Преобразование векторов электромагнитного поля

Инварианты поля.

Рассмотрим для простоты случай, когда соответствующие оси ИСО s и взаимно параллельны, относительное движение происходит вдоль , а в начальный момент время начала обоих ИСО совпадают. Тогда компоненты тензора F при переходе от s к преобразуются по закону

, (1)

где

,

Получим:

(2)

(3)

Видно, что, что компоненты и , параллельные скорости относительного движения систем отсчета, не изменяются, а перпендикуллярные - и - преобразуются в соответствии с полученными формулами. Разлагая E и B на продольную и поперечную составляющую

непосредственной проверкой убеждаемся, что :

(4)

. (5)

Найдём инварианты тензора .Ими являются, например, коэффициенты характеристического уравнения

.

В явном виде это уравнение 4-й степени относительно имеет вид:

.

Так как , то

.

Это означает, что и характеристическое уравнение примает вид

. (7)

Найдем

Здесь учтено, что , а - единичный оператор трехмерного.

Очевидно

Следовательно, величина

(9)

- инвариант преобразований Лоренца.

Согласно теореме Гамильтона-Кэли любой тензор удовлетворяет своему характеристическому уравнению, т.е. имеет место соотношение

.

Отсюда следует, что оператор можно вычислить следующим образом:

. (10)

Найдем :

Таким образом, определитель равен

. (11)

Значит - инвариант. Фактически, и величина является инвариантом преобразования Лоренца, но она допускает изменение знака.

Инварианты

, (12)

отличаются тем, что - скаляр, а - псевдоскаляр. При отражении трёх пространственных осей или при инверсии времени не изменяется, а меняет знак.

Из существования инвариантов электромагнитного поля вытекает ряд следствий. Пусть для простоты и вещественные векторы. Тогда

1. Если в некоторой ИСО , то и в любой другой ИСО .

2. Если в некоторой ИСО , то и в любой другой ИСО .

3. Если в некоторой ИСО , то и в любой другой ИСО .

4. Если в некоторой ИСО и , то существует такая ИСО, в которой любой из векторов поля или равен нулю.

5. Если в некоторой ИСО , то и в любой другой ИСО .

6. Если в некоторой ИСО , то существует такая ИСО, в которой .

Замечание: для поля в веществе, когда , закон преобразования и получается из (4),(5) заменой и .

Инвариантами поля наряду с (12), являются величины .

§5. Четырёхмерное обобщение силы Лоренца. Инвариантная форма записи законов сохранения.

Выпишем в явном виде её первую составляющую трёхмерной плотности силы Лоренца: - равна скорости изменения количества движения в единице объёма.

Запишем первую компоненту:

Аналогичного соотношения получаются и для , так что

(1)

Правые части (1) – представляют собой пространственные составляющие 4-вектора:

(2)

который называют 4-вектора плотности силы Лоренца.

Выясним физический смысл четвертой составляющей вектора:

(3)

Т.о. – эта работа, совершаемая полем под зарядами в единичном объёме в единицу времени, т.е. скорость изменения механической энергии частицы в единице объёма. Пространственная же часть силы Лоренца определяет скорость изменения импульса в единице объёма. Законы сохранения полной энергии (механической и электромагнитной) и полного импульса можно представить в 4-х мерной инвариантной форме в виде уравнений для пространственной и временной части единого 4-вектора. А именно, из уравнений Максвелла:

(4)

(5)

Следует, что имеет место соотношение:

(6)

где - некоторый тензор второго ранга, называемый тензором энергии импульса.

Действительно, из (4) следует, что

Далее

(***) - проверяется непосредственно :

Таким образом имеем:

Т.о. действительно имеет место (6), причём:

(7)

В бескоординатном виде, очевидно

(7)

Очевидно, что

Т.к.

, , то

(8)

Вспоминая определение тензора максвелловских натяжений , вектора Пойтинга и плотности импульса , плотности

энергии , видим, что

(9)

Легко убедиться, что для из (6) следует

- закон сохранения энергии ( в дифференциальной форме)

Аналогично (6) для приводит к соотношениям, выражающим закон сохранения импульса.

Инвариантность фазы плоской монохроматической волны.