квартале.

2) 32,5% : 5 = 6,5% приходится на 1 часть.

3) 6,5% · 6 = 39% дал завод в 3 квартале.

4) 6,5% · 7 = 45,5% дол завод в 4 квартале.

5) 26% + 32,5% + 39% + 45,5% = 143% годового плана фактически выполнил завод, т.е перевыполнил план на 43%.

Ответ: на 43%.

Задача 24: .Имеются два куска сплава меди и цинка с процентным содержанием меди р% и q% соответственно. В каком отношении нужно взять эти сплавы, чтобы, переплавив взятые куски вместе, получить сплав, содержащий r % меди?

Решение:

Если первого сплава взять х кг, а второго у кг, то

(кг меди) + (кг цинка),

(кг меди) + (кг цинка),

В получающемся сплаве будет

(кг меди),

а вес этого сплава будет равен (х + у) кг. Поэтому новая концентра­ция меди в сплаве по определению будет равна

Согласно условию задачи, полученная дробь равняется . Приходим к уравнению

(1)

Повторим ещё раз, в чем состоял способ решения этой задачи. С помощью известных значений концентраций мы «расщепили» сплав на чистые компоненты, а затем, в соответствии с условием задачи, составили новый сплав, подсчитав отдельно весовой баланс каждой компоненты.

Решим полученное уравнение. В этом уравнении два неизвестных, х и у. Поэтому оба неизвестных найти нельзя. Но в этом и нет необходимости, так как достаточно определить не сами величины х и у, а их отношение!

После очевидных преобразований из уравнения (1) получим соотношение

(2)

Рассмотрим несколько случаев.

1. Пусть р = r = q, x · 0 = у · 0.

В этом случае концентрации всех сплавов одинаковые и уравнение (2) показывает, что имеется бесконечное множество решений. Можно взять сколько угодно первого сплава и сколько угодно второго сплава.

2. Пусть , x · 0 = у(r – q), х – любое, у = 0.

Смысл этого решения понятен — второго сплава вообще не требуется.

3. Пусть , . Тогда

Полученное отношение будет давать решение задачи в общем случае (разумеется, если значение r заключено между значениями р и q, иначе окажется отрицательной величиной, что лишено смысла).

Ответ:

Задача 25:Определить процентное содержание спирта в растворе, полученном при смешивании пяти литров 20 %-го и шести литров 35 %-го растворов спирта.

Решение:

Количество «чистого» спирта в первом растворе равно 0,2 · 5 л, а во втором растворе — 0,35 · 6 л. При смешивании общее количество спирта не изменилось (а объём нового раствора равен 5 + 6 = 11 л). Поэтому можно записать уравнение для объёмной концентрации х спирта в полученном растворе

0,2 · 5 + 0,35 · 6 = х · 11,

откуда . Процентное содержание равно или %.

Ответ: %.

Задача 26:От двух однородных кусков сплава с различным процентным содержанием меди, весящих m и п кг, отрезано по куску равного веса. Каждый из отрезанных кусков был сплавлен с остатком другого куска, после чего процентное содержание меди в обоих кусках стало одинаковым. Сколько весили отрезанные куски?

Решение:

Обозначим через р и q — концентрации меди в первом и во втором кусках соответственно, а через х — вес каждого отрезанного куска. Тогда в остатке первого куска содержится (т — х)р кг меди, в остатке второго куска содержится (п—x)q кг меди. После того, как куски снова сплавили, в первом куске оказалось (m — x)p + xq кг меди, а во втором (п — x)q + xp кг меди. Приравнивая концентрации меди в обоих кусках, получим уравнение

или

тпр — хп(р — q) = mnq + xm(p — q),

или

тп(р -q) = х(р - q)(m + п).

По условию задачи , следовательно,

Ответ:

Задача 27:В сосуде объёмом V содержится р%-ный раствор соли. Из сосуда выливается а л смеси и доливается а л воды, после чего раствор перемешивается. Эта процедура повторяется п раз. Определить концентрацию соли в растворе после п процедур.

Решение:

Первоначальное количество соли в растворе равно . После того, как вылили а л смеси, соли осталось

,

а её концентрация после добавления а л воды стала равна

После того, как отлили ещё а л смеси (уже концентрации c₁), в растворе осталось соли

а её концентрация после добавления воды стала равна

Теперь не составляет труда заметить, что после п переливаний концентрация соли в растворе будет определяться формулой

(3)

Ответ:

Задача 28:Концентрация соли уменьшилась в пять раз после 10 переливаний (рассмотренных в предыдущем примере). Какую часть объёма V сосуда составляют а л?

Решение:

Воспользовавшись формулой (3), запишем условие задачи в виде уравнения

,

откуда находим

Ответ:

Задача 29:Сберкасса выплачивает ежегодно 3% от положенного на сберегательную книжку вклада. Через сколько лет текущая сумма будет превышать первоначальную более чем в 2 раза?

Решение:

Пусть начальная величина вклада составляет А рублей. Согласно условию задачи запишем уравнение

,

откуда получаем

Следует отметить, что величина х является иррациональным числом. Но в условии задачи речь идёт о целом числе лет, поэтому, чтобы записать ответ, требуется найти наименьшее натуральное п такое, что

Ответ: Через 23 года.

Задача 30:В течение трёх лет вкладчик имел одинаковый процент прибыли по отношению к каждому предыдущему году, а затем в течение двух лет в результате инфляции нёс убытки ежегодно в половине процентов по сравнению с процентами прибыли. При какой исходной процентной ставке, не превышающей 200% годовых, вкладчик будет иметь наибольшую итоговую прибыль за пять лет и какова она (по отношению к первоначальному вкладу)?

Решение:

1) Пусть исходная процентная ставка равна х%.

2) Используем формулу сложных процентов, которая позволяет вычислить, каким станет первоначальный вклад а через п лет при проценте прибыли р%. Этот результат равен

.

3) Тогда через три года сумма вкладчика будет равна . Так как в течение следующих двух лет вклад уменьшался на , то по истечении пяти лет сумма будет такой:

.

4) Рассмотрим функцию = , где . Исследуем её на наибольшее значение.

.

Критические точки: х = -100 (не входит в область определения), х = 200, х = 80.

; ;

5) Таким образом прибыль составляет 109,953%

Ответ: 109,953%

Задача 31:. Курс рубля по отношению к доллару (то есть цена одного рубля в долларах) падает на 4% в квартал. У клиента банка есть два альтернативных варианта помещения денег. По первому варианту он может положить деньги на рублевый чет с начислением 120% в конце года. По второму варианту он может обменять рубли на доллары и положить деньги нa валютный счет с ежемесячным начислением 6% от текущей суммы. На сколько процентов больше или меньше окажется рублевый счет по отношению к валютному через год? При расчетах считать одинаковыми обменные курсы покупки и продажи доллара. (Ответ представить в виде арифметического выражения.)

Решение:

1) Пусть клиент имел а рублей, которые он положил на рублевый счет. Тогда через год у него на счету окажется 2,2а рублей.

2) Если он обменяет а рублей на b долларов, то в конце года у него на счету окажется , т.е. .

3) Поскольку курс рубля по отношению к доллару падает на 4% в квартал, то рублевая сумма будет представлена так:

.

4) Сравним увеличение вкладов в рублях и долларах.

Следовательно, сумма в долларах увеличилась на 101,2%

5) Следовательно сумма в рублях увеличилась на 86,9%

6) 101,2 – 86,9 = 14,3%

Ответ: 14,3%

Задача 32:Маклер после одной удачной сделки имел некоторый процент прибыли от вложенного исходного капитала, а затем понес такой же процент убытков со всего, что заимел. После третьей (также неудачной) сделки процент убытков возрос в 4 раза по отношению к проценту прибыли после первого года. При каком исходном проценте такая деятельность маклера приведет к наибольшим возможным долгам и каковы они по отношению к первоначальному капиталу?

Решение:

1) Пусть исходный процент прибыли составляет х%.

2) Тогда, если исходный капитал составлял а единиц, то после первого года сумма стала равна .

3) После тех же процентов убытков сумма стала равна

4) После третьей сделки сумма стала равна

.

5) Рассмотрим функцию и найдём её наименьшее значение при .

.

Найдём критические точки.

; х = -50 (не входит в область определения).

- точка минимума. В этой точке функция принимает наименьшее значение.

6) Таким образом, долги маклера составляют первоначальной суммы. Найдём долги в процентах: а – 100%;

;

Ответ: 93,83%

Задача 33:Зарплата рабочего за месяц составила 8000 рублей. 20% из этой суммы ушло на оплату коммунальных платежей. 5% оставшейся суммы ушло на оплату долга. Сколько денег осталось после этого у рабочего?

Решение:

1) На оплату коммунальных платежей ушло денег:

(руб.)

2) Осталось денег: 8000 – 1600 = 6400 (руб.)

3) На оплату долга ушло 5% от 6400, или

(руб.)

4) После этого осталось денег: 6400 – 320 = 6080 (руб.)

Ответ: 6080 рублей

Задача 34:В двух ёмкостях разного объема содержатся смеси двух веществ: А и В. Вещество В занимает в первой и второй ёмкостях соответственно 70% и 60% от объема. Вес вещества А емкости совпадает с весом вещества В во второй, а вес вещества А во второй ёмкости в 3,5 раза больше веса вещества В в первой ёмкости. Какой процент по весу составляет вещество А, содержащееся в обеих ёмкостях, от суммарного веса содержимого ёмкостей?

Решение:

1) Пусть х – объём первой ёмкости, а у – объём второй ёмкости, а U и V – плотности веществ соответственно.

2) Тогда вес вещества А в первой ёмкости составить , а вес вещества В там же - .

3) Аналогично во второй ёмкости содержится (по весу) вещества А и вещества В.

4) Требование задачи приводит к системе уравнений (1) – (2)

5) В задаче требуется найти величину

,

которая после деления числителя и знаменателя на примет вид

,

и для её нахождения из системы надо найти величины .

6) А) для нахождения величины можно разделить левую часть (1) на левую часть (2), и также поступить с правыми частями.

Получим

,

(второе значение противоречит физическому смыслу величины).

Б) Для нахождения величины разделим левую часть (1) на правую часть (2), а правую часть (1) на левую часть (2), получим соотношение

.

7) Подставляя найденные величины в выражение для Т, окончательно получим

Ответ:

Задача 35:Имеется 3 слитка. Первый слиток имеет массу 5 кг, второй 3 кг, и каждый из этих двух слитков содержит 30% меди. Если первый слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 56% меди, а если второй слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 60% меди. Найти вес третьего слитка и процент содержащейся в нём меди.

Решение:

Прежде всего следует предложить учащимся представить условие задачи в виде таблицы:

№ слитка	Вес слитка, кг	Содержание меди, %	Содержание меди, кг
	х	у

4столбик заполняется после введения двух неизвестных:

х кг – вес третьего слитка;

у% - процентное содержание меди в третьем слитке.

Исходя из этого заполняется последняя строчка в 4-м столбике. Запишем, используя понятие пробы, систему двух уравнение с двумя неизвестными:

Решая её получим: х = 10, у = 69.

Ответ: вес третьего слитка – 10 кг, процентное содержание в нём меди – 69%.

Задача 36:Сколько серебра 500 и 800 пробы нужно сплавить, чтобы получить 225 г. серебра 720 пробы?

Решение:

Способ

х г – вес первого сплава,

у г – вес второго сплава,

х + у = 225 (1)

Для составления второго уравнения целесообразно воспользоваться определением пробы:

,

Тогда

Получаем следующую систему уравнений:

Решая её, находим: х = 60, у = 165

2 способ:

При помощи рассуждений.

Предполагаем, что в сплав мы взяли только серебро 500 пробы. Тогда в 225 г сплава чистого серебра будет 162 г, что на 49,5 г меньше требующегося количества. Эта разница получилась из-за того, что не был учтен сплав серебра 800 пробы.

В самом деле, в каждом грамме сплава 800 пробы содержится 0,8 г чистого серебра, а в каждом грамме сплава 500 пробы содержится 0,5 г чистого серебра. Следовательно, взяв только сплав 500 пробы, мы с каждого грамма серебра 800 пробы не учли 0,8 -0,5 = 0,3 г чистого серебра,

Таким образом, при получении 225 г сплава 720 пробы не было учтено 49,5 : 0,3 = 165 (г) серебра 800 пробы. Итак, для составления сплава, требующегося в задаче, надо взять серебра 800 пробы 165 г, а серебра 500 пробы – 60 г.

Ответ: 165 г, 60 г.

Задача 37:Имеется три сплава. Первый сплав содержит 10% кобальта и 90% железа, второй – 40% железа и 60% никеля, третий – 20% кобальта, 50 % железа и 30% никеля. Из этих сплавов необходимо создать новый сплав, содержащий 20% никеля. Какое наименьшее и какое наибольшее процентное содержание железа может быть в новом сплаве?

Решение:

Пусть х + у + z – масса нового сплава.

; .

Подсчитаем значения на границах

При z = 0

При y = 0

Так как производная функции отрицательна, то функция монотонно убывает в области и наибольшее значение достигается при , что соответствует , а наименьшее значение при , что соответствует значению .

; ; ;

Ответ: ;

Задача 38:Через 40 минут после выезда из пункта А автомобиль уменьшил скорость на 20% и через некоторое время прибыл в пункт В. При этом оказалось, что на вторую половину пути он затратил на 5 минут больше, чем на первую. За какое время автомобиль проехал путь от А до В?

Решение. Пусть S (км) - расстояние АB, v (км/ч) – начальная скорость автомобиля. Тогда автомобиль проехал расстояние (км) и уменьшил скорость до 0,8 . Для вычисления времени, затраченного на первую и на вторую половину пути, необходимо рассматривать два случая.

1) Изменение скорости произошло на первой половине пути, т.е. . Тогда из условия задачи получаем уравнение:

Это уравнение решений не имеет, то есть этот случай не может реализоваться.

2) Изменение скорости произошло на второй половине пути, то есть . Тогда из условия задачи получим уравнение в виде

Решая это линейное относительно уравнение, после очевидных вычислений получим , что подходит по условию рассмотрения этого случая .

Так как время движения по первой половине пути (час), а время движения на второй половине пути по условию больше на (час), то всё время движения

(час) = 65 (мин)

Ответ 65 минут.

Задача 39:Имеются слитки трёх типов. Один слиток первого типа весит 5 кг и содержит 30% меди, 20% серебра и 50% золота. Один слиток второго типа весит 2 кг и содержит 40% меди, 30% серебра и 30% золота, а один слиток третьего типа имеет массу 1 кг и содержит 50% меди, 20% серебра и 30% золота. Какое минимальное количество слитков каждого типа потребуется, чтобы, не разрезая их, получить сплав, содержащий 37% меди, 23% серебра и 40% золота?

Решение:

Составим таблицу, в которую внесем концентрации компонентов в слитках, массы слитков и количество слитков, необходимое для получения сплава нужного состава.

				масса	Кол-во
	0,3	0,2	0,5		k
	0,4	0,3	0,3		l
	0,5	0,2	0,3		m
	0,37	0,23	0,4

Полная масса нового сплава равна 5k + 2l + т. Составим уравнения материального баланса

Cu:

Ag:

Au:

Упрощая которые получим:

Видно, что третье уравнение является суммой двух первых, так что независимых уравнений всего два. Из двух последних уравнений исключим k и полу­чим , откуда , m = 4t,где . Подставляя в последнее уравнение, найдем

k : k = 2t. Наименьшие значения достигаются при t = 1: k = 2, 1 = 3. т = 4.

Ответ: Наименьшие значения достигаются при t = 1: k = 2, 1 = 3. т = 4.

Задача 40:Партия телевизоров проходит испытание на долговечность. После первого года работы отказало 15 телевизоров, а после второго – ещё 4. сколько телевизоров было исправно после первого года работы, если известно, что отношение числа телевизоров, исправных к концу второго года, к числу телевизоров, исправных к началу года, на 8,75% больше, чем такое отношение, составленное для первого года испытаний?

Решение:

Обозначив через х число телевизоров, исправных после первого года работы, записать условие задачи в виде

Далее получить уравнение:

, откуда , .

Ответ: 120 телевизоров.

Задача 41:В первом сосуде содержится 5 кг, во втором – 10 кг 5%-го раствора соли. Из каждого сосуда выпарили часть воды, после чего концентрация соли в первом сосуде составила , во втором - . Известно, что . Какое наибольшее и какое наименьшее количество воды могло испариться из обоих сосудов вместе?

Решение:

Количество испарившейся воды

;

(max)

М(5) = 8; М(25) = 4;

Ответ: кг; кг.

Заключение.

В данном пособии изложены некоторые понятия теории процентов. Приведены типовые задачи по данной теме. К задачам даны решения. Эта система подобранных упражнений даёт возможность творчески подходить к повторению темы «Текстовые задачи на проценты».

Умение учащихся находить процент от числа, изменение величины в процентах, число по его проценту и т.д. позволяет усложнить текстовые задачи, что развивает логическое мышление.

В результате применения данной системы упражнений по данной теме повышается интерес к математике, увеличивается скорость вычислительных навыков на проценты. Уменьшается количество ошибок при решении сложных задач на проценты. Идёт более глубокое усвоение знаний по теме «Проценты».

Список использованной литературы