Стационарные и нестационарные временные ряды

Важное значение в анализе временных рядов имеют стационарные временные ряды, вероятностные свойства которых не изменяются во времени.

Рассмотрим два ряда y₁, y₂,…, y_n и _y1+τ, y_2+τ,…, y_n+τ. Эти ряды называются сдвинутыми относительно друг друга на τ единиц или с лагом τ.

Временной ряд y^t (t=1, 2,…, n) называется строго стационарным, если совместное распределение вероятностей n наблюдений y₁, y₂,…, y_n такое же, как и n наблюдений y_{1+ τ}, y_{2+ τ},…, y_{n+ τ} при любых n, t, τ.

Таким образом, свойство строго стационарных рядов не зависят от момента времени t, т. е. в таких рядах от момента времени t не зависит закон распределения и числовые характеристики временного ряда.

Степень тесноты связи между последовательными наблюдениями временного ряда y₁,y₂,…, y_n и y_1+τ, y_2+τ,…, y_n+τ может быть оценена с помощью коэффициента корреляции:

Так как коэффициент ρ(r) измеряет корреляцию членами одного и того же временного ряда, то его называют коэффициентом автокорреляции, а зависимость ρ от r — автокорреляционной зависимостью.

В силу стационарности временного ряда y_t автокорреляционная функция ρ(t) зависит только от лага τ и является четной функцией. Таким образом, при изучении автокорреляционной функции можно ограничится только положительным сдвигом τ.

Статистической оценкой ρ является выборочный коэффициент автокорреляции, определяемый по формуле:

Функцию r(τ) называют выборочной автокорреляционной функцией, а её график — коррелограммой.

При расчете r(τ) следует помнить, что с увеличением τ число n-τ пар наблюдений в значении случайной величины уменьшается, поэтому лаг τ должен быть таким, чтобы n-τ было достаточно для вычисления r(τ).

Обычно ориентируются на соотношении τ. Для стационарного временного ряда с увеличением лага τ взаимосвязь между членами временных рядов y_t и y_t+τ ослабевает, и автокорреляционная функция должна убывать по абсолютной величине.

Наряду с автокорреляционной функцией при исследовании стационарных временных рядов рассматривается частная автокорреляционная функция ρ_част(r), где ρ_част — это частный коэффициент корреляции между рядами y_t и y_t+τ, то есть коэффициент корреляции между y_t и y_t+τ при устранении влияния промежуточных членов временных рядов.

Статистической оценкой ρ_част является выборочная автокорреляционная функция r_част (τ), где r_част — выборочный частный коэффициент корреляции. Выборочный частный коэффициент автокорреляции первого порядка между членами ряда y_t и y_t+2 (при устранении влияния промежуточного ряда y_t+1) может быть вычислен по формуле: