Інтерпретація множини дійсних чисел

Розглянемо пряму з фіксованою точкою − початком координат. Нехай задана одиниця виміру. Тоді множину дійсних чисел можна поставити у взаємно однозначну відповідність із точками прямої: точці , яка лежить справа від точки , поставимо у відповідність число , рівне довжині відрізка . Тоді , яка лежить зліва від точки , число , де – довжина відрізка , а точці – число 0. Число , яке відповідає точці , називається координатою точки . Пряма з описаними властивостями називається числовою прямою. Отже, кожній точці числової прямої відповідає дійсне число – її координата. Має місце й обернене твердження: кожному дійсному числові відповідає деяка точка числової прямої, а саме точка , координата якої . При так установленій відповідності між дійсними числами і точками прямої нерівність рівносильна тому, що точка з координатою лежить зліва від точки з координатою . Отже, можна говорити про ізоморфізм множини дійсних чисел і множини точок числової прямої, тобто що числова пряма є моделлю множини дійсних чисел.

Надалі, говорячи про дійсні числа, замість слова "число" іноді вживається слово "точка". У зв'язку з цим числові множини ще називають точковими.

Використовуючи аксіому неперервності множини дійсних чисел, можна встановити, що множина дійсних чисел, яка задовольняє умову , є незчисленною. Говорять, що ця множина має потужність континууму. Із цього випливає, що множина всіх дійсних чисел незчисленна. Можна також довести, що множина раціональних чисел зчисленна. Отже, множина ірраціональних чисел незчисленна, оскільки вона є множиною (якби множина ірраціональних чисел була зчисленною, то і множина була б зчисленною, оскільки ).

Найбільш вживані числові множини

Нехай . Будемо використовувати наступні позначення:

відрізок,

інтервал,

півінтервал,

півінтервал.

Указані множини ще називають проміжками. Ми розглядатимемо також і нескінченні множини, використовуючи для цього символи .

Околом точки називається довільний інтервал , який містить точку , тобто .

Інтервал називається околом точки . Точка називається центром цього околу, а число його радіусом. Зазвичай так позначають околи з центром у точці і дуже малим радіусом, тобто коли досить мале.

Межі числових множин

Нехай задано непорожню числову множину .

Множина називається обмеженою зверху, якщо існує таке дійсне число , що для кожного виконується нерівність

Множина називається обмеженою знизу, якщо існує таке дійсне число , що для кожного виконується нерівність

При цьому числа і називаються відповідно верхньою та нижньою межею множини .

Множина, яка обмежена зверху й знизу, називається обмеженою.

Очевидно, що будь-яка обмежена зверху (знизу) множина має безліч верхніх (нижніх) меж.

Найменша верхня межа обмеженої зверху множини називається точною верхньою межею або верхньою гранню цієї множини і позначається (supremum (лат.) – найвище).

Найбільша нижня межа обмеженої знизу множини називається точною нижньою межею або нижньою гранню цієї множини і позначається (infimum (лат.) – найнижче).

Якщо , то для довільного числа існує таке, що . Якщо , то для довільного числа існує таке, що .

Теорема. Будь-яка непорожня обмежена зверху числова множина має точну верхню межу. Якщо ж вона обмежена знизу, то має точну нижню межу.

Доведення. Нехай – непорожня обмежена зверху числова множина. Тоді множина чисел, які обмежують зверху, непорожня. Із означення верхньої межі випливає, що виконується нерівність . За аксіомою неперервності дійсних чисел існує таке число , що виконується нерівність .

Із цієї нерівності випливає, що обмежує зверху, тобто є верхньою межею, і є найменшим із усіх верхніх меж, тобто є точною верхньою межею.

Друга частина теореми доводиться аналогічно.

Якщо множина не обмежена зверху ( знизу ), то за домовленістю пишуть .

Абсолютна величина числа

Абсолютноювеличиною (модулем) числа називається саме число , якщо , число – , якщо .